2013年度秋学期試験問題基礎数学2、A2

2013 年度秋学期試験問題基礎数学 2、A2
問 1 f (x, y) = x3 + 2y 3 − 3x2 y とする。このとき fx (1, −1), fy (1, −1) を求めよ。
問 2 次の関数 f (x, y) の偏導関数 fx (x, y), fy (x, y) を求めよ。
(1) f (x, y) = x2
(2) f (x, y) = x3 y 2
(3) f (x, y) = x2 − 4xy + y 2
1
2
(4) f (x, y) = x 3 y 3
1
1
問 3 5x+3y = 30 という条件のもとで x 2 y 2 の最大値を求めよ。ただし、x > 0, y > 0
とする。
問 4 f (x, y) = 2x2 − 2xy + y 2 + 3 とする。
(1) f (x, y) の停留点を求めよ。
(2) H(x, y) = fxx (x, y)fyy (x, y) − fxy (x, y)2 を求めよ。
(4) f (x, y) の極値を求めよ。
問5 連立 1 次方程式

y + 3z =
4

 x −
2x − y + 4z =
3 を解け。


 −x + 3y − 6z = −10
答え
問 1 f (x, y) = x3 + 2y 3 − 3x2 y とする。このとき fx (1, −1), fy (1, −1) を求めよ。
f (x, −1) = x3 + 3x2 − 2 より fx (x, −1) = 3x2 + 6x となり fx (1, −1) = 9
f (1, y) = 1 + 2y 3 − 3y より fy (1, y) = 6y 2 − 3 となり fy (1, −1) = 3
問 2 次の関数 f (x, y) の偏導関数 fx (x, y), fy (x, y) を求めよ。
(1) f (x, y) = x2
fx (x, y) = 2x, fy (x, y) = 0
(2) f (x, y) = x3 y 2
fx (x, y) = 3 ∗ x2 y 2 , fy (x, y) = 2x3 y
(3) f (x, y) = x2 − 4xy + y 2
fx (x, y) = 2x − 4y, fy (x, y) = −4x + 2y
1
2
(4) f (x, y) = x 3 y 3
1 2 2
2 1 1
fx (x, y) = x− 3 y 3 , fy (x, y) = x 3 y − 3
3
3
1
1
問 3 5x+3y = 30 という条件のもとで x 2 y 2 の最大値を求めよ。ただし、x > 0, y > 0
とする。
まず 5x + 3y = 30 という条件のもとで xy の最大値を求める。
5
5x + 3y = 30 より y = − x + 10
3
(
)
5
5 2
5
xy = x − x + 10 = − (x − 6x) = − (x − 3)2 + 15 より
3
3
3
xy は x = 3, y = 5 のとき最大で最大値は 15
√
ゆえに求める最大値は 15
問 4 f (x, y) = 2x2 − 2xy + y 2 + 3 とする。
(1) f (x, y) の停留点を求めよ。
fx (x, y) = 4x − 2y = 0, fy (x, y) = −2x + 2y = 0 より停留点は (0, 0)
(2) H(x, y) = fxx (x, y)fyy (x, y) − fxy (x, y)2 を求めよ。
fxx (x, y) = 4, fxy (x, y) = −2, fyy (x, y) = 2 より
H(x, y) = 4 · 2 − (−2)2 = 4
(4) f (x, y) の極値を求めよ。
停留点は (0, 0) のみで H(0, 0) = 4 > 0, fxx (0, 0) = 4 > 0 より
f (x, y) は極値を (0, 0) でとり、f (0, 0) = 3 は f (x, y) の極小値。
問 5 連立 1 次方程式

y + 3z =
4

 x −
2x − y + 4z =
3 を解け。


 −x + 3y − 6z = −10
掃き出し法で解く。






1 −1
3
4
1 −1
3
4
1 0
1 −1






 2 −1




4
3  −→  0
1 −2 −5  −→  0 1 −2 −5 


−1
3 −6 −10
0
2 −3 −6
0 0
1
4


1 0 0 −5



−→  0 1 0
3 
 となり、x = −5, y = 3, z = 4
0 0 1
4

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