2013 年度秋学期試験問題 基礎数学 2、A2 問 1 f (x, y) = x3 + 2y 3 − 3x2 y とする。このとき fx (1, −1), fy (1, −1) を求めよ。 問 2 次の関数 f (x, y) の偏導関数 fx (x, y), fy (x, y) を求めよ。 (1) f (x, y) = x2 (2) f (x, y) = x3 y 2 (3) f (x, y) = x2 − 4xy + y 2 1 2 (4) f (x, y) = x 3 y 3 1 1 問 3 5x+3y = 30 という条件のもとで x 2 y 2 の最大値を求めよ。ただし、x > 0, y > 0 とする。 問 4 f (x, y) = 2x2 − 2xy + y 2 + 3 とする。 (1) f (x, y) の停留点を求めよ。 (2) H(x, y) = fxx (x, y)fyy (x, y) − fxy (x, y)2 を求めよ。 (4) f (x, y) の極値を求めよ。 問5 連立 1 次方程式 y + 3z = 4 x − 2x − y + 4z = 3 を解け。 −x + 3y − 6z = −10 答え 問 1 f (x, y) = x3 + 2y 3 − 3x2 y とする。このとき fx (1, −1), fy (1, −1) を求めよ。 f (x, −1) = x3 + 3x2 − 2 より fx (x, −1) = 3x2 + 6x となり fx (1, −1) = 9 f (1, y) = 1 + 2y 3 − 3y より fy (1, y) = 6y 2 − 3 となり fy (1, −1) = 3 問 2 次の関数 f (x, y) の偏導関数 fx (x, y), fy (x, y) を求めよ。 (1) f (x, y) = x2 fx (x, y) = 2x, fy (x, y) = 0 (2) f (x, y) = x3 y 2 fx (x, y) = 3 ∗ x2 y 2 , fy (x, y) = 2x3 y (3) f (x, y) = x2 − 4xy + y 2 fx (x, y) = 2x − 4y, fy (x, y) = −4x + 2y 1 2 (4) f (x, y) = x 3 y 3 1 2 2 2 1 1 fx (x, y) = x− 3 y 3 , fy (x, y) = x 3 y − 3 3 3 1 1 問 3 5x+3y = 30 という条件のもとで x 2 y 2 の最大値を求めよ。ただし、x > 0, y > 0 とする。 まず 5x + 3y = 30 という条件のもとで xy の最大値を求める。 5 5x + 3y = 30 より y = − x + 10 3 ( ) 5 5 2 5 xy = x − x + 10 = − (x − 6x) = − (x − 3)2 + 15 より 3 3 3 xy は x = 3, y = 5 のとき最大で最大値は 15 √ ゆえに求める最大値は 15 問 4 f (x, y) = 2x2 − 2xy + y 2 + 3 とする。 (1) f (x, y) の停留点を求めよ。 fx (x, y) = 4x − 2y = 0, fy (x, y) = −2x + 2y = 0 より停留点は (0, 0) (2) H(x, y) = fxx (x, y)fyy (x, y) − fxy (x, y)2 を求めよ。 fxx (x, y) = 4, fxy (x, y) = −2, fyy (x, y) = 2 より H(x, y) = 4 · 2 − (−2)2 = 4 (4) f (x, y) の極値を求めよ。 停留点は (0, 0) のみで H(0, 0) = 4 > 0, fxx (0, 0) = 4 > 0 より f (x, y) は極値を (0, 0) でとり、f (0, 0) = 3 は f (x, y) の極小値。 問 5 連立 1 次方程式 y + 3z = 4 x − 2x − y + 4z = 3 を解け。 −x + 3y − 6z = −10 掃き出し法で解く。 1 −1 3 4 1 −1 3 4 1 0 1 −1 2 −1 4 3 −→ 0 1 −2 −5 −→ 0 1 −2 −5 −1 3 −6 −10 0 2 −3 −6 0 0 1 4 1 0 0 −5 −→ 0 1 0 3 となり、x = −5, y = 3, z = 4 0 0 1 4
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