D = 2 · 1

数学 A2 2 変数関数の極値
問題 1. f (x, y) の極値をとり得る点において, 次の問題 3. f (x, y) = x2 + xy + y とする.
fxx , fxy , fyy の値から極大, 極小, 極値をとらないか
(1) 極値をとりうる点を求めよ.
{
を判定せよ.
fx = 2x + y = 0
(1) fxx = 2, fxy = 2, fyy = 1
fy = x + 1
D = 2 · 1 − 22 = −2 < 0
極値をとらない.
(2) fxx = −3, fxy = 2, fyy = −2
D = (−3) · (−2) − 22 = 2 > 0
fxx = −3 < 0
極大になる.
x = −1, y = 2
∴ (x, y) = (−1, 2)
(2) 極値を調べよ.
fxx = 2, fxy = 1, fyy = 0
D = 2 · 0 − 12 = −1 < 0
極値をとらない.
問題 4. f (x, y) = x2 − xy + y 2 + x − 5y + 1 とする.
(3) fxx = −1, fxy = 1, fyy = 0
D = (−1) · 0 − 1 = −1 < 0
2
(1) 極値をとりうる点を求めよ.
{
fx = 2x − y + 1 = 0
fy = −x + 2y − 5 = 0
∴ (x, y) = (1, 3)
極値をとらない.
(4) fxx = 2, fxy = 1, fyy = 1
D = 2 · 1 − 12 = 1 > 0
fxx = 2 > 0
極小になる.
問題 2. f (x, y) = x2 + y 2 + 2x − 2y とする.
(1) 極値をとりうる点を求めよ.
{
= 0
(2) 極値を調べよ.
fxx = 2, fxy = −1, fyy = 2
D = 2 · 2 − (−1)2 = 3 > 0
fxx = 2 > 0
(x, y) = (1, 3) において
極小値 f (1, 3) = −6 をとる.
問題 5. f (x, y) = −x2 − 4xy − 6y 2 + 4 とする.
fx = 2x + 2 = 0
fy = 2y − 2 = 0
x = −1, y = 1
∴ (x, y) = (−1, 1)
(2) 極値を調べよ.
fxx = 2, fxy = 0, fyy = 2
D = 2 · 2 − 02 = 4 > 0
fxx = 2 > 0
(x, y) = (−1, 1) において
極小値 f (−1, 1) = −2 をとる.
(1) 極値をとりうる点を求めよ.
{
fx = −2x − 4y = 0
fy = −4x − 12y = 0
∴ (x, y) = (0, 0)
(2) 極値を調べよ.
fxx = −2, fxy = −4, fyy = −12
D = (−2) · (−12) − (−4)2 = 8 > 0
fxx = −2 < 0
(x, y) = (0, 0) で
極大値 f (0, 0) = 4 をとる.
数学 A2 2 変数関数の極値
問題 1. f (x, y) の極値をとり得る点において, 次の問題 3. f (x, y) = x2 + xy + y とする.
fxx , fxy , fyy の値から極大, 極小, 極値をとらないか
(1) 極値をとりうる点を求めよ.
{
を判定せよ.
fx = 2x + y = 0
(1) fxx = 2, fxy = 2, fyy = 1
fy = x + 1
D = 2 · 1 − 22 = −2 < 0
極値をとらない.
(2) fxx = −3, fxy = 2, fyy = −2
D = (−3) · (−2) − 22 = 2 > 0
fxx = −3 < 0
極大になる.
x = −1, y = 2
∴ (x, y) = (−1, 2)
(2) 極値を調べよ.
fxx = 2, fxy = 1, fyy = 0
D = 2 · 0 − 12 = −1 < 0
極値をとらない.
問題 4. f (x, y) = x2 − xy + y 2 + x − 5y + 1 とする.
(3) fxx = −1, fxy = 1, fyy = 0
D = (−1) · 0 − 1 = −1 < 0
2
(1) 極値をとりうる点を求めよ.
{
fx = 2x − y + 1 = 0
fy = −x + 2y − 5 = 0
∴ (x, y) = (1, 3)
極値をとらない.
(4) fxx = 2, fxy = 1, fyy = 1
D = 2 · 1 − 12 = 1 > 0
fxx = 2 > 0
極小になる.
問題 2. f (x, y) = x2 + y 2 + 2x − 2y とする.
(1) 極値をとりうる点を求めよ.
{
= 0
(2) 極値を調べよ.
fxx = 2, fxy = −1, fyy = 2
D = 2 · 2 − (−1)2 = 3 > 0
fxx = 2 > 0
(x, y) = (1, 3) において
極小値 f (1, 3) = −6 をとる.
問題 5. f (x, y) = −x2 − 4xy − 6y 2 + 4 とする.
fx = 2x + 2 = 0
fy = 2y − 2 = 0
x = −1, y = 1
∴ (x, y) = (−1, 1)
(2) 極値を調べよ.
fxx = 2, fxy = 0, fyy = 2
D = 2 · 2 − 02 = 4 > 0
fxx = 2 > 0
(x, y) = (−1, 1) において
極小値 f (−1, 1) = −2 をとる.
(1) 極値をとりうる点を求めよ.
{
fx = −2x − 4y = 0
fy = −4x − 12y = 0
∴ (x, y) = (0, 0)
(2) 極値を調べよ.
fxx = −2, fxy = −4, fyy = −12
D = (−2) · (−12) − (−4)2 = 8 > 0
fxx = −2 < 0
(x, y) = (0, 0) で
極大値 f (0, 0) = 4 をとる.

Download Report