経済・経営数学1 演習解答

経済・経営数学１演習解答
第１０節２変数関数の極値
【演習問題】
[1] ２変数関数 f (x, y) = x2 − 2xy + 2y 2 − 6x + 8y + 7 の極値を求めよ。
fx (x, y) = 2x − 2y − 6 = 0, fy (x, y) = −2x + 4y + 8 = 0 より、停留点は (x, y) =
(2, −1)。
fxx (x, y) = 2, fxy (x, y) = −2, fyy (x, y) = 4。
D(x, y) = fxx (x, y)fyy (x, y) − {fxy (x, y)}2 = 4。
よって停留点において、D(2, −1) = 4 > 0, fxx (2, −1) = 2 > 0。
したがって、f (2, −1) = −3 は極小値である。
√
[2] ２変数関数 f (x, y) = −x2 + 4x − y 2 − 2y − 4 の極値を求めよ。
−x + 2
−y − 1
zx =
= 0, zy =
= 0。停留点は (x, y) = (2, −1)。z = f (2, −1) = 1。
z
z
−z − (−x + 2)zx
(−x + 2)zy
−z − (−y − 1)zy
zxx =
, zxy = −
, zyy =
.
2
2
z
z
z2
停留点において，zx = 0, zy = 0, z = 1 より，zxx = −1 < 0, zxy = 0, zyy = −1,
D = zxx zyy − (zxy )2 = 1 > 0。よって，z = f (2, −1) = 1 は極大値。

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