解析学II 演習問題解答例 (第6回)

解析学 II 演習問題解答例 (第 6 回)
問題 1. 省略．
問題 2. 講義で説明した方針に沿って，二変数関数 z = f (x, y) の極値をすべ
て求める
(1) f (x, y) = 4x − x2 − 2y 2 について，
fx = 4 − 2x = 0,
fy = −4y = 0
より，停留点は (x, y) = (2, 0) の一点．ここで，
f (2, 0)
H(2, 0) = xx
fxy (2, 0)
fxy (2, 0) −2 0 =8
=
fyy (2, 0) 0 −4
より，停留点において H(2, 0) = 8 > 0, fxx (2, 0) = −2 < 0 が成
立．従って，f (x, y) は極大値 f (2, 0) = 4 を持つ．
(2) f (x, y) = 2x3 + 16x2 − 38x − 10xy + y 2 + 10y について，停留
点を (a, b) とすると，
fx (a, b) = 6a2 + 32a − 38 − 10b = 0,
(1a)
fy (a, b) = −10a + 2b + 10 = 0
(1b)
が成立する．式 (1b) より，b = 5a − 5 が成り立ち，これを式 (1a)
に代入すると，
6a2 +32a−38−10(5a−5) = 6a2 −18a+12 = 6(a−1)(a−2) = 0
が導かれる．従って，停留点は (1, 0), (2, 5) の二つ．また，fxx =
12x + 32, fyy = 2, fxy = −10 が成立する．以下では，各停留点
(a, b) 毎に判定する：
(i). (a, b) = (1, 0) のとき，
44 −10
= −12 < 0
H(1, 0) = 2 −10
より，f (1, 0) は極値でない．
1
(ii). (a, b) = (2, 5) のとき，
56 −10
= 12 > 0,
H(2, 5) = −10
2 fxx (2, 5) = 56 > 0
より，f (2, 5) = −21 は極小値．
以上をまとめると，f (x, y) は (2, 5) で極小値 f (2, 5) = −21 を
持つ．
(3) f (x, y) = x3 + x2 + xy 2 − 8x − y 2 について，停留点を (a, b) と
すると，
fx (a, b) = 3a2 + 2a + b2 − 8 = 0,
(2a)
fy (a, b) = 2ab − 2b = 2b(a − 1) = 0
(2b)
が成り立つ．式 (2b) より，a = 1 または b = 0 が成り立つ．こ
こで，各場合を式 (2a) に代入すると，
√
b=± 3
a=1
⇒
b2 − 3 = 0
b=0
⇒
(3a − 4)(a + 2) = 0
⇔
⇔
a = −2,
√
4
3
が導かれる．従って，停留点は (1, ± 3), (−2, 0), ( 43 , 0) の 4 つ．
また，fxx = 6x + 2, fyy = 2x − 2, fxy = 2y が成立し，以下各停
留点 (a, b) 毎に判定する．
√
(i). (a, b) = (1, − 3) のとき，
√ √
8
−2 3
H(1, − 3) = √
= −12 < 0
−2 3
0 √
より，f (1, − 3) は極値でない．
√
(ii). (a, b) = (1, 3) のとき，
√ √
8
3
2
H(1, 3) = √
= −12 < 0
2 3
0 √
より，f (1, 3) は極値でない．
2
(iii). (a, b) = (−2, 0) のとき，
−10 0 = 60 > 0,
H(−2, 0) = 0
−6
fxx (−2, 0) = −10 < 0
より，f (−2, 0) = 12 は極大値．
(iv). (a, b) = ( 43 , 0) のとき，
(
) 10 0 20
4
=
H
, 0 = > 0,
0 23 3
3
(
)
より，f 34 , 0 = − 176
27 は極小値．
( )
4
fxx
= 10 > 0
3
以上をまとめると，f (x, y) は (−2, 0) で極大値 12 を，
(4
)
,
0
で
3
極小値 − 176
27 を持つ．
(4) f (x, y) = (x + y)e−x
−y 2
fx (a, b) = e−a
−b2
(1 − 2a(a + b)) = 0,
fy (a, b) = e−a
−b2
(1 − 2b(a + b)) = 0
2
2
2
が成立し，e−a
2
−b2
について，停留点を (a, b) とすると，
> 0 なので，結局
1 − 2a(a + b) = 0,
(3a)
1 − 2b(a + b) = 0.
(3b)
a + b = 0 を上式に代入すれば，1 = 0 と不成立なので，a + b ̸= 0
は仮定してよい．従って，
1 = 2a(a + b) = 2b(a + b)
⇒
a=b
が成立する．これを 1 = 2a(a + b) に代入すれば，4a2 = 1 ⇔
(
)
a = ± 21 ．従って，停留点は (a, b) = ± 12 , ± 12 (複合同順) の二
つ．また，
fxx = 2e−x
2
−y 2
(−3x − y + 2x3 + 2x2 y),
fyy = 2e−x
2
−y 2
(−x − 3y + 2xy 2 + 2y 3 ),
fxy = 2e−x
2
−y 2
(−x − y + 2xy(x + y))
が成り立ち，以下各停留点 (a, b) 毎に判定する．
3
(i). (a, b) = ( 12 , 12 ) のとき，
(
H
1 1
,
2 2
)
−3e− 12
= − 1
−e 2
1 −e− 2 −1
> 0,
− 12 = 8e
−3e
(
fxx
1 1
,
2 2
)
<0
より，f ( 21 , 12 ) = e− 2 は極大値．
1
(ii). (a, b) = (− 12 , − 12 ) のとき，
(
H
−1 −1
,
2 2
)
−1
3e 2
= − 1
e 2
より，f ( −1
2 ,
−1
2 )
1 e− 2 −1
> 0,
− 12 = 8e
3e
(
fxx
−1 −1
,
2 2
)
>0
= −e− 2 は極小値．
1
問題 3. (1) 仮定より x > 0, y > 0, z > 0．体積一定なので，関係式
xyz = a
3
⇔
a3
z=
xy
が成立する．従って，表面積を S(x, y) とすると，
S(x, y) = 2(xy + yz + zx) = 2xy + 2z(x + y)
2a3 (x + y)
2a3
2a3
= 2xy +
= 2xy +
+
.
xy
x
y
(2) 最小となる点は極小値をとる点のいずれか (もしくは定義域の端
点) になるため，極小値を求める．停留点を (¯
x, y¯) とすると，
2a3
Sx = 2¯
y − 2 = 0,
x
¯
2a3
Sy = 2¯
x− 2 =0
y¯
これを解くと，停留点は (a, a) の一点であり，これは，
Sxx (a, a)
H(a, a) = Sxy (a, a)
Sxy (a, a) 4 2
=
= 12 > 0,
Syy (a, a) 2 4
Sxx (a, a) = 4 > 0
を満たす．従って，S(a, a) = 6a2 は極小値．極小となる点はこ
れ一点のため x = a, y = a, z = a のとき，表面積は最小値 6a2
をとる．
4
問題 4. (1) 仮定より，0 < x, y, x + y < 2π ．求める面積は，
1 2
a (sin x + sin y + sin(2π − x − y))
2
a2
= (sin x + sin y − sin(x + y)).
2
S(x, y) =
(2) 最大となる点は，極大値をとる点のいずれか (もしくは定義域の
端点) であるため，S(x, y) の極大値を求める．停留点を (¯
x, y¯) と
すると，
a2
(cos x
¯ − cos(¯
x + y¯)) = 0,
2
a2
Sy = (cos y¯ − cos(¯
x + y¯)) = 0
2
Sx =
(4a)
(4b)
が成立する．上式より，ただちに
cos x
¯ = cos y¯
⇒
sin x
¯ = ± sin y¯
が成立する．これを式 (4a) に代入すると，余弦の下方定理より，
cos x
¯ − cos(¯
x + y¯)
{
cos x
¯ − cos2 x
¯ + sin2 x
¯ (sin x
¯ = sin y¯)
=
2
cos x
¯ − cos2 x
¯ − sin x
¯ (sin x
¯ = − sin y¯)
{
1 + cos x
¯ − 2 cos2 x
¯ (sin x
¯ = sin y¯)
=
cos x
¯ − 1 (sin x
¯ = − sin y¯)
=0
が導かれる．ここで，sin x
¯ = − sin y¯ のとき，cos x
¯ = 1を
満たす点は 0 < x
¯ < 2π 内に存在しないため不適．cos x
¯ =
cos y¯, sin x
¯ = sin y¯(⇔ x
¯ = y¯) のとき，
1 + cos x
¯ − 2 cos2 x
¯ = (1 + 2 cos x
¯)(1 − cos x
¯) = 0
を満たす定義域内の点は x
¯ = y¯ =
2π
3
0<x
¯ + y¯ < 2π を満たさない)．したがって，停留点は
5
4π
3 は
2π
( 2π
3 , 3 )
のみ (¯
x = y¯ =
の一点であり，これは，
√ 2
√ 2
9a4
3a
2π 2π
− √3a
− √ 2
4
H( ,
)=
> 0,
2
2 =
3a
3a
− 4
3 3
16
− 2 √ 2
2π 2π
3a
Sxx ( ,
)=−
<0
3 3
2
√
3 3 2
4 a
は極大値．定義域内で
極大となる点はこれ一点のため x = y =
2
3 π ，すなわち正三角形
を満たす．従って，S( 23 π, 23 π) =
のとき，面積は最大値
√
3 3 2
4 a
6
をとる．

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