On the approximation of the nonlinear filtering equation 田中秀幸 (立命館大学) Abstract 連続時間観測下での非線形フィルタリング問題に対する Euler 型離散近似の誤差解析についての結果を述べる. 誤差の p 次ノルム評価と, 漸近誤差分布の 2 点について議論する. 1 導入適当な確率空間 (Ω, F, P ) 上で, シグナル過程 X = (Xt )t≥0 と観測過程 Y = (Yt )t≥0 は以下の確率微分方程式に従うものとする. ∫ t ∫ t Xt = X0 + b(Xs )ds + σ(Xs )dBs 0 ∫ 0 t Yt = h(Xs , Ys )ds + Wt . 0 ただし X0 , B, W は独立で, B = (Bt )t≥0 と (Wt )t≥0 をそれぞれ e 次元と d 次元の標準ブラウン運動とする. 連続時間下での観測 (Ys )s∈[0,t] を観測した下での Xt の条件付き分布, すなわち E[g(Xt )|FtY ] を計算することがフィルタリングの基本的な問題である. この条件付き平均を計算するために測度変換を以下のようにおこなう (Kallianpur-Striebel 公式, 抽象 Bayes 公式): E[g(Xt )|FtY ] = dP (t) = exp dP˜ (∫ dP Y ˜ E[g(X t ) dP˜ (t)|Ft ] ˜ dP (t)|FtY ] E[ dP˜ t h∗ (Xs , Ys )dYs − 0 1 2 ∫ t ) |h|2 (Xs , Ys )ds =: Φt . 0 Y ˜ Remark 1.1. 条件付き平均の時間発展 t 7→ E[g(X t )Φt |Ft ] がある (measure-valued の) 確率偏微分方程式に対応する. 特にその条件付き密度関数が存在するときに, その時間発展は通常の意味での確率偏微分方程式となる. 2 2.1 離散時間近似とその誤差評価および漸近誤差分布 Euler 型近似 (Picard’s filter [1]) Y ˜ 計算対象である E[g(X 1 )Φ1 |F1 ] に対して, Euler 型近似である ˜ ¯n Y E[g(X 1 )Φ1 |F1 ] ∫ (∫ t ) 1 t 2 ¯ nt := exp Φ h∗ (Xη(s) , Yη(s) )dYs − |h| (Xη(s) , Yη(s) )ds 2 0 0 を考える. ただし, η(t) ≡ ηn (t) = ti := i/n if t ∈ [i/n, (i + 1)/n) とする. これにより離散のデータ Yti+1 − Yti を使ってモンテカルロシミュレーションが実行可能になる. 実用上は X の近似 (例えば Euler-丸山近似など) も考える必要があるが, 適当な滑らかさの仮定の下で同様の誤差評価の議論ができるのでここでは省略する. 誤差解析を厳密におこなうために次の仮定を置く. 1 (H1 ) : b, σ は Lipschitz 連続. X0 ∈ ∩p Lp . (H2 ) : g は多項式増大度を持つ可測関数. (H3 ) : h ∈ Cb2 . 大雑把にいえば, 考える条件付き平均が適当にモーメントをもち, 誤差解析のために伊藤の公式が 1 回分は使える程度の仮定が h には必要となる. 2.2 Lp -ノルムによる上からの評価 Theorem 2.1. ([1],[3]) (H1 )-(H3 ) を仮定する. このとき p ] p1 [ C n Y ˜ E[g(X ˜ ¯ E )(Φ − Φ )|F ] ≤√ . 1 1 1 1 n (1) さらに h(x, y) = h(x) であると仮定すれば p ] p1 [ C Y ˜ ¯n ˜ E[g(X E ≤ . 1 )(Φ1 − Φ1 )|F1 ] n 2.3 (2) 誤差分布の極限定理 Theorem 2.2 ([2]). (H1 )-(H3 ) を仮定するとき, 正規化した誤差 √ Y ˜ ¯n nE[g(X 1 )(Φ1 − Φ1 )|F1 ] はある拡張した確率空間上の確率変数 v ∫ 1 u ) ( u1 ∑ Y 2 ˜ E[g(X Zt 1 )Φ1 ∂yj hi (Xs , Ys )|F1 ] ds 2 0 (3) 1≤i,j≤d に安定収束する. ただし Z は Y とは独立な標準正規分布とする. Corollary 2.3. 仮定 (H1 )-(H3 ) の下で, さらに   ∑ ∫ 1( ) 2 Y ˜  > 0, P˜  E[g(X 1 )Φ1 ∂yj hi (Xs , Ys )|F1 ] ds > 0 1≤i,j≤d (4) 0 が成り立つとする. このとき任意の ϵ > 0 に対して ] [ 1 Y ˜ E[g(X ˜ ¯n lim sup n 2 +ϵ E 1 )(Φ1 − Φ1 )|F1 ] = ∞. n→∞ (すなわち, 仮定 (4) の下で Lp -誤差の収束オーダーが √ n を超えることは不可能である.) References [1] J. Picard, Approximation of nonlinear fltering problems and order of convergence, Filtering and Control of Random Processes (Lecture Notes Control Inform. Sci. 61), Springer, Berlin, 1984, 219236. [2] T. Ogihara, H. Tanaka, in preparation. [3] H. Tanaka, A new proof for the convergence of Picard’s flter using partial Malliavin calculus, preprint. 2