空間非一様な消散項を持つ非線形波動方程式の大域解の存在と減衰評価について渡辺朋成 (Watanabe Tomonari) 広島大学大学院理学研究科数学専攻 D1 E-mail: [email protected] 1 Introduction d ≥ 1 とする. 次の消散型非線形波動方程式を考える. { 2 ∂t u(t, x) − △u(t, x) + B(x)∂t u(t, x) = N [u, u](t, x), (t, x) ∈ [0, ∞) × Rd , (DW) u(0, x) = u0 (x), ∂t u(0, x) = u1 (x), x ∈ Rd , ここで u = (u1 , u2 , · · · , ud ) とする. 消散項の係数行列関数 B(x) は d × d 対称行列でその成分は B ∞ に属すとし, 二次の非線形項 N [u, v](t, x) は次を満たすと仮定する. N [u, v] = (N [u, v]i )i=1,2,··· ,d , d ∑ i N [u, v] = ijk Nlmn ∂l (∂m uj ∂n v k ) ijk jik ikj (Nlmn = Nmln = Nlnm ). j,k,l,m,n=1 今回, 我々は B(x) が次の条件を満たす事を仮定する. (B1) B(x) は非負値である. i.e. d ∑ Bpq (x)ηp ηq ≥ 0 (η, x ∈ Rd ). p,q=1 (B2) 次を満たす定数 b0 > 0 と R > 0 が存在する. d ∑ Bpq (x)ηp ηq ≥ b0 |η|2 (|x| ≥ R, η ∈ Rd ). p,q=1 先行結果について簡単に述べる. 消散項の係数関数が B が消えている場合, (DW) は二次の非線型性を持つ非線形波動方程式となる. この場合, 一般には時間大域解の存在は証明できず (e.g [2]), 非線形項 N に”null condition”と呼ばれる条件を課す事により時間大域解の存在定理が証明される (e.g [3]). 一方 B ≡ Const > 0 の場合については多くの研究があり, 今回の非線形項を含む一般の形で時間大域解の存在と減衰評価が得られる事が知られている (e.g [5]). 2 Main Results 次が今回得られた主定理である. Theorem 2.1. L ≥ L0 = [d/2] + 3 とする. 次を満たす十分小さな δ > 0 が存在する. 初期値 (u0 , u1 ) ∈ H L × H L−1 が ∥u0 ∥2H L0 + ∥u1 ∥2H L0 −1 ≤ δ, 0 +1 を満たすならば, (DW) は時間大域的な解を ∩L−L C j ([0, ∞); H L−j ) 上で一意に持つ. j=0 Theorem 2.2. 0 ≤ µ ≤ L − L0 とする. Theorem 2.1 の仮定に加えて, 次の (H1) または (H2) を仮定する. (H1) d ≥ 3 とし, さらにある 1 ≤ p ≤ 2d d+2 が存在して Bu0 + u1 ∈ Lp である. (H2) d ≥ 3 とし, さらに ∥ · |{Bu0 + u1 }∥L2 < ∞ が成り立つ. 1 この時初期値に依存した定数 E0 = E0 (u0 , u1 ) が存在して, (DW) の時間大域解 u に対して次の減衰評価が成立する. ∥∂tµ u(t)∥2H L−µ + ∥∂tµ+1 u(t)∥2H L−µ−1 ≤ E0 (1 + t)−2µ−1 , (1) ∥∇∂tµ u(t)∥2L2 + ∥∂tµ+1 u(t)∥2L2 ≤ E0 (1 + t)−2µ−2 , (2) ∥∂tµ u(t)∥2L∞ ≤ E0 (1 + t)−2µ−1 . (3) さらに L > L0 ならば, 次も成立する. ∥△u(t)∥2L2 ≤ E0 (1 + t)−3 . 3 (4) Sketch of proof 次のスケール変換を考える. u を (DW) の解とし, λ > 0 に対して v を v(t, x) = u (λt, λx) /λ で定める. この時 v は次の初期値問題の解である. { 2 ∂t v(t, x) − △v(t, x) + Bλ (x)∂t v(t, x) = N [v, v](t, x), (t, x) ∈ [0, ∞) × Rd , (DW)λ v(0, x) = v0 (x), ∂t v(0, x) = v1 (x), x ∈ Rd , ここで Bλ (x) = λB (λx) , v0 (x) = u0 (λx)/λ, v1 (x) = u1 (λx) とした. (DW) の代わりに (DW)λ の時間大域存在と減衰評価を示す事にする. 具体的には [1] や [4] で使用されているエネルギー評価を高階微分まで含めたエネルギー評価に拡張し、時間大域解の存在証明に必要なアプリオリ評価を導くという手法をとる. この時 λ を十分小さくとる事が証明のポイントとなる. 一方時間減衰評価については [1] の方法を参考にした. まず (DW)λ の解 v が条件 (H1) または (H2) を満たすならば, ∫ ∞ 0 ∥v(t)∥2L2 dt < ∞. (5) を満たす事を示し, その後 (5) と重み付きエネルギー評価によって減衰評価 (1) から (4) を得る. (5) を示すために, (DW)λ の時間大域解 v に対して ∫ w(t, x) = t v(s, x)ds, (6) 0 と定め, w が  ∫ t  2 ∂t w(t, x) − △w(t, x) + Bλ (x)∂t w(t, x) = N [v, v](τ, x)dτ + Bλ (x)v0 (x) + v1 (x), 0  w(0, x) = 0, ∂t w(0, x) = v0 (x). を満たす事を用いる. この w についてエネルギー評価を行なう事によって, (5) を得ることが出来る. References [1] R. Ikehata, Fast decay of solutions for linear wave equations with dissipation localized near inﬁnity in an exterior domain, J. Diﬀerential Equations 188 (2003), 390-405. [2] F. John, Blow-up for quasilinear wave equations in three space dimensions, Comm. Pure Appl. Math. 34 (1981), no. 1, 29-51. [3] S. Klainerman, The null condition and global existence to nonlinear wave equations, Lectures in Applied Math., 23 (1986), 293-326. [4] M. Nakao, Decay of solutions of the wave equation with a local nonlinear dissipation. Math. Ann. 305 (1996), no. 3, 403-417. [5] R. Racke, Nonhomogeneous nonlinear damped wave equations in unbounded domains.Math. Methods Appl. Sci. 13 (1990), no. 6, 481-491. 2