5 三角比

1 次：計算技能対策
三角比
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講義のポイント
・正弦定理・余弦定理は証明まで理解しよう！
・三角比の相互関係は
を使いこなせるようにしよう！
を使いこなせるようにしよう！
三角比の相互関係は
」も忘れずに！
・三角形の面積は，「底辺
・三角形の面積は，「底辺高さ」
■三角比
正弦・余弦・正接とは，単位円において点，から正の方向に回転した動点 P を定
めたとき，以下のように定義される。
，，上記の公式の導出は以下になる。
(証明)
動点 P は円周上にあるため，
これより，
であり，定義から
よって，
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■正弦定理・余弦定理
■正弦定理・余弦定理
! "#$において，頂点"，#，$に向かい合う対辺#$，$"，"#の長さを，それぞれ
，，とし，∠"，∠#，∠$の大きさを%，&，'と表すとき，以下が成り立つ。
正弦定理
は ! 234の外接円の半径
の外接円の半径
正弦定理 1は
の外接円の半径 1
. / 0
余弦定理
余弦定理
5 .
5 /
(正弦定理の証明)
① () %について
(i) BC が外接円の直径でない場合
円周角の定理より，AB または AC が直径になるので，
三角比の定義から
% ()
* () %
(ii) BC が外接円の直径である場合
円周角の定理より，+" ,-であるので，
() % () ,-
②③も同様にして
() & ， () '
が成り立つ。
よって，①②③より
1
. / 0
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5 0
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(余弦定理の証明)
上図のように座標軸を取ると，それぞれの頂点の座標は
"，，#，，$ % ， %
となり，頂点 C から辺 AB に下ろした垂線の足を点 H とするとき，
! 6#$において，三平方の定理より
7 5 %7 8 %9 5 ( % 8 % %9
5 .
ここで，それぞれの文字を循環的に変える
循環的に変えることで，
循環的に変える
5 /
5 0
が成り立つ。
■三角形の面積
三角形の面積は，三角比を用いても求めることができる。しかし，「底辺高さ (」の
公式も使える時は使うようにしよう。
! 234の面積
の面積:は
の面積は
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:
.
:
/
:
0
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●練習問題●
練習問題●
1
□
三角比
;(
8 ≤ ≤ =9のとき次の値を求めなさい。
89 839? ? 2
□
8(9 5 849ta 5
ta 正弦定理・余弦定理
! "#$において，対辺の長さを，，，外接円の半径を)とする。
89 6，& 3-，' 5-のとき，と)を求めなさい。
8(9 )，& (-のとき，%を求めなさい。
839 ;6 5 ;(， (;3，% 45-のとき，と'を求めなさい。
8498 9: 8 9: 8 9 4: 5: 6のとき，%を求めなさい。
3
□
三角形の面積
円に内接する四角形"#$Dがある。"# 4，#$ 5，$D 7，D" のとき，この四角形
の面積Hを求めなさい。
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