応用解析第1（数理・物理）中間テスト 2014年5月27日4限実施

応用解析第１（数理・物理）中間テスト
2014 年 5 月 27 日 4 限実施
問 1. f : R → R は C 2 級で、微分方程式 f ′′ (t) + c2 f (t) = 0 を満たすとする（c ̸= 0 は t に依ら
ない実定数）。g(t) = f (t) cos ct − c−1 f ′ (t) sin ct, h(t) = f (t) sin ct + c−1 f ′ (t) cos ct とおく。
(i) g(t), h(t) は t に依らない定数であることを示せ。（１０点）
(ii) t に依らない実定数 a, b が存在して f (t) = a cos ct + b sin ct が成り立つことを示せ。（１
５点）
問 2. 以下で定義される R 上の 2π-周期関数 f のフーリエ級数 fˆ(n)（n は整数）とフーリエ級
数を求めよ。（２５点）

π
x


− 2 − 2 if −π < x < 0;
f (x) =
π
− x2 if 0 < x < π
2


0 if x = 0
問 3. 次の問いに答えよ。
(i) 関数項級数に対する優級数定理を述べよ。(５点)
∑
3
− 32
(ii) x− 2 （x > 0）の積分を利用して、 ∞
は収束することを示せ。（５点）
n=1 n
(iii) 優級数定理を用いて、次の関数項級数
∞
∑
n=1
x
n(1 + nx2 )
が区間 I = (0, +∞) 上で一様収束することを示せ（ヒント：相加平均 ≥ 相乗平均）。
（１５点）
問 4. 次の問いに答えよ。
(i) [0, 1] 上の関数列 fn = (1/n) sin nx を考える。{fn } は一様収束するが {fn′ } は一様収束し
ないことを示せ。（１０点）
(k)
(ii) C m ([0, 1]) の関数列 {fn } であって、任意の 0 ≤ k ≤ m − 1 に対して {fn } は一様収束
(m)
するが {fn } は一様収束しないようなものの例を挙げよ。(i) をヒントにしてもしなくてもよ
い。（１５点）
略解と採点基準
問 1. (i) g(t), h(t) を t で微分して 0 になることをいえばよい。一つにつき 5 点。部分点は与え
ない。
(ii) (i) より g(t) = a, h(t) = b（a, b は実定数）なので、この２式より結論を得る。
（１５点）
部分点は与えない。
問 2. fˆ(n) = 1/(2in) (n ̸= 0), （１５点） fˆ(0) = 0（５点）. （複素）フーリエ係数でなく、
∫π
∫π
フーリエ正弦係数 (1/2π) −π f (x) sin nxdx とフーリエ余弦係数 (1/2π) −π f (x) cos nxdx を正
∑
inx
しく求めているものも正解とする。フーリエ級数は n̸=0 e2in .（５点）部分点は与えない。
問 3. (i) 区間 I 上の関数列 {fn } が
∑
sup{|fn (x)| : x ∈ I} < ∞
n
∑
を満たすなら、関数項級数 n fn は一様収束する。さらに、この収束は I 上の至るところ絶
対収束である。（５点）
さらに、以下はなくても不正解とはしない。fn の連続性を仮定していても正解とする。も
∑
し fn が連続なら、 n fn も連続である。
(ii) 略。部分点は与えない。（５点）
(iii)
∞
∑
x
1 ∑ −3
≤
n 2
2)
n(1
+
nx
2
n=1
と優級数定理より。部分点は与えない。（１５点）
問 4. (i) fn′ が一様収束するなら、その一様収束先は f ≡ 0 でなければならない。しかるに
fn′ = cos nx であり、supx∈[0,1] |fn′ (x) − f (x)| = 1 なので一様収束しない。
(k)
(k)
(ii) fn (x) = (1/nm ) sin nx. 実際に、0 ≤ k ≤ m − 1 なら |fn (x)| ≤ nk−m なので、fn
(m)
は 0 に一様収束する。fn が一様収束するなら、その一様収束先は 0 でなければならないが、
(m)
supx∈[0,1] |fn (x) − 0| = 1 なので一様収束しない。
xn
他にも fn (x) = n(n−1)(n−2)···(n−m+1)
という解答があった。これも正解である。理由は省略。

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