数学演習Ｉ小テスト (５０分) 7 月 11 日１次の級数の和をそれぞれ求めよ. ∞ ∞ ∑ ∑ 1 1 (i) (ii) n 2 5 n +n n=1 n=1 ２次の級数の収束、発散を判定せよ. (i) ∞ ∑ n=1 ∞ ∑ 1 nn (a, b > 0) (ii) (n + a)(n + b) n! n=1 (−1)n とする. I = [0, 2] とする. 2n + sin x (1) 極限関数 limn→∞ fn (x) を求めよ。 (2) この関数列の収束は一様収束か？３ fn (x) = nx とする. I = [0, 2] とする. 1 + nx (1) 極限関数 limn→∞ fn (x) を求めよ。 (2) この関数列の収束は一様収束か？４ fn (x) = 以下は 7 月 18 日の演習問題。テストの問題ではありません. 解答しても点数にならない５ (昨年の 4 番) 2 (1) 楕円 x4 + y 2 = 1 上に点 A(−2, 0) を取り、次に同じ楕円上に２点 P, Q を線分 PQ がｙ軸と平行になるように取る。三角形 APQ の最大値を求めよ ∫ b |f (x)|2 dx = 0 ならば f (x) は区間 [a, b] で恒等的に 0. (2) f (x) は区間 [a, b] で連続で a すなわち f (x) ≡ 0 となることを示せ。６ (昨年の 5 番) 数列 {an } は an > 0 (n = 1, 2, 3, · · · ) かつ単調増加 (an+1 > an (n = 1, 2, 3, · · · )) とする. 次の問いに答えよ。 1 (1) an+1 − an < n (n = 1, 2, 3, · · · ) ならば an は収束列であることを示せ. (ヒント 2 Cauchy 列) (2) lim (an+1 − an ) = a > 0 ならば an が収束列ではなく発散することを示せ. n→∞ ７ (昨年の 6 番) 閉区間 [0, 1] 上の関数列 fn (x) = xn (1 − x) について次の問いに答えよ。 (1) 関数列 fn (x) は [0, 1] 上一様収束することを示せ。 (1) 関数列 f ′ n (x) (導関数) は [0, 1] 上一様収束しないことを示せ。 1