複素関数論演習問題解答

複素関数論演習問題解答
木村泰紀∗
2014 年 4 月 18 日出題
問題 1. 次の複素数を x + iy の形であらわせ.
(i) eiπ/3 ,
(ii) 3eiπ/6 ,
(iii) 2e−iπ ,
(iv) 3e2iπ ,
解答 eiθ = cos θ + i sin θ を用いる.
(i) eiπ/3 = cos(π/3) + i sin(π/3) = 1/2 +
iπ/6
(ii) 3e
(v) 4eiπ/12 .
√
3i/2.
√
√
= 3(cos(π/6) + i sin(π/6)) = 3( 3/2 + i/2) = 3 3/2 + 3i/2.
(iii) 2e−iπ = 2(cos(−π) + i sin(−π)) = 2(−1 + 0i) = −2.
(iv) 3e2iπ = 3(cos 2π + i sin 2π) = 3(1 + 0i) = 3.
(v) 4eiπ/12 = 4(cos(π/12) + i sin(π/12)). ここで加法定理より
√
√
√ √
√
(π π)
π
3 2
2+ 6
π
π
π
π
1 2
= cos
−
= cos cos + sin sin =
+
=
,
12
3
4
3
4
3
4
2 2√
2 √2
4√
√
√
(π π )
π
π
π
π
3 2 1 2
6− 2
π
= sin
−
= sin cos − cos sin =
−
=
.
sin
12
3
4
3
4
3
4
2 2
2 2
4
√
√
√
√
よって 4eiπ/12 = ( 6 + 2) + ( 6 − 2)i.
cos
問題 2. 次の複素数の極表示を求めよ. ただし偏角 θ は −π < θ ≤ π の範囲を用いることにする.
(i) −3,
(ii) −4 + 4i,
√
(iii) 2 3 + 2i,
√
(iv) (1 + i)(2 3 + 2i),
(v) (1 − i)7 .
解答 (i) 極表示 reiθ において r ≥ 0 であることに注意すると, eiπ = cos π + i sin π = −1 より −3 = 3eiπ .
(ii) |−4 + 4i| =
√
√
√
√
(−4)2 + 42 = 32 = 4 2. よって −4 + 4i = 4 2eiθ , つまり
√
√
2
2
iθ
+
i
e = cos θ + i sin θ = −
2
2
√
をみたす θ を求めればよい
. θ = 3π/4 がこの式をみたすので, 極表示は −4 + 4i = 4 2e3iπ/4 .
√
√
(iii) |2 3 + 2i| =
√
√
√
(2 3)2 + 22 = 16 = 4. よって 2 3 + 2i = 4eiθ , つまり
√
iθ
e
= cos θ + i sin θ =
3 1
+ i
2
2
√
をみたす θ を求めればよい. θ = π/6 がこの式をみたすので, 極表示は 2 3 + 2i = 4eiπ/6 .
∗
東邦大学理学部情報科学科. http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/is/kimura/yasunori/
1
√
√
(iv) 1 + i の極表示を求めると 1 + i = 2eiπ/4 となる. (iii) より 2 3 + 2i = 4eiπ/6 であるから, 極表示は
√
√
√
√
(1 + i)(2 3 + 2i) = 2eiπ/4 · 4eiπ/6 = 4 2eiπ/4+iπ/6 = 4 2e5iπ/12 .
(v) 1 − i の極表示を求めると 1 − i =
√
2e−iπ/4 . よって極表示は
√
√ 7
√
(1 − i)7 = ( 2e−iπ/4 )7 = 2 e−7iπ/4 = 8 2eiπ/4 .
問題 3. eiθ1 eiθ2 = ei(θ1 +θ2 ) となることを用いて,
eiθ1
= ei(θ1 −θ2 )
eiθ2
が成り立つことを示せ.
解答 eiθ = cos θ + i sin θ であるから,
eiθ1
eiθ1
=
iθ
2
e
cos θ2 + i sin θ2
eiθ1 (cos θ2 − i sin θ2 )
=
(cos θ2 + i sin θ2 )(cos θ2 − i sin θ2 )
eiθ1 (cos θ2 − i sin θ2 )
=
cos2 θ2 − i2 sin2 θ2
eiθ1 (cos θ2 − i sin θ2 )
=
cos2 θ2 + sin2 θ2
= eiθ1 (cos θ2 − i sin θ2 ).
一方, cos(−θ) = cos θ, sin(−θ) = − sin θ であることより
ei(θ1 −θ2 ) = ei(θ1 +(−θ2 ))
= eiθ1 ei(−θ2 )
= eiθ1 (cos(−θ2 ) + i sin(−θ2 ))
= eiθ1 (cos θ2 − i sin θ2 ).
したがって, eiθ1 /eiθ2 = ei(θ1 −θ2 ) が示された.
2

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