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定在波と入力インピーダンス
科
v1.7 Aug.2014
1. 負荷 ZL で終端された伝送線路の定在波
年
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ごとに同じ値を繰り返すことが分かる。即ち，定在波は λ/2 の周期性
を有していることが分かる。従って，最大値と最小値の間隔は
l=
Z0 , β
π
π
λ
=
=
2β
4π/λ
4
(15)
となることが分かる。定在波パターンの例を図 2 に示す。
ZL
l
0
(l = − z )
図1
0
− min
ZL で終端された特性インピーダンス Z0 の伝送線路
− min
l [m]
図 1 に示すような特性インピーダンス Z0 の伝送線路上の電圧と電流
V (z) = V0 + e−jβz + V0 − ejβz
)
1 ( + −jβz
I(z) =
V0 e
− V0 − ejβz
Z0
z = 0 から負荷側を見込んだ入力インピーダンスは，
V (0)
V0 + + V0 −
= +
Zin |z=0 =
Z0 = ZL
I(0)
V0 − V0 −
(1)
図2
が得られる。これを V0
ZL − Z0 +
V0
Z0 + ZL
Γ=
V0 − e−jβl
V0 − −2jβl
(17)
e
= Γe−2jβl
+ jβl =
V0 e
V0 +
となる。即ち，終端から長さ l の位置における反射係数 Γ(l) は終端
l = 0 における反射係数 Γ に位相項 e−2jβl が掛けられた形になっ
ている。所で，終端から長さ l の位置における入力インピーダンス
(input impedance) は，式 (1) と式 (2) を z = −l で表現した式
V (l) = V0 + ejβl + V0 − e−jβl
(18)
V0 + jβl V0 − −jβl
I(l) =
(19)
e −
e
Z0
Z0
Γ(l) =
(5)
は*1
ZL − Z0
V0 −
=
ZL + Z0
V0 +
(6)
となる。通常の負荷インピーダンス ZL は抵抗分 R の他に誘導成分
L または容量成分 C を含む複素数となるため，式 (6) の反射係数も
複素数となる。即ち，θ を反射係数の位相角度とすれば
Γ = |Γ| ejθ
(7)
の形をとる。ここで，負荷から電源側を見込む方向を l 軸 (l = −z)
として線路上の電圧絶対値を求めると
|V (z)| = 1 + Γej2βz = 1 + Γe−2jβl となる。式 (8) に式 (7) を代入すると
|V (l)| = 1 + |Γ| ej(θ−2βl) となる。さらに式
(9) を複素数を使わずに表現すると*2
√
|V (l)| =
1 + |Γ|2 + 2 |Γ| cos (θ − 2βl)
と表現することもできる*3 。さて，式
の比をとって
(8)
(9)
(10)
(9) においてその最大値 Vmax
(11)
となる。一方，最小値については ej(θ−2βl) = −1 の場合に起こり，
Vmin = V0 + |1 − |Γ||
(12)
となる。式 (11) と式 (12) の比をとると
1 + |Γ|
Vmax
=
VSWR =
(13)
Vmin
1 − |Γ|
4
*
となる。式 (13) を電圧定在波比または単に定在波比と呼ぶ。この
値は 1 から ∞ までの任意の値をとる。所で，式 (9) において ( ) 内
の l の値は
π
π
λ
l= =
=
(14)
β
2π/λ
2
*1
*2
入射電圧の大きさに対する反射電圧の大きさの比率
オイラーの公式を使って展開すると，
[1 + |Γ| cos (θ − 2βl)]2 + [|Γ| sin (θ − 2βl)]2
*3
式 (10) はエクセルなど複素数の扱いが面倒な場合に理論パターンを描画する
際に有効である。
*4
Voltage Standing Wave Ratio (VSWR), or Standing Wave Ratio
(SWR)
)
3. 損失がある場合の入力インピーダンス
損失がある場合の伝送線路は，図 1 における位相定数 β を伝搬定数 γ
として考えればよい。即ち，これまでの式において jβ の部分を γ で
置き換えればよいので，式 (18) と式 (19) はそれぞれ
V (l) = V0 + eγl + V0 − e−γl
(23)
V0 + γl V0 − −γl
I(l) =
e −
e
(24)
Z0
Z0
5
*
となり，式 (20) および，式 (22) はそれぞれ次式となる。
V (l)
1 + Γe−2γl
=
Z0
Zin |l=l =
(25)
I(l)
1 − Γe−2γl
ZL + Z0 tanh γl
Zin |l=l = Z0
(26)
Z0 + ZL tanh γl
= |1 + |Γ| [cos (θ − 2βl) + j sin (θ − 2βl)]|
= |1
√+ |Γ| cos (θ − 2βl) + j |Γ| sin (θ − 2βl)|
=
(
V0 + ejβl + Γe−jβl
V (l)
Z0
=
I(l)
V0 + (ejβl − Γe−jβl )
1 + Γe−2jβl
=
(20)
Z0
1 − Γe−2jβl
となる。ここで式 (6) の関係 Γ = (ZL − Z0 )/(ZL + Z0 ) を使うと
L −Z0 −2jβl
e
1+ Z
ZL +Z0
Zin |l=l = Z0
ZL −Z0 −2jβl
1 − ZL +Z0 e
(ZL + Z0 ) ejβl + (ZL − Z0 ) e−jβl
= Z0
(ZL(+ Z0 ) ejβl −)(ZL −(Z0 ) e−jβl
)
ZL ejβl + e−jβl + Z0 ejβl − e−jβl
= Z0
Z0 (ejβl + e−jβl ) + ZL (ejβl − e−jβl )
ZL cos βl + jZ0 sin βl
= Z0
(21)
Z0 cos βl + jZL sin βl
となる。最終的に，終端から長さ l の位置から見た入力インピーダン
スは次式 (22) となる。
ZL + jZ0 tan βl
Zin |l=l = Z0
(22)
Z0 + jZL tan βl
Zin |l=l =
は ej(θ−2βl) = +1 の場合に起こり，
Vmax = V0 + |1 + |Γ||
(16)
となる。従って，終端から長さ l の位置における反射係数は
について解くと
となる。従って，反射係数 (reﬂection coeﬃcient) Γ
定在波パターンの一例 (最大値を 0 dB で規格化している)
2. 反射係数の一般化
式 (1) に z = −l を代入すると
V (l) = V0 + ejβl + V0 − e−jβl
(3)
(4)
−
(1)
lmin
(2)
であるから，これを変形して
ZL
V0 + + V0 −
= +
Z0
V0 − V0 −
(2)
lmin
(3)
lmin
分布は，分布定数線路理論より次式で与えられる。
V0 − =
V [dB]
λg 2
z
*5
cos x =
cosh x
1
jx
−jx
ejx +e−jx
, sin x = e −e
,
2
2j
x
−x
ex −e−x
= e +e
,
sinh
x
=
2
2

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