計量経済学：復習テスト 1

計量経済学：復習テスト 1
学籍番号
氏名
2014 年 4 月 9 日
注意：すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．小さな声でなら相談しても構わない．教科書・
ノートを参照してもよい．授業時間内に提出できない場合は当日中に事務室前の「提出用ボックス」に提出
すること．
1. f (x) := ax を指数関数という．
（a）導関数の定義より
ah − 1
h→0
h
f ′ (x) = ax lim
となることを示しなさい．
（b）ネイピア数 e の定義を書きなさい．
1
2. 指数関数の逆関数を対数関数という．特に f (ex ) = x となる f (.) を自然対数といい，f (x) := ln x と
書く．
（a）次の公式を証明しなさい．
ln xy = ln x + ln y
ヒント：eln xy = eln x+ln y を示せばよい．x = eln x と書けることに注意．
（b）次の公式を証明しなさい．
dln x
1
=
dx
x
ヒント：逆関数の傾きの逆数を考える．
（c）f (x) の x に対する弾力性は次式で定義される．
E := lim
h→0
(f (x + h) − f (x))/f (x)
x
= f ′ (x)
h/x
f (x)
次式を証明しなさい
E=
ヒント：合成関数の微分の公式を用いる．
2
dln f (x)
dln x
解答例
1.（a）
f (x + h) − f (x)
h
x+h
a
− ax
= lim
h→0
h
h
a
−1
= ax lim
h→0
h
f ′ (x) := lim
h→0
（b）次式を満たす e．
eh − 1
=1
h→0
h
lim
2.（a）
eln xy = xy
= eln x eln y
= eln x+ln y
（b）y := ln x とすると x = ey ．したがって
dy
1
=
dx
dx/ dy
1
= y
e
1
=
x
（c）y := f (x) とする．合成関数の微分の公式より
dln y
dln y dy dx
=
dln x
dy dx dln x
1 dy 1
=
y dx 1/x
dy x
=
dx y
3

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