消費者行動の理論(2) 無差別曲線と効用関数のグラフ

「初級ミクロ経済学 3」（宮澤和俊）
第3講
2014/10/8
消費者行動の理論 (2) 無差別曲線と効用関数のグラフ
（前回の復習）無差別曲線の性質
(1) 単調性と希少性を満たすとき，無差別曲線は右下がりで原点に関して凸
である．
(2) 効用水準 u
¯ が高ければ高いほど，無差別曲線は右上にある．
1. 限界代替率
無差別曲線の接線の傾きの絶対値を限界代替率という．
M RS21 = −
dx2
dx1
限界代替率は主観的な財の交換比率を意味する．添え字の 21 は，財 1 を 1
単位余計にもらえるならば手放してもよいと思う財 2 の数量を測っているこ
とを表す．
2. 2 変数関数のグラフ
関数 u = u(x1 , x2 ) を空間 (x1 , x2 , u) に図示すると，図 2.5(1) のような曲
面になる．
3. 2 変数効用関数の限界効用
曲面 u = u(x1 , x2 ) を平面 x2 = x
¯2 で切断すると，図 2.5(2) のような曲線
¯2 に保つときの，財 1
になる．曲線の接線の傾きは，財 2 の消費量を x2 = x
の限界効用を表す．数式では，
∂u(x1 , x2 )
∂x1
あるいは，u1 (x1 , x2 ) と表現する．∂/∂x1 は偏微分を表す．
同様にして，財 1 の消費量を一定に保つときの財 2 の限界効用は，
∂u(x1 , x2 )
∂x2
あるいは，u2 (x1 , x2 ) と表現する．
4. 限界代替率と限界効用
限界代替率は，2 つの限界効用の比に一致する1 ．
M RS21 =
講義資料
u1 (x1 , x2 )
u2 (x1 , x2 )
http://www1.doshisha.ac.jp/˜kmiyazaw/
1 数学補論の
(1) 式より．
1
数学補論
1. 偏微分
変数が 2 つ以上の関数の微分を偏微分という．変数の数だけ偏微分がある．
∂ （ラウンド）という記号を用いる．右下の添え字で表現することもある．
定義
関数 u = u(x1 , x2 ) に対して，
∂u
u(x1 + h, x2 ) − u(x1 , x2 )
= u1 (x1 , x2 ) ≡ lim
h→0
∂x1
h
∂u
u(x1 , x2 + h) − u(x1 , x2 )
= u2 (x1 , x2 ) ≡ lim
h→0
∂x2
h
問題
関数 u = x21 x2 の偏微分 ∂u/∂x1 , ∂u/∂x2 を定義を用いて求めよ．
解答
(x1 + h)2 x2 − x21 x2
(2x1 h + h2 )x2
=
= (2x1 + h)x2
h
h
より，
∂u
= lim (2x1 + h)x2 = 2x1 x2
h→0
∂x1
x21 (x2 + h) − x21 x2
x2 h
= 1 = x21
h
h
より，
∂u
= lim x21 = x21
h→0
∂x2
偏微分の意味
∂u/∂x1
∂u/∂x2
x2 を定数とみなして x1 で微分する．
x1 を定数とみなして x2 で微分する．
2. 合成関数の微分法（1 変数）
(
y = f (u)
のとき
u = g(x)
dy du
dy
=
dx
du dx
（証明）
dy
f (g(x + h)) − f (g(x))
= lim
dx h→0
h
f (g(x + h)) − f (g(x)) g(x + h) − g(x)
= lim
h→0
g(x + h) − g(x)
h
¸∙
¸
∙
f (g(x) + k) − f (g(x))
g(x + h) − g(x)
lim
= lim
k→0
h→0
k
h
= f 0 (g(x))g 0 (x)
（注）g(x + h) − g(x) = k とおくと，h → 0 のとき，k → 0 である．
2
問題
y = log(x2 + x + 1) を微分せよ．
解答
y = log u, u = x2 + x + 1 とおけば，
dy
dy du
=
dx
du dx
1
= · (2x + 1)
u
2x + 1
= 2
x +x+1
3. 合成関数の微分法（2 変数）
t の関数 u = u(x1 (t), x2 (t)) に対して，
du
∂u dx1
∂u dx2
=
+
dt
∂x1 dt
∂x2 dt
が成り立つ．
（証明）定義より，
du
u(x1 (t + h), x2 (t + h)) − u(x1 (t), x2 (t))
= lim
h→0
dt
h
∆x1 = x1 (t + h) − x1 (t), ∆x2 = x2 (t + h) − x2 (t) とおく．
u(x1 (t + h), x2 (t + h)) − u(x1 (t), x2 (t))
h
u(x1 (t) + ∆x1 , x2 (t) + ∆x2 ) − u(x1 (t), x2 (t))
=
h
u(x1 (t) + ∆x1 , x2 (t) + ∆x2 ) − u(x1 (t), x2 (t) + ∆x2 )
=
h
u(x1 (t), x2 (t) + ∆x2 ) − u(x1 (t), x2 (t))
+
h
u(x1 (t) + ∆x1 , x2 (t) + ∆x2 ) − u(x1 (t), x2 (t) + ∆x2 ) ∆x1
=
∆x1
h
u(x1 (t), x2 (t) + ∆x2 ) − u(x1 (t), x2 (t)) ∆x2
+
∆x2
h
h → 0 のとき，∆x1 → 0, ∆x2 → 0 であって，
∆x1 /h → dx1 /dt, ∆x2 /h → dx2 /dt であるから，
du
∂u dx1
∂u dx2
=
+
dt
∂x1 dt
∂x2 dt
が成り立つ．
3
4. 陰関数の定理（implicit function theorem）
¯ = u(x1 , x2 ) は，x1 と x2 の対応関係を「暗黙のうちに」
（implicit
無差別曲線 u
に）表している．つまり，x2 を x1 の関数とみなすことができる．
陰関数の定理
¯ = u(x1 , x2 ) で表される関数 x2 を x1 で微分すると，
方程式 u
u1 (x1 , x2 )
dx2
=−
dx1
u2 (x1 , x2 )
(1)
が成り立つ．
（証明）x2 = f (x1 ) とおく:
u
¯ = u(x1 , f (x1 ))
両辺を x1 で微分する．合成関数の微分法より，
0 = u1 + u2 · f 0 (x1 )
したがって，
u1 (x1 , x2 )
u2 (x1 , x2 )
f 0 (x1 ) = −
問題
無差別曲線 u
¯ = x21 x2 の限界代替率 M RS21 を x1 , x2 を用いて表せ．
解答
陰関数の定理より，
M RS21 = −
dx2
u1
=
dx1
u2
ここで，
u1 = 2x1 x2
u2 = x21
であるから，
M RS21 =
問題
2x1 x2
2x2
=
2
x1
x1
上の例で限界代替率 M RS12 を求め，
M RS12 =
が成り立つことを確かめよ．
4
1
M RS21

Download Report