n 次元球の体積と表面積 ゆきみ http://yukimigo.com/ 2014 年 6 月 11 日 1 Rn の極座標 以下 x ∈ Rn , r ··= |x| = √∑n i x2i とする. x と e1 = (1, 0, . . . , 0) のなす角を θ1 とす ると, x1 = r cos θ1 , v u n u∑ t x2i = r sin θ1 i=2 となる. ここで 0 ⩽ θ1 ⩽ π とえらべば, これは一意に決まる. つぎに, (x2 , . . . , xn ) ∈ Rn−1 について r を r sin θ1 とかえて, (0, x2 , . . . , xn ) と e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) のなす角を θ2 (0 ⩽ θ2 ⩽ π) とすれば, x2 = r sin θ1 , v u n u∑ t x2i = r sin θ1 sin θ2 i=3 となる. 同様にして, x1 = r cos θ1 , x2 = r sin θ1 cos θ2 , ··· xn−1 = r sin θ1 · · · sin θn−2 cos θn−1 , xn = r sin θ1 · · · sin θn−2 sin θn−1 となる. ここで 0 ⩽ r < ∞, 0 ⩽ θi ⩽ π(1 ⩽ i ⩽ n − 2), 0 ⩽ θn−1 ⩽ 2π で, この変換の Jacobian は J(r, θ1 , . . . , θn−1 ) = rn−1 sinn−2 θ1 sinn−3 θ2 · · · sin θn−2 1 になる.(帰納法でがんばる) 2 Γ 関数と B 関数 Definition 1. ∫ ∞ Γ(s) ··= xs−1 e−x dx (s > 0); 0 B(p, q) ··= ∫ 1 xp−1 (1 − x)q−1 dx (p, q > 0) 0 と定義する. それぞれ Gamma 関数, Beta 関数という. まず Beta 関数については上の式で x = sin2 θ とすると, ∫ π/2 sin2p−2 θ cos2q−2 θ sin θ cos θdθ B(p, q) = 2 0 ∫ π/2 sin2p−1 θ cos2q−1 θdθ =2 0 となる. Γ(1) = 1 はすぐわかる. Proposition 2. Γ(s + 1) = sΓ(s) (s > 0) となる. proof. 部分積分により, ∫ ∞ Γ(s + 1) = ∫ 0 xs e−x dx ∞ =s xs−1 e−x dx 0 = sΓ(s) となるからよい. ♡ Proposition 3. B(p, q) = Γ(p)Γ(q) . Γ(p + q) 2 proof. x = t2 と変換すれば ∫ ∞ ∫ ∞ 2 2p−1 −x2 Γ(p)Γ(q) = 4 x e dx y 2q−1 e−y dy 0 ∫0 ∞ ∫ ∞ 2 2 =4 x2p−1 y 2q−1 e−(x +y ) dxdy ∫ 0 0 π/2 (∫ ∞ r =4 ∫ 0 e 0 ∞ =2 2(p+q)−1 −r 2 r 2(p+q)−1 −r 2 e ) dr cos2p−1 θ sin2p−1 θdθ ∫ π/2 dr · 2 0 (極座標変換した) cos2p−1 θ sin2p−1 θdθ 0 = Γ(p + q)B(p, q) となる. ♡ とくに, ∫ π/2 2 =π Γ(1/2) = B(1/2, 1/2) = 2 0 だから, Γ(1/2) = √ π (Γ(1/2) > 0) となる. 3 n 次元球の体積 Example 4 (n 次元球の体積). n 次元球の体積をもとめよう. それには Ω ··= {x ∈ Rn ; |x|2 ⩽ a2 } 3 として, この上の積分を n 次元極座標に変換すればよい: ∫ µ(Ω) = dx Ω ∫ a ∫ 2π ∫ ∫ π π ··· rn−1 sinn−2 θ1 · · · sin θn−2 drdθ1 · · · dθn−1 0 0 0 0 ∫ π n ∫ π 2πa n−2 sin θ1 dθ1 · · · sin θn−2 dθn−2 = n 0 0 2πan n − 1 1 n−2 1 1 = B( , )B( , ) · · · B(1, ) n 2 2 2 2 2 n Γ( n−1 )Γ( 1 )Γ( n−2 )Γ( 1 ) · · · Γ(1)Γ( 1 ) 2πa 2 2 2 2 2 = n n−1 n−2 3 n Γ( 2 )Γ( 2 )Γ( 2 ) · · · Γ( 2 ) = 2πan Γ( 12 )n−2 = n Γ( n2 ) = 2π n/2 an nΓ( n2 ) と計算できる. ♡ 4 n 次元球の表面積 半径 a の n 次元球面の方程式は v u n−1 u ∑ t 2 f (x) = ± a − x2i i=1 とかけるから, ( 1+ )1/2 n−1 ∑ (∂i f (x))2 ( = i=1 ∑n−1 1+ a2 )1/2 x2i i=1 ∑n−1 − i=1 x2i a =√ ∑n−1 a2 − i=1 x2i だから, もとめたい曲面積分は Ω = {x ∈ Rn−1 ; |x|2 ⩽ a2 } とすると ∫ µn−1 (S) = 2 Ω a √ ∑n−1 2 dx1 · · · dxn−1 2 a − i=1 xi 4 で, これを極座標変換して計算する: ∫ ∫ π ∫ π rn−2 n−3 √ µn−1 (S) = 2 · 2πa dr sin θ1 dθ1 · · · sin θn−3 dθn−3 a2 − r 2 0 0 0 ∫ π/2 ∫ π ∫ π n−2 n−3 n−2 = 2πa ·2 sin θdθ sin θ1 dθ1 · · · sin θn−3 dθn−3 a 0 0 n−1 1 n−2 1 1 = 2πan−2 B( , )B( , ) · · · B(1, ) 2 2 2 2 2 n/2 2π = an−2 n Γ( 2 ) 0 となる. とくに, 半径 a = 1 のとき 2π n/2 Γ( n2 ) |Sn−1 | = とかく. ♡ 5 おまけ よく使うのでつぎもかいておこう. Theorem 5. a ∈ Rn , R > 0, Ω ··= {x ∈ Rn ; 0 < |x − a| ⩽ R} とする. f が Ω 上連 続で, 1 |f (x)| = O( ) (x → a) (α < n) |x − a|α のとき, f は Ω 上可積分になる. proof. a = 0 としてよい. Km ··= {x ∈ Rn ; 1/m ⩽ |x| ⩽ R} とすれば極座標変換によって, ∫ ∫ 1/|x| dx = |S α n−1 R | Km rn−1−α 1/m |S | n−α (R − 1/mn−α ) n−α |Sn−1 | n−α → R (m → ∞) n−α n−1 = 5 となるから, 仮定によりある m で |f (x)| ⩽ C |x|α (0 < |x| < 1/m) になることとあわせて, ∫ ∫ |f (x)|dx ⩽ C Ω |x|<1/m dx + |x|α ∫ |f (x)|dx Km によって可積分になる. ♡ 参考文献 [1] 笠原皓司. 『微分積分学』. サイエンスライブラリ 数学 12. サイエンス社, 1974. [2] 杉浦光夫. 『解析入門 1』. 基礎数学 2. 東京大学出版会, 1980. [3] 杉浦光夫. 『解析入門 2』. 基礎数学 3. 東京大学出版会, 1985. 6
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