n 次元球の体積と表面積

n 次元球の体積と表面積
ゆきみ
http://yukimigo.com/
2014 年 6 月 11 日
1 Rn の極座標
以下 x ∈ Rn , r ··= |x| =
√∑n
i
x2i とする. x と e1 = (1, 0, . . . , 0) のなす角を θ1 とす
ると,
x1 = r cos θ1 ,
v
u n
u∑
t
x2i = r sin θ1
i=2
となる. ここで 0 ⩽ θ1 ⩽ π とえらべば, これは一意に決まる. つぎに, (x2 , . . . , xn ) ∈
Rn−1 について r を r sin θ1 とかえて, (0, x2 , . . . , xn ) と e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) のなす角を
θ2 (0 ⩽ θ2 ⩽ π) とすれば,
x2 = r sin θ1 ,
v
u n
u∑
t
x2i = r sin θ1 sin θ2
i=3
となる. 同様にして,
x1 = r cos θ1 ,
x2 = r sin θ1 cos θ2 ,
···
xn−1 = r sin θ1 · · · sin θn−2 cos θn−1 ,
xn = r sin θ1 · · · sin θn−2 sin θn−1
となる. ここで 0 ⩽ r < ∞, 0 ⩽ θi ⩽ π(1 ⩽ i ⩽ n − 2), 0 ⩽ θn−1 ⩽ 2π で, この変換の
Jacobian は
J(r, θ1 , . . . , θn−1 ) = rn−1 sinn−2 θ1 sinn−3 θ2 · · · sin θn−2
1
になる.(帰納法でがんばる)
2 Γ 関数と B 関数
Definition 1.
∫ ∞
Γ(s) ··=
xs−1 e−x dx (s > 0);
0
B(p, q) ··=
∫
1
xp−1 (1 − x)q−1 dx (p, q > 0)
0
と定義する. それぞれ Gamma 関数, Beta 関数という.
まず Beta 関数については上の式で x = sin2 θ とすると,
∫
π/2
sin2p−2 θ cos2q−2 θ sin θ cos θdθ
B(p, q) = 2
0
∫
π/2
sin2p−1 θ cos2q−1 θdθ
=2
0
となる.
Γ(1) = 1 はすぐわかる.
Proposition 2.
Γ(s + 1) = sΓ(s)
(s > 0)
となる.
proof. 部分積分により,
∫
∞
Γ(s + 1) =
∫
0
xs e−x dx
∞
=s
xs−1 e−x dx
0
= sΓ(s)
となるからよい. ♡
Proposition 3.
B(p, q) =
Γ(p)Γ(q)
.
Γ(p + q)
2
proof. x = t2 と変換すれば
∫ ∞
∫ ∞
2
2p−1 −x2
Γ(p)Γ(q) = 4
x
e
dx
y 2q−1 e−y dy
0
∫0 ∞ ∫ ∞
2
2
=4
x2p−1 y 2q−1 e−(x +y ) dxdy
∫
0
0
π/2
(∫
∞
r
=4
∫
0
e
0
∞
=2
2(p+q)−1 −r 2
r
2(p+q)−1 −r 2
e
)
dr cos2p−1 θ sin2p−1 θdθ
∫
π/2
dr · 2
0
(極座標変換した)
cos2p−1 θ sin2p−1 θdθ
0
= Γ(p + q)B(p, q)
となる. ♡
とくに,
∫
π/2
2
=π
Γ(1/2) = B(1/2, 1/2) = 2
0
だから,
Γ(1/2) =
√
π
(Γ(1/2) > 0)
となる.
3 n 次元球の体積
Example 4 (n 次元球の体積). n 次元球の体積をもとめよう. それには
Ω ··= {x ∈ Rn ; |x|2 ⩽ a2 }
3
として, この上の積分を n 次元極座標に変換すればよい:
∫
µ(Ω) =
dx
Ω
∫ a
∫
2π
∫
∫
π
π
···
rn−1 sinn−2 θ1 · · · sin θn−2 drdθ1 · · · dθn−1
0
0
0
0
∫ π
n ∫ π
2πa
n−2
sin
θ1 dθ1 · · ·
sin θn−2 dθn−2
=
n
0
0
2πan n − 1 1
n−2 1
1
=
B(
, )B(
, ) · · · B(1, )
n
2
2
2
2
2
n Γ( n−1 )Γ( 1 )Γ( n−2 )Γ( 1 ) · · · Γ(1)Γ( 1 )
2πa
2
2
2
2
2
=
n
n−1
n−2
3
n
Γ( 2 )Γ( 2 )Γ( 2 ) · · · Γ( 2 )
=
2πan Γ( 12 )n−2
=
n
Γ( n2 )
=
2π n/2 an
nΓ( n2 )
と計算できる. ♡
4 n 次元球の表面積
半径 a の n 次元球面の方程式は
v
u
n−1
u
∑
t
2
f (x) = ± a −
x2i
i=1
とかけるから,
(
1+
)1/2
n−1
∑
(∂i f (x))2
(
=
i=1
∑n−1
1+
a2
)1/2
x2i
i=1
∑n−1
− i=1
x2i
a
=√
∑n−1
a2 − i=1 x2i
だから, もとめたい曲面積分は Ω = {x ∈ Rn−1 ; |x|2 ⩽ a2 } とすると
∫
µn−1 (S) = 2
Ω
a
√
∑n−1 2 dx1 · · · dxn−1
2
a − i=1 xi
4
で, これを極座標変換して計算する:
∫
∫ π
∫ π
rn−2
n−3
√
µn−1 (S) = 2 · 2πa
dr
sin
θ1 dθ1 · · ·
sin θn−3 dθn−3
a2 − r 2
0
0
0
∫ π/2
∫ π
∫ π
n−2
n−3
n−2
= 2πa
·2
sin
θdθ
sin
θ1 dθ1 · · ·
sin θn−3 dθn−3
a
0
0
n−1 1
n−2 1
1
= 2πan−2 B(
, )B(
, ) · · · B(1, )
2
2
2
2
2
n/2
2π
= an−2 n
Γ( 2 )
0
となる. とくに, 半径 a = 1 のとき
2π n/2
Γ( n2 )
|Sn−1 | =
とかく. ♡
5 おまけ
よく使うのでつぎもかいておこう.
Theorem 5. a ∈ Rn , R > 0, Ω ··= {x ∈ Rn ; 0 < |x − a| ⩽ R} とする. f が Ω 上連
続で,
1
|f (x)| = O(
) (x → a) (α < n)
|x − a|α
のとき, f は Ω 上可積分になる.
proof. a = 0 としてよい.
Km ··= {x ∈ Rn ; 1/m ⩽ |x| ⩽ R}
とすれば極座標変換によって,
∫
∫
1/|x| dx = |S
α
n−1
R
|
Km
rn−1−α
1/m
|S
| n−α
(R
− 1/mn−α )
n−α
|Sn−1 | n−α
→
R
(m → ∞)
n−α
n−1
=
5
となるから, 仮定によりある m で
|f (x)| ⩽
C
|x|α
(0 < |x| < 1/m)
になることとあわせて,
∫
∫
|f (x)|dx ⩽ C
Ω
|x|<1/m
dx
+
|x|α
∫
|f (x)|dx
Km
によって可積分になる. ♡
参考文献
[1] 笠原皓司. 『微分積分学』. サイエンスライブラリ数学 12. サイエンス社, 1974.
[2] 杉浦光夫. 『解析入門 1』. 基礎数学 2. 東京大学出版会, 1980.
[3] 杉浦光夫. 『解析入門 2』. 基礎数学 3. 東京大学出版会, 1985.
6

Download Report