演習3解答

2014 年度複素関数 II
2014/08/04
第 3 回レポート課題
学籍番号：
氏名：
模範解答
2z  3
dz をコーシーの積分公式を用いて求めよ。ただし，積分経路 C は中心 z = 1，半径 1 の円とする。
C z2 1
2z  3
2z  3
1 2z  3
2z  3
2if 1  
dz   2
dz
C z 2  1 dz  C z  1z  1 dz
C z  1  z  1
C z 1
1.

となるので，特異点 z = -1, 1 であり，z = 1 が C の内側に
あるので，
f z  
2z  3
とみなせる。
z  1
コーシーの積分公式より，
f 1  
1
2
2z  3
 1
2i     2
dz  i
 2  C z 1
2if a   
1
f z 
C za
2.
eiz
C z   2 dz をグールサの定理を用いて求めよ。ただし，積分経路 C は中心 z = 1，半径 3 の円とする。
特異点 z = であり，z = が C の内側にあるので，
f z   eiz とみなせる。
グールサの定理より，
2if n  a 
1

f z 
C  z  a n 1
n!
3.
z 平面において 
2if 1  
1

eiz dz
11
C
1!
z   
f 1    ie i  i cos   sin   i
eiz
dz  2
C  z   2
2i i   
2  y   2 の範囲内で y = a (a は定数)の線分と  2  y   2 の範囲内で x = b (b は定数)
の線分について， w  5 sin z による写像を求めよ。
5eiz  e iz  5  y ix
w
 e e  e y e  ix 
2i
2i
5
 e  y cos x  i sin x   e y cos x  i sin x 
2i
5
5i
 e y  e  y sin x  e y  e  y cos x
2
2
 5 sin x cosh y  5i cos x sinh y
x = b (b は定数)では，
u  5 sin b cosh y,
v  5 cos b sinh y
u
v
, sinh y 
5 sin b
5 cos b
2
v
u2
sinh 2 y  cosh 2 y 

 1
25 cos 2 b 25 sin 2 b
cosh y 
として，双曲線と分かる。その漸近線は，
u2
v2

 0 から，
25 sin 2 b 25 cos 2 b
u cos b  v sin u cos k  v sin b  0
1
1
v
u, v 
u
tan b
tan b
v = 0 として，u 軸との交点を求めると
u2

 1
25 sin 2 b
u  5 sin b
y = a (a は定数)では，
提出日時：2014 年 8 月 8 日(金) 16：45 (=次回の講義が始まるまで) 提出場所：3A403
2014 年度複素関数 II
2014/08/04
第 3 回レポート課題
学籍番号：
u  5 sin x cosh a,
氏名：
模範解答
v  5 cos x sinh a
u
v
, cos x 
5 cosh a
5 sinh a
2
u
v2
2
2
sin x  cos x 

1
25 cosh 2 a 25 sinh 2 a
sin x 
として，楕円と分かる。その長径は 10cosha, 短径は
10sinha
以上から，z 平面と w 平面での図形は右図のようになる。
提出日時：2014 年 8 月 8 日(金) 16：45 (=次回の講義が始まるまで) 提出場所：3A403

Download Report