パワポのpdf

ここから磁場の話
1
電流とは
電流Iは、電荷Qの流れ
dQ
I
dt
単位も割り算
単位時間にどれだけの電荷が
流れるか。
C(クーロン）
A(アンペア）　
s(秒）
交通流（交通の流れ）と似ている
１分間に自動車が何台通るか。
2
電流の作る磁場
教科書p.274, 275
ビオ・サバール(Biot-Savart)の法則
電流の微小部分 Ids
が
ある点Ｐに作る磁場は、
微小部分から点Ｐへのベクトルを
r とすると、
I
I
dH
ds  r 
ds  e r
3
2
4 r
4 r
問題
I
ds
r
er 
r
r
P
磁場の単位は、
A/m
A:アンペア
電流Iが直線状に流れている時、
電流から距離bの点での磁場を
ビオ・サバールの法則から求めよ。
しかし対称性を使って、もっと簡単に出す方法もある。
（次のページ）
3
参考：ビオ・サバール(Biot-Savart)の法則
I
フランス人の物理学者、ビオさんとサバールさんが
1820年に発見した。
動径ベクトルの復習
z
r
er 
r の説明
er
r
O
x
r
r
er
y
動径ベクトル。原点から点Pまでのベクトル。
動径ベクトルの長さ
動径方向の単位ベクトル
したがって、
r  rer
P
r
er 
r
5
ビオ・サバールの法則：
補足
電流の微小部分 Ids
が
ある点Ｐに作る磁場は、
微小部分から点Ｐへのベクトルを
r とすると、
I
I
d H
ds  r 
ds  er
3
2
4 r
4 r
dは微小量
H
I
ds
r
×は外積
I
ds
r
P
磁場の単位は、
A/m
A:アンペア
r
er 
r
磁場
電流単位はアンペア[A]
電流に沿った微小長さ
電流の微小部分から点Ｐまでの動径ベクトル
6
解答(直線電流の作る磁場)
I
I
dH  3 ds  r  2 ds  er
ビオ・サバールの法則を使う場合
4r
4r
電流の微小部分Idsとそこから観測点Pへの
ベクトルrのなす角をθとする。
ds r
は紙面に垂直、裏へ行く方向。
I sin 
H   2 dz
4 r
b
b
b
z
dz  2 d
r
tan
sin 
sin 
ds θ
z
r
大きさは、rdzsinθ
I
b
P

I
I
H
sin d 

4 b 0
2 b
しかし対称性を使って、もっと簡単に出す方法もある。
（次のページ）
7
補助問題
1
f ( x) 
tan x
を微分せよ
補助問題
の解答
1
f ( x) 
tan x
を微分せよ
1
cos x
f ( x) 

tan x sin x



cos x  sin x  sin x  cos x  cos 2 x  sin 2 x
f ( x) 


sin 2 x
b
z
tan 
に対して
sin 2 x
dz
b
 2
d sin 
1
sin 2 x
b
dz  2 d
sin 
電磁波の話
10
マクスウェルの方程式
B
rot E  
t
D
rot H  j 
t
div D  
div B  0
電磁誘導
磁場が変化すると、
電場ができる。
アンペールの法則
電流や電束密度の時間変化
で磁場ができる。
ガウスの法則
（クーロン則を使う）
単独磁荷はない。
D  E B  H  ,  , は物質によって値が違う。
j  E
時間変化しない場合は、静電場か静磁場を考えればよい。11
時間変化する場合は、電場と磁場の両方を考える必要。
電磁波に関する問題。
教科書p.302-305
一様な媒質中を伝わる電磁波を考える。
電磁波の進む方向をz軸とする。
E,D,B,Hの各成分は、zとtだけの関数で、x,yにはよらない。
媒質中には電荷も電流もないとすると、
マクスウェル方程式より、
1) 電磁波は横波である（電場、磁場のz成分が0になる）
ことを示せ。
2
2) 次の微分方程式が導かれることを示せ。 2 E x
1  Ex

（波動方程式）
2
2
1
v

3)

とおく時、
t
 z
Ex  f ( z  vt)  g ( z  vt)
の関数形が2)の微分方程式の解になっていることを確かめよ。
4) Eがx方向の時、Hがy方向であることを示せ。
12
縦波と横波
動画のサイト
http://www.asahi-net.or.jp/~zn6t-szk/physics/sin1.html
上が横波、下が縦波。
赤い部分に着目する。
13
解答
まず、マクスウェル方程式を成分で書く。
B
rot E  
t Ez  E y   Bx
y z
t
rot H  j 
By
Ex Ez


z x
t
E y Ex
Bz


x y
t
div D  
Dx Dy Dz



x y z
D
t
Dx
H z H y

 jx 
y z
t
Dy
H x H z

 jy 
z x
t
H y H x
Dz

 jz 
x y
t
div B  0
Bx By Bz


0
x y z
14
E y
H x

 
z
t
H y
Ex

z
t
H z
0
t
Ez
0
z
(1)
(2)
(3)
(7)
H y
Ex


z
t
E y
H x

z
t
Ez
0
t
H z
0
z
(4)
(5)
(6)
(8)
問１の解答
(6)(7)よりEzはz, tによらない定数。
電磁波なので定数=0と見てよい。Hzも同様。
Ez=0, Hz=0より、進行方向に成分を持たない横波。
15
問２の解答
前ページの(2),(4)で、
H y
Ex
  0
z
t
(2)
H y
Ex

 0
z
t
(4)
の2つの式を使う。
 2 Ex
 2 Ex
  H y 
  H y 
   0 
  0 0 2
  0 
2
z
z  t 
t  z 
t
(2)式
微分の順番を
変えた。
(4)式
16
問３の解答
 2 Ex 2  2 Ex
v
2
t
z 2
Ex  f ( z  vt)  g ( z  vt)
(1)
が(1)を満たすことを示したい。
s=z-vtとおく。合成関数の微分
f ( z  vt) df (s) s
df (s)

 v
もう１度微分
t
ds t
ds
2
2
2
 f ( z  vt) 2 d f (s) 2 d f ( z  vt)
v
v
2
2
2
t
ds
dz
同様にgについても
2
2
 g ( z  vt) 2 d g ( z  vt)
v
2
2

t
dz
したがって
 Ex 2  Ex
v
2
t
z 2
2
2
17
問３の補足
Ex  f ( z  vt)  g ( z  vt)
y  A sin( kx   t )
は波になる。
y
0
π
2π
x
19
問４の解答
電場がx方向の時、
Ey  0
H y
(4)
Ex
H x (1)



 
z
t
z
t
E y
H x
(5)
H y
Ex

(2)

z
t
z
t
(1)式、(5)式に、 E  0 を代入する。
y
H x
H x
 0 より H x はt, zによらない定数。
0
z
t
E y
電磁波なので、一定成分は考えなくて良い。
よって、
Hx  0
磁場はy成分のみになる。
20
問４の解答補足
電場と磁場が直交することは、
内積でも示せる。
電場と磁場のz成分が0であることは、問１から
わかっているので、
E H  E H  E H
x
x
y
y
H y
Ex
H x E y

Ex H x  Ey H y   H x  Ex  H y  Ey
t
t
t
t
t
Ex
電場、磁場は時間によらないので、
 0 などを代入する。
t

Ex H x  Ey H y   0
t
同様にzによる微分も0になる。tにもzにもよらない定数。
電磁波なので、定数でなく0。
よって内積0から、直交する。
21
電磁波の続き
特に真空中で
 0 , 0
の測定値から、
1
 0 0
を求めると、光速度の測定値に一致することが知られている。
光も電磁波も横波であることと合わせて、
「光は電磁波である」とマクスウェルは考えた
22
電磁波のイメージ
電場や磁場は、電磁波の進行方向に垂直な方向に
振動している。
H
進行方向
E
電場が大きくなる場所を追うと、
進行方向に進んでいく。
23

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