) (0 ≤ t ≤ d r dt = ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎢ ⎦, " " " " d r dt " " " " = √ 12 + 12 +

1/17
S1. スカラー場の線積分
曲線 C : ~
r (t) = (t, t, t2 ) (0 ≤ t ≤ 1) に沿う
ϕ = ϕ(x, y, z) = x + 2yz の線積分
 
d~
r
dt
1
 
=  1 ,
2t
√
√
d~
r
= 12 + 12 + (2t)2 = 2(1 + 2t2 ).
dt √
よって線素 ds = 2(1 + 2t2 ) dt.
∫
1
（C の長さは
√
2(1 + 2t2 ) dt）
0
ϕ(~
r (t)) = t + 2 · t · t2 = t(1 + 2t2 ).
√
∫ 1
∫
√
√
2
2
ϕ ds =
t(1 + 2t ) 2(1 + 2t2 ) dt = · · · =
(9 3 − 1)
10
C
0
2/17
S2. スカラー場の面積分
4ABC = {2x + y + z = 2; x, y, z ≥ 0} 上で
ϕ = ϕ(x, y, z) = x2 + y − z の面積分
4ABC を z = −2x − y + 2, D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 − 2x
とみなす. 座標としては
~
r (u, v) = (u, v, −2u − v + 2), D : 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2 − 2u.
 
 
 
∂~
r
∂u

=
1
0
−2

,
∂~
r
∂v

=
0
1

,
−1
∂~
r
∂u
√
∂~
r
r × ∂~
= 6.
∂u
∂v √
よって面積素 dS = 6 dudv.
×
∂~
r
∂v
2
 
= 1
1
3/17
このスライドでは２種類の dS を次のように区別する.
−
→
面積素： dS,
ベクトル面積素： dS
→ ~
−
で表すこととする. （d S , dS は見にくいと思いました）
∫ √
√
√
面積素 dS = 6 dudv. （4ABC の面積は
6 dudv = 6）
D
ϕ(~
r (u, v)) = u2 + v − (−2u − v + 2) = u2 + 2u + 2v − 2.
√
∫
∫∫
√
6
2
ϕ dS =
(u + 2u + 2v − 2) 6 dudv = · · · =
6
4ABC
D
3/17
このスライドでは２種類の dS を次のように区別する.
−
→
面積素： dS,
ベクトル面積素： dS
→ ~
−
で表すこととする. （d S , dS は見にくいと思いました）
∫ √
√
√
面積素 dS = 6 dudv. （4ABC の面積は
6 dudv = 6）
D
ϕ(~
r (u, v)) = u2 + v − (−2u − v + 2) = u2 + 2u + 2v − 2.
√
∫
∫∫
√
6
2
ϕ dS =
(u + 2u + 2v − 2) 6 dudv = · · · =
6
4ABC
D
4/17
V1. ベクトル場の線積分
曲線（らせん）
r
(t) = (cos t, sin t, t) (0 ≤ t ≤ π/2)
C : ~
∫
2y
→
→
−
→ −
−


に沿う A =  x  の線積分 A · dr
C
sin2 z
∫
−
→
A ds, および, その他の線積分 C



2 sin t
−
→


A at ~
r (t) =  cos t ,
sin2 t
d~
r
dt

=
− sin t
cos t
1
∫
−
→
−
→
A × dr.
C

√

. ds = 2 dt.


2 sin t
−
→


A at ~
r (t) =  cos t ,
2
sin t

d~
r
dt

=
− sin t
cos t

5/17
√

. ds = 2 dt.
1
→
− −
→
A · dr = (2 sin t · (− sin t) + cos t · cos t + sin2 t · 1)dt
= (1 − 2 sin2 t)dt
∫
→
− −
→
A · dr =
C
∫
π/2
(1 − 2 sin2 t) dt = · · · = 0
0
—— これが通常の「ベクトル場の線積分」

∫
−
→
A ds
その他の線積分 C

2 sin t
√
−
→


A at ~
r (t) =  cos t , ds = 2 dt
sin2 t


∫
∫ π/2 2 sin t √
→
−


A ds =
cos
t

 2 dt
C
0
sin2 t


√ ∫ π/2
sin t dt
 √ 
2 2
0


2 2
∫
π/2
√

 √ 


= 2
2 
cos t dt  = · · · = 
√


0
2π/4
 √ ∫ π/2

2
sin2 t dt
0
6/17
7/17
∫
−
→
−
→
A × dr
その他の線積分 C


−
→
dr
2 sin t
−
→


A at ~
r (t) =  cos t ,
dt
2
sin t

cos t(1 − sin2 t)



=


− sin t
cos t
1

−
→
−
→


A × dr = − sin t(2 + sin2 t)dt
3 cos t sin t
∫
−
→
−
→
A × dr =
C
∫

π/2
0
cos t(1 − sin2 t)



1/3




2
− sin t(2 + sin t)dt = · · · = −7/3
3 cos t sin t
3/2
8/17
V2. ベクトル場の面積分
4ABC
{x + 2y + 2z = 2; x, y, z ≥ 0} での
 =
∫
xy
→
→
−
− −
→
 
A = −1 の面積分
A · dS
4ABC
z
∫
その他の面積分
−
→
A dS, ∫
4ABC
4ABC
−
→
−
→
A × dS
4ABC を（S2 のときと同じでも良いが, 今度は）
x = −2y − 2z + 2, D : 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 − y
とみなす. 座標としては
~
r (u, v) = (2 − 2u − 2v, u, v), D : 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1 − u
この場合, D は単位３角形 4o である.
9/17

∂~
r
∂u

=

−2
1
0

,
~
r (u, v) = (2 − 2u − 2v, u, v)
 
 
∂~
r
∂v
−2

=
0
1

,
∂~
r ∂~
∂~
r
r
∂~
r
  = 3.
×
= 2. ×
∂u ∂v
∂u
∂v 1
2
向きの確認：法ベクトルの z-成分が正なので
∫ , この向きでよい.
面積素 dS = 3 dudv. （4ABC の面積は

2(1 − u − v)u
−
→

A at ~
r (u, v) = 
−1
v


,
3 dudv = 3/2）
D
 
1
−
→
 
dS = 2 dudv,
2
→
− −
→
A · dS = {2(1 − u − v)u − 2 + 2v}dudv
= 2(−u2 − uv + u + v − 1)dudv
∫
4ABC
→
− −
→
A · dS =
10/17
∫∫
2(−u − uv + u + v − 1)dudv = · · · = −
2
D
7
12
—— これが通常の「ベクトル場の面積分」
11/17
∫
→
−
A dS
その他の面積分 4ABC
∫
4ABC
−
→
A dS =
∫∫
D





3 dudv
2(1 − u − v)u
−1
v
 ∫∫



6
(1 − u − v)u dudv


D
∫∫
1/4






−3
dudv
=
 = · · · = −3/2


D
∫∫


1/2
v dudv
3
D
12/17
∫
その他の面積分 4ABC

−
→
→
−
A × dS

−2v − 2

→
− −
→



A ×dS = −4(1 − u − v)u + vdudv = 
4(1 − u − v)u + 1
−2(v + 1)
4(u + uv − u) + v
2
u2 + uv − u dudv = · · · = −1/24 を準備しておき,
D
∫
4ABC
−
→
−
→
A × dS =

∫
4ABC

dudv
−4(u2 + uv − u) + 1
∫∫



−2(v + 1)
4(u + uv − u) + v
2


dudv
−4(u2 + uv − u) + 1
∫∫

13/17



−2
v + 1 dudv
 ∫∫

D
−4/3






4(u2 + uv − u) + v dudv  = · · · =  0 
=
∫∫ D



2/3
2
−4(u + uv − u) + 1 dudv
D
14/17
V3. ベクトル場の面積分
2
2
2
上半球面
S
=
{x
+
y
+
z
= 4 ; z ≥ 0} での
 
∫
4x
→
→
−
→ −
−
 
A =  4y  の面積分
A · dS
S
−z
√
S を z = 4 − x2 − y 2 , D : √
x2 + y 2 ≤ 4 とみなす.
座標としては ~
r (x, y) = (x, y, 4 − x2 − y 2 ). （x, y でも OK）






∂~
r
∂x

=
1
0
−x/z

,
∂~
r
∂y

=
0
1
−y/z

,
∂~
r
∂x
×
∂~
r
∂y
x/z


= y/z .
1
√
2
2
2
∂~
r
∂~
r
x
+
y
+
z
2
2
=
=
.
√
∂x × ∂y =
z
z2
4 − x2 − y 2
15/17
向きの確認：法ベクトルの z-成分が正なので, この向きでよい.
2 dxdy
面積素 dS = √
.
4 − x2 − y 2
∫∫
∫ 2π
∫ 2
2 dxdy
2r dr
（S の面積は
=
dθ
= 8π
√
√
0
0
D
4 − r2
4 − x2 − y 2
（極座標に変換））


4x


−
→

A at ~
r (x, y) = 
 √ 4y

− 4 − x2 − y 2
 √

x/ 4 − x2 − y 2
 √

−
→
2 − y 2  dxdy
dS = 
y/
4
−
x


1
16/17
4x2 + 4y 2 − (4 − x2 − y 2 )
→
− −
→
A · dS =
dxdy
√
4 − x2 − y 2
5x2 + 5y 2 − 4
= √
dxdy,
4 − x2 − y 2
∫
S
∫∫
5x2 + 5y 2 − 4
dxdy
√
D
4 − x2 − y 2
∫ 2
∫ 2π
(5r 2 − 4)r dr
dθ
=
√
0
0
4 − r2
16
32π
= 2π ·
=
3
3
→
−
→ −
A · dS =
17/17
その他の面積分も計算すると 

∫
0
→
−


A dS =  0 ,
S
−8π
∫
S
 
0
−
→
−
→
 
A × dS = 0.
0

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