経済数学入門 — 初歩から一歩ずつ — 第 9 回の宿題の解答練習 1 この関数を利潤関数 v(p) = p2 /2 を微分して下さい．その答えは，経済学的に何になるか．なぜ，利潤関数は直線族の包絡線となるのだろうか．答え 1 微分の公式を用いて以下に利潤関数の導関数が求まる． dv(p) d = dp dp µ p2 2 ¶ =p 以前行った問題よりこの企業の供給関数は，q(p) = p だった．供給曲線は原点を通る直線だった．よって， dv(p) = q(p) dp となる．利潤関数を微分すると供給関数が求まる．この命題はホテリングの補題と呼ばれる．よって，ある価格 p での利潤関数の傾きはその価格での最適な供給量に等しくなる．ある価格 p∗ で最適な数量 q ∗ を供給している企業を考える．このとき，(q ∗ , p∗ ) の利潤は，利潤関数の値 v(p∗ ) と等しくなる．その時，上の議論で v(p∗ ) の傾きと q ∗ は等しくなっている．この企業は，価格が変化しても同じ供給量を行っている「頑固な」企業だとしよう．その時の利潤は，下の価格 p の関数となる． π(p) = pq ∗ − q ∗2 2 (1) このとき，π(p∗ ) = v(p∗ ) である．よって，p = p∗ で直線 (1) と利潤関数のグラフは接している．もし，価格 p0 が p∗ と異なれば，その価格 p0 での最大の利潤は，q ∗ を供給し続けている利潤 (1) よりも大きくなっている．なぜならば，価格が上昇すれば最大化された利潤が増加し，かつ供給量も増えるからである．このことは，直線 (1) は利潤関数のグラフの下に位置していることを示している．利潤関数は下記の形であった． v(p) = pq(p) − p2 p2 q(p)2 = p2 − = 2 2 2 これを p で微分すると dq(p)/dp の効果が出てくるが，企業の最適な生産量のための条件があるので，価格 p の「直接」の効果のみを考えれば良いことが分かる．この命題を包絡線定理という． 1 π v(p) = p2 2 π =p− 1 2 1 8 1 32 0 1 4 1 2 1 1 2 π= p 2 − 1 8 π= p 4 − 1 32 p 図 1: 利潤関数のグラフ練習 2 増減表を作成して次の関数のグラフを書いて下さい． f (x) = y = −x3 + 12x 答え 2 まずは微分する． f 0 (x) = −3x2 + 12 f 00 (x) = −6x よって，1 階微分が 0 になるのは，f 0 (x) = 0 を解いた x = −2 および x = 2 である．この曲線の変曲点は，f 00 (x) = 0 を解いた x = 0 である．これらの点での関数値は以下になる． f (−2) = −(−2)3 + 12(−2) = 8 − 24 = −16, f (2) = −23 + 12 · 2 = −8 + 24 = 16 f (0) = −03 + 12 · 0 = 0 √ また，関数は下記になるので，x = 0 および x = ±2 3 で x 軸と交わる． y = −x3 + 12x = −x(x2 − 12) 明らかに，x → ∞ のとき，3 次の項の係数の符号は負なので関数値は負の無限大に発散する．同様に，x → −∞ のとき，関数値は正の無限大に発散する．これらの情報は下の増減表に記載されている．この増減表を下にグラフが描かれる． 2 x y0 y 00 y −∞ ∞ − + & −2 0 + −16 0 + + + 0 % 0 + − % 2 0 − − − 16 & ∞ −∞ 表 1: 増減表 y y = −x3 + 12x のグラフ 16 √ −2 3 −2 0 2 √ 2 3 −16 図 2: 3 次関数のグラフ 3 x √ 練習 3 一種類の生産要素である労働 L を用いる生産関数 Y = F (L) = L を持っている企業の利潤のグラフを描いてください．ただし財市場と労働市場は完全競争的で生産物価格を p および賃金率を w とします．さらにその最大値と最大点を求めて下さい．答え 3 企業の利潤は， √ π(L) = pF (L) − wL = p L − wL (2) となる．これを L について微分すると √ dπ 1 (L) = p( L)0 − w(L)0 = p √ − w dL 2 L 利潤最大化の 1 階の条件は，dπ(L)/dL = 0 であり，それは 1 p √ −w =0 2 L となる．これを L について解くと， L∗ = p2 4w2 となる．これを (2) に代入すると r ∗ π(L ) = p p2 p2 p2 − w · = 4w2 4w2 4w となる．2 階の条件が満たされているかどうか (3) をもう一度微分すると， d2 π (L) = dL2 µ ¶0 ³ ´0 3 p 1 p −1 p √ −w = L 2 − w = − L− 2 < 0 2 4 2 L となり満たされている．よって，最大値は p2 /4w，最大点は p2 /4w2 となる． 4 (3)