ｽﾗｲﾄﾞﾀｲﾄﾙなし

2006. 10.17
Ibaraki Univ. Dept of Electrical & Electronic Eng.
Keiichi MIYAJIMA
今週は微分方程式の
演習を行います。
今週の内容
これから微分方程式の問題を３題出しま
す。これらの問題を解いて、レポート用紙
に書いて提出して下さい。
本日の課題
次の微分方程式を与えられた初期条件
の下で解きなさい。
dy (t )
(1)
 5 y (t )  3et , y (0)  2
dt
d 2 y (t ) dy (t )
dy
2
(2)

 2 y (t )  2t  3, y (0)  1, (0)  3
2
dt
dt
dt
d 2 y (t )
dy
(3)
 4 y (t )  sin 2t , y (0)  0, (0)  1
2
dt
dt
今日の内容
これから微分方程式の問題のうち(1), (2)
について、プリントの方式に従って解いて
いきます。
(1)について
dy (t )
(1)
 5 y (t )  3et , y (0)  2
dt
まず g (t ) を(9)式を用いて求めます。
特性方程式は
 5  0
  5
これを(9)式に当てはめます。
  
 
g (t )  e  1  e 5t 1(1)  e 5t
よって g (t ) は
g (t )  e 5t
t
0 1
(1)について
dy (t )
(1)
 5 y (t )  3et , y (0)  2
dt
次に f (t ;2)を(8)式を用いて求めます。
先ほどと同様に(8)式に値を代入していきます。
   2  e 1(2)  2e
f (t;2)  e
t
0 1
5t
よって f (t ;2)は
f (t;2)  2e
5t
5 t
(1)について
f (t ;2) と g (t ) から(6)式に代入すると。
t
y (t )  f (t ;2)   g (t  s )u ( s )ds
0
 2e
5t
 2e
5t
t
  e 5(t  s ) 3e s ds
0
t
 3 e
0
5t  5 s s
e ds  2e
t
5t
t
 3 e 5t  6 s ds
0

1 t
 1 5t  6 s 
5t
5t
 2e  3 e

2
e

e

e

6
2

0
3 5t 1 t
 e  e
2
2
5t

(2)について
2
(2)
d y (t ) dy (t )
2

 2 y (t )  2t  3,
2
dt
dt
dy
y (0)  1, (0)  3
dt
まず g (t ) を(9)式を用いて求めます。
特性方程式は
2    2  0
(  2)(  1)  0
  2,1
これを(9)式に当てはめます。

g (t )  e

1t
 e 2t




2 t

e 1t

e
1
   0
    e 2t e 1t
   1 
1   1  1 0 

 
 1  2   2 1  1 
0
1
1
1
0
2
1
2

1 1 


 2  1

1
0
 
1
(2)について
よって g (t ) は


1 2 t t
g (t )  e  e
3
次に f (t ;1,3) を(8)式を用いて求めます。




1
  1
1t
2 t
    e 2t
f (t ;1,3)  e
e
   3 
1   1  1 1 
2t
1t

 
 e
e
 1  2   2 1  3 



0
1
1
1
0
2
1
2


よって f (t ;1,3)は

1 2 t t
f (t ;1,3)  4e  e
3

e
1t
1 1 


 2  1

1
1
 
 3
(2)について
f (t ;1,3) と g (t ) から(6)式に代入すると。
t
y (t )  f (t ;1,3)   g (t  s )u ( s )ds
0





1 2 t t 1 t 2 ( t  s )  ( t  s )
2
 4e  e   e
e
2s  3 ds
3
3 0
・
・
・
2t
2
 e t t
本日の課題
次の微分方程式を与えられた初期条件
の下で解きなさい。
dy (t )
(1)
 5 y (t )  3et , y (0)  2
dt
d 2 y (t ) dy (t )
dy
2
(2)

 2 y (t )  2t  3, y (0)  1, (0)  3
2
dt
dt
dt
d 2 y (t )
dy
(3)
 4 y (t )  sin 2t , y (0)  0, (0)  1
2
dt
dt

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