公式集：基礎解析

公式集：基礎解析
A. 数と式
A—1. 整式の計算
A-1-1 [整式の計算]
任意の整式 A, B, C について
① 交換法則 A + B = B + A
AB = BA
② 結合法則 (A + B) + C = A + (B + C)
(AB)C = A(BC)
③ 分配法則 A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AB + BC
A-1-2 [展開公式]
① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
② (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
③ (a + b)(a − b) = a2 − b2
④ (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
⑤ (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
⑥ (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
⑦ (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
⑧ (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3
⑨ (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3
A-1-3 [因数分解]
① a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
② a2 − 2ab + b2 = (a − b)2
③ a2 − b2 = (a + b)(a − b)
④ x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
⑤ acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)
⑥ a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
⑦ a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 = (a − b)3
⑧ a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
⑨ a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
A-1-4 [整式の除法]
整式 A を B で割った商を Q, R とすると,
A = BQ + R (R の次数)<(B の次数)
A-1-5 [有理式の計算] A
AC
=
① 約分 B
BC
A
② 加法・減法 +
C
③ 乗法・除法 A
A÷C
=
B
B÷C
B
A+B
=
C
C
A
C
AC
×
=
B D
BD
A B
A−B
−
=
C
C
C
A
C
A D
AD
÷
=
×
=
B D
B
C
BC
④ 除法整式 A を B で割った商を Q, R とすると,
A
R
= Q + (R の次数)<(B の次数)
B
B
A—2. 数
A-2-1 [実数の大小関係の基本法則]
① 任意の実数 a, b について，次のどれか 1 つか成り立つ。
a < b, a = b, a > b
② a < b ⇐⇒ a − b < 0
a = b ⇐⇒ a − b = 0
a > b ⇐⇒ a − b > 0
③ a > 0, b > 0 ⇐⇒ a + b > 0,
ab > 0,
A-2-2 [実数の大小関係の性質]
実数 a, b, c, d について
① a > b, b > c ⇒ a > c
② a > b ⇒ a + c > b + c,
a−c>b−c
a
b
③ a > b ⇒ c > 0 のとき, ac > bc,
>
c
c
a
b
c < 0 のとき, ac < bc,
<
c
c
④ a > b, c > d ⇒ a + c > b + d
A-2-3 [実数の平方]
任意の実数 a に対して，a2 >
=0
2
a = 0 となるのは a = 0 のときに限る。
A-2-4 [実数の絶対値の性質]
実数 a(に対して,
a (a >
= 0)
|a| =
−a (a < 0)
A-2-5 [平方根の計算]
√
a2 = |a|
√
√ √
a > 0, b > 0 ab = a b
r
√
a
a
= √
b
b
a
>0
b
B. ２次の関数・方程式・不等式
B—3. ２次関数
B-3-1 [２次関数の標準形]
２次関数 y =
ax2
と表される。
µ
¶
b 2 b2 − 4ac
+ bx + c （a 6= 0）は y = a x +
−
2a
4a
B—4. ２次方程式
B-4-1 [２次方程式の解の公式]
２次方程式
ax2
+ bx + c = 0 （a 6= 0）の解は x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
B-4-2 [２次方程式の解の判別]
２次方程式 ax2 + bx + c = 0, （a 6= 0）について，D = b2 − 4ac を判別式とい
う。このとき,
D > 0 ⇐⇒ 異なる 2 つの実数解をもつ
D = 0 ⇐⇒ 2 重解をもつ
D < 0 ⇐⇒ 異なる 2 つの虚数解をもつ
B-4-3 [解と係数の関係]
２次方程式 ax2 + bx + c = 0, （a 6= 0）の 2 つの解を α, β とすれば，次の関係
が成り立つ。
b
c
α + β = − , αβ =
a
a
B-4-4 [解による因数分解]
２次方程式 ax2 + bx + c = 0, （a 6= 0）の 2 つの解を α, β とすれば, 左辺の 2 次
式は ax2 + bx + c = a(x − α)(x − β) と因数分解される。
B—5. ２次関数のグラフと不等式
B-5-1 [１次不等式の解]
１次不等式 ax > b（a 6= 0）の解は
b
b
a>0⇒x> , a<0⇒x<
a
a
B-5-2 [２次不等式の解]
① ax2 + bx + c = 0（a > 0）が異なる 2 つの実数解 α, β （α < β ）をもつ
とき,
不等式 ax2 + bx + c = a(x − α)(x − β) > 0 の解は，x < α, x > β
不等式 ax2 + bx + c = a(x − α)(x − β) < 0 の解は, α < x < β
② ax2 + bx + c = 0（a > 0）が 2 重解 α をもつとき,
不等式 ax2 + bx + c = a(x − α)2 > 0 の解は，α 以外のすべての実数
不等式 ax2 + bx + c < 0 の解はない。
③ ax2 + bx + c = 0（a > 0）が虚数解をもつとき，
不等式 ax2 + bx + c > 0 の解は，すべての実数
不等式 ax2 + bx + c < 0 の解はない。
C. 命題・等式・関数
C—6. 集合と命題
C-6-1 [集合の相等]
2 つの集合 A と B が
A ⊂ B かつ A ⊃ B ⇐⇒ A = B
C-6-2 [全体集合、補集合、空集合]
¯ について，∅ を空集合として
全体集合 U の中で，集合 A とその補集合 A
A ∪ A¯ = U , A ∩ A¯ = ∅
C-6-3 [ド・モルガンの法則]
¯ A ∪ B = A¯ ∩ B
¯
A ∩ B = A¯ ∪ B,
C-6-4 [要素の個数]
集合 A の要素が有限個であるとき，その個数を n(A) で表す。
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
特に,
A ∩ B = ∅ ⇒ n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
C—7. 等式と不等式
C-7-1 [恒等式]
ax2 + bx + c = 0 が x についての恒等式である ⇐⇒ a = b = c = 0
ax2 + bx + c = a0 x2 + b0 x + c0 が x についての恒等式である
⇐⇒ a = a0 , b = b0 , c0 = c
C-7-2 [剰余の定理]
整式 P (x) を 1 次式 x − α で割ったときの余り R は，R = P (α)
C-7-3 [因数定理]
整式 P (x) が x − α で割り切れる ⇐⇒ P (α) = 0
C-7-4 [比例式]
a
c
a : b = c : d ⇐⇒
=
b
d
a
b
c
a : b : c = a0 : b0 : c0 ⇐⇒ 0 = 0 = 0
a
b
c
C-7-5 [相加平均と相乗平均]
a+b √
>
> ab
に対して
,
a>
0,
b
0
=
=
2 =
等号が成り立つのは a = b のときそしてそのときに限る。
C—8. 関数とグラフ
C-8-1 [平行移動]
座標平面上で x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ移動する平行移動は
x0 = x + p, y 0 = y + q
で表される。これは任意の点 P (x, y) を点 P 0 (x0 , y 0 ) に移す。
曲線 C : y = f (x) を x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ平行移動した像 C 0 の方程
式は y = f (x − p) + q
C-8-2 [対称移動]
対称移動による点 P (x, y) の像を P 0 (x0 , y 0 ) とするとき,
x 軸に関する対称移動は, x0 = x, y 0 = −y
y 軸に関する対称移動は, x0 = −x, y = y 0
原点 O に関する対称移動は, x0 = −x, y 0 = −y
で表される。
対称移動による曲線 C : y = f (x) の像 C 0 の方程式は
x 軸に関する対称移動は, y = −f (x)
y 軸に関する対称移動は, y = f (−x)
原点 O に関する対称移動は, y = −f (−x)
直線 y = x に関する対称移動による曲線 y = f (x) の像の方程式は x = f (y)
C-8-3 [偶関数と奇関数]
定義域の任意の値 x に対して, f (−x) = f (x) ならば f (x) は偶関数という。
f (−x) = −f (x) ならば f (x) は奇関数という。
C-8-4 [1 次分数関数]
分子・分母がともに 1 次式である分数関数 y =
y=
k
+ q の形に変形できる。
x−p
D. 指数関数・対数関数
D—9. 指数関数
D-9-1 [指数法則（１）]
m, n を自然数とするとき,
① am an = am+n
② (am )n = amn
③ (ab)n = an bn
D-9-2 [累乗の除法]
a 6= 0 とするとき，
⎧
⎪
am−n
⎪
⎨
1
am ÷ an =
⎪
⎪
⎩ 1
an−m
(m > n のとき)
(m = n のとき)
(m < n のとき)
ax + b
（c 6= 0, ad − bc 6= 0）は
cx + d
D-9-3 [n 乗根]
m, n を自然とし，a > 0, b > 0 とすると
√
√
① ( n a)m = n am
p
√
√
② m n a = mn a
√
√
√
n
n
③ n a b = ab
r
√
n
a
a
= n
④ √
n
b
b
D-9-4 [指数の拡張（１）]
a 6= 0, n が自然数であるとき
1
a0 = 1, a−n = n
a
D-9-5 [指数の拡張（２）]
a > 0, m, n は整数，n > 0 とするとき
√
√
1
m
a n = n a, a n = ( n a)m
D-9-6 [指数法則（２）]
a > 0, b > 0, r, s を有理数とする。
① ar as = ar+s
② (ar )s = ars
③ (ab)r = ar br
1
④ a−r = r
a
＊ r, s を実数としても成り立つ。
D—10. 対数関数
D-10-1 [対数の定義]
a > 0, a 6= 1, r は実数, M > 0 のとき，
ar = M ⇐⇒ r = loga M
D-10-2 [対数の性質]
a > 0, a 6= 1 のとき，正の数 M , N と実数 p に対して
① loga 1 = 0, loga a = 1
② loga M N = loga M + loga N
M
1
③ loga
= loga M − loga N ，とくに, loga
= − loga N
N
N
④ loga M p = p loga M
D-10-3 [底の変換公式]
a, b は 1 でない正の数とする。任意の正の数 M に対して
loga M
logb M =
loga b
E. 三角関数
E—11. 三角関数の定義
E-11-1 [三角比の定義]
∠A が直角の直角三角形 OAB において, ∠AOB の大きさを α とするとき，
AB
OA
AB
sin α =
, cos α =
, tan α =
OB
OB
OA
E-11-2 [弧度法の定義]
半径 r の円で, ある中心角が作る弧の長さを l とするとき，
l
θ=
(ラジアン)
r
E-11-3 [弧度法と六十分法の変換]
180°
π
1 [rad] =
, 1°=
[rad]
π
180
E-11-4 [弧度法による弧の長さと扇形の面積]
半径 r, 中心角 θ[rad] の扇形の弧の長さ l，面積 S は
1
1
l = rθ, S = r2 θ = rl
2
2
E-11-5 [三角関数の定義]
座標平面上で原点 O を中心とし，半径 r の円をとる。x 軸の正方向を始線とし,
動径 OP がその円と交わる点を P(x, y)，OP の表す一般角を θ とする。その
y
x
y
sin θ = , cos θ = , tan θ =
と定義する。
とき,
r
r
x
E—12. 三角関数の性質
E-12-1 [tan θ の定義]
sin θ
tan θ =
cos θ
E-12-2 [三角関数の性質（１）]
sin2 θ + cos2 θ = 1, tan2 θ + 1 =
1
cos2 θ
E-12-3 [三角関数の性質（２）]
sin(θ + 2nπ) = sin θ, cos(θ + 2nπ) = cos θ, tan(θ + 2nπ) = tan θ （n は整数）
E-12-4 [三角関数の性質（３）]
sin(−θ) = − sin θ, cos(−θ) = cos θ, tan(−θ) = − tan θ
E-12-5 [三角関数の性質（４）]
³
³
³
π´
π´
π´
1
sin θ +
= cos θ, cos θ +
= − sin θ, tan θ +
=−
2
2
2
tan θ
E-12-6 [三角関数の性質（５）]
sin (θ + π) = − sin θ, cos (θ + π) = − cos θ, tan (θ + π) = tan θ
π
π
π
1
sin( − θ) = cos θ, cos( − θ) = sin θ, tan( − θ) =
2
2
2
tan θ
sin(π − θ) = sin θ, cos(π − θ) = − cos θ, tan(π − θ) = − tan θ
E—13. 加法定理とその応用
E-13-1 [加法定理]
角 α, β について
① sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
② sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
③ cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
④ cos(α + β) = cos α cos β + sin α sin β
E-13-2 [正接の加法定理]
① tan(α + β) =
② tan(α − β) =
tan α + tan β
1 − tan α tan β
tan α − tan β
1 + tan α tan β
E-13-3 [三角関数の合成]
√
a sin θ + b cos θ = a2 + b2 sin(θ + α) が成り立つ。α は次の式を満たす角で
ある。
a
b
cos α = √
, sin α = √
2
2
2
a +b
a + b2
E-13-4 [倍角の公式]
① sin 2α = 2 sin α cos α
② cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α
2 tan α
③ tan 2α =
1 − tan2 α
E-13-5 [積を和になおす公式]
1
sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β)
2
1
cos α sin β = sin(α + β) − sin(α − β)
2
1
cos α cos β = cos(α + β) + cos(α − β)
2
1
sin α sin β = − cos(α + β) − cos(α − β)
2
E-13-6 [３倍角の公式]
sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin3 θ
cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ
E—14. 三角形の性質
△ ABC の３つの角の大きさを A, B, C ，対辺の長さを a, b, c で表すことにする。
E-14-1 [三角形の面積]
三角形△ ABC の面積 S は
1
1
1
S = bc sin A = ca sin B = ab sin C
2
2
2
E-14-2 [正弦定理]
△ ABC の外接円の半径を R とする。
a
b
c
=
=
= 2R
sin A
sin B
sin C
E-14-3 [余弦定理]
△ ABC において
a2 = b2 + c2 − 2bc sin A
b2 = c2 + a2 − 2ca sin B
c2 = a2 + b2 − 2ab sin C
E-14-4 [ヘロンの公式]
1
三角形△ ABC の面積 S は, s = (a + b + c) とするとき,
2
p
S = s(s − a)(s − b)(s − c)
F. 平面上の図形
F—15. 点と直線
F-15-1 [直線上の内分・外分]
直線上の 2 点 A(a), B(b) に対して,
線分 AB を m : n に内分する点 P の座標 x は x =
m : n に外分する点 P の座標 x は x =
mb − na
m−n
mb + na
m+n
F-15-2 [２点間の距離]
平面上の 2 点 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) の間の距離は
p
AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
で与えられる。とくに，原点 O(0, 0) と点 P(x, y) との距離は
p
OP = x2 + y 2
F-15-3 [内分点、外分点の座標]
2 点 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) を結ぶ線分 AB を m : n に内分する点 P(x, y) の座標は
mx2 + nx1
my2 + ny1
x=
, y =
m+n
m+n
AB を m : n に外分する点 P(x, y) の座標は
mx2 − nx1
my2 − ny1
x=
, y =
m−n
m−n
とくに線分 AB の中点の座標は
x1 + x2
y1 + y2
x=
, y =
2
2
F-15-4 [直線の方程式（１）]
a, b の少なくとも一方が 0 でないとき,1 次方程式 ax + by + c = 0 は直線を表す。
F-15-5 [直線の方程式（２）]
点 (x1 , y1 ) を通り，傾き m の直線の方程式は y − y1 = m(x − x1 )
F-15-6 [直線の方程式（３）]
異なる 2 点 (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) を通る直線の方程式は
y2 − y1
x1 6= x2 のとき，y − y1 =
(x − x1 )
x2 − x1
x1 = x2 のとき，x = x1
F-15-7 [２直線の位置関係]
2 直線 l : y = mx + b, l0 : y = m0 x + b0 について
l // l0 ⇐⇒ m = m0
l ⊥ l0 ⇐⇒ mm0 = −1
F—16. 円と２次曲線
F-16-1 [円の方程式]
点 (a, b) を中心とし，半径 r の円の方程式は
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
とくに，原点 O(0, 0) を中心とし，半径 r の円の方程式は
x2 + y 2 = r 2
F-16-2 [円の接線の方程式]
円 x2 + y 2 = r2 の上の点 P(x0 , y0 ) における接線の方程式は
x0 x + y0 y = r2
F-16-3 [楕円の方程式]
焦点 F (c, 0), F 0 (−c, 0) からの距離の和が 2a の点の軌跡である楕円の方程式は，
√
a > c > 0, b = a2 − c2 として
x2 y 2
+ 2 = 1 （a > 0, b > 0）
a2
b
F-16-4 [双曲線の方程式]
焦点 F (c, 0), F 0 (−c, 0) からの距離の差が 2a（a < c）の点の軌跡である双曲線
√
の方程式は, b = c2 − a2 として
x2 y 2
− 2 =1 a2
b
F-16-5 [放物線の方程式]
焦点 F (p, 0)，準線 x = −p である放物線の方程式は
y 2 = 4px
F-16-6 [曲線の平行移動]
曲線 C : F (x, y) = 0 を x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ平行移動した像 C 0 の方
程式は
F (x − p, y − q) = 0

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