応用理工学類 応用数学 I Quiz 10 解説 問1 区間 [0, L] における任意の区分なめらかな関数 f (x), g(x) を周期 2L の奇関数に拡張 したものを f˜(x), g˜(x) とする。そのとき、ストークスの波動公式(ダランベールの解) ∫ 1 1 u(x, t) = [f˜(x + ct) + f˜(x − ct)] + 2 2c x+ct g˜(s)ds x−ct について答えよ。 (1) 実際に偏微分してみると u(x, t) は波動方程式 utt = c2 uxx を満たすことを示せ。 ∂ ∂x {∫ x+ct } g˜(s)ds = g˜(x+ct)−˜ g (x−ct), x−ct ∂ ∂t {∫ x+ct } g˜(s)ds = c˜ g (x+ct)+c˜ g (x−ct) x−ct に注意して丁寧に偏微分してゆくと、 ] 1 [ ˜′ 1 ux = f (x + ct) + f˜′ (x − ct) + [˜ g (x + ct) − g˜(x − ct)] 2 2c ] [ ] 1 [ ′ 1 ˜′′ f (x + ct) + f˜′′ (x − ct) + g˜ (x + ct) − g˜′ (x − ct) uxx = 2 2c ] 1 [ ˜′ 1 ut = [c˜ g (x + ct) + c˜ g (x − ct)] cf (x + ct) − cf˜′ (x − ct) + 2 2c [ ] ] 1 2 ˜′′ 1 [ 2 ′ c g˜ (x + ct) − c2 g˜′ (x − ct) utt = c f (x + ct) + c2 f˜′′ (x − ct) + 2 2c となり、関数 f˜(x), g˜(x) が何であろうとも u は utt = c2 uxx を満たすことがわかる。 (2) u(x, t) は全ての時刻 t において境界条件 u(0, t) = u(L, t) = 0 を満たすことを示せ。 与式で x = 0 と置けば、関数 f˜(x), g˜(x) が奇関数であることから任意の時刻 t に おいて u(t, 0) = 0 となることは直ちに従う。他方 x = L とおいた場合について は、関数 f˜(x), g˜(x) が x = L を中心として反対称であること、つまり f˜(L + ct) = (周期 2L から) = f˜(−L + ct) = (奇関数だから) = −f˜(L − ct)、g˜(x) に関しても同 様に g˜(L + s) = −˜ g (L − s) となることから、u(L, t) = 0 が全ての t で成り立つこ とが従う。 (3) u(x, t) は初期条件 u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x) を満たすことを示せ。 与式および (1) で求めた ut において t = 0 と置けば直ちに従う。 (4) L = 5, c = 1 とし、初期条件を { 1 (1 < x < 2 のとき) u(x, 0) = , 0 (0 ≤ x ≤ 1 または 2 ≤ x ≤ 5 のとき) ut (x, 0) = 0 とするとき、t = 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5 における解の様子を、教科書の図 5-6 にならって描け。 下で赤で示した線が t = 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5 のグラフ。波が境界条件の ために境界で反射する様子を観察・理解してください。(このグラフは実は次に扱 うフーリエ分解の方法で描いています。) 応用数学 I のホームページ http://www.bk.tsukuba.ac.jp/~CARS/lecture.html
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