数理統計演習後期 No.8
8.1.(e.x.6.1.1)
(i)
[
E[T (X)] = e
]
X1 + X2
1
1
= (E(X1 ) + E(X2 )) = (µ + µ) = µ
2
2
2
よって T (X) は µ の不偏推定量であり, 偏り e[T (X)] − µ = 0 となる.
よって
(
) ( )2
X1 + X2
1
=
(Var(X1 ) + Var(X2 ))
2
2
1
1
= (σ 2 + σ 2 ) = σ 2
4
2
MSE(T (X), µ) = Var
(ii)
S(X) =
n
∑
ci Xi ,
i=1
n
∑
ci = 1 とする.
i=1
(
E(S(X)) = E
n
∑
)
ci Xi
i=1
= E(c1 X1 ) + E(c2 X2 ) + · · · + E(xn Xn )
= c1 E(X1 ) + c2 E(X2 ) + · · · + cn E(Xn )
= c1 µ + c2 µ + · · · + cn µ
=µ
n
∑
ci = µ
i=1
よって µ の不偏推定量なので偏りはゼロ.
MSE(S(X), µ) = E[{S(X − µ}2 ]
= ···
= E[S 2 (X)] − (E[S(X)])2
( n
)
∑
= Var
c i Xi
i=1
= Var(c1 X1 ) + · · · + Var(cn Xn )
= c1 2 Var(X1 ) + · · · + cn 2 Var(Xn )
= c1 2 σ 2 + · · · + cn 2 σ 2
= σ 2 (c1 2 + · · · + cn 2 )
= σ2 ·
よって S(X) の M.S.E は σ
2
∑
n
∑
i=1
ci
c1 2 + · · · + cn 2 ≥
より M.S.E≥ σ 2 ·
ci 2
1
(c1 + · · · + cn )2
=
n
n
1
n
(コーシーシュワルツの不等式)
∑
等号成立は c1 = c2 = · · · = cn のとき
ci = 1 より ci = 1/n
8.2.(e.x.6.1.2)
(i)
[ n
]
n
∑
1∑ k
1
1
k
E[T (X)] = E[
Xi ] = E
Xi = · nE[X k ] = E[X k ]
n i=1
n
n
i=1
1
したがって T (X) は E[X k ] の不偏推定量である.
(ii)
e
[ n
∑ Xi 2
n
i=1
−
n
∑
(Xi − X)2
]
=E
n−1
i=1
[ n
]
∑ Xi 2
i=1
n
−E
[ n
]
∑ (Xi − X)2
i=1
n−1
···⃝
1
ここで (i) より
]
n
1∑ k
2
E(X ) = E
Xi · · · ⃝
n i=1
[
k
k = 2 のとき
[
1∑ k
E(X ) = E
Xi
n i=1
n
]
2
また, 定義より不偏標本分散 Un 2 は
1 ∑
(Xi − X n )2
n − 1 i=1
n
Un 2 =
また標本分散の定義より
1∑
(Xi − X n )2
n i=1
n
Sn 2 =
したがって
Un 2 =
よって
E
[ n
]
∑ (Xi − X n )2
i=1
n−1
n
Sn 2
n−1
n
E[Sn 2 ]
n−1
(
[ n
])
∑
1
n
2
2
(Xi − E(X)) − n(X n − E(X))
E
=
n−1 n
i=1
= E[Un 2 ] =
= Var(X)
よって
[
E
n
∑
(Xi − X)2
]
n−1
i=1
= Var(X) · · · ⃝
3
⃝
1 と⃝
2 と⃝
3 を代入して
⃝
1 = E(X 2 ) − Var(X) = [E(X)]2
2
8.3.(e.x.6.1.3)
E[T (X)] = eλ を示す.
E[T (X)] =
∞
∑
2k
k=0
=e
−λ
e−λ λk
k!
∞
∑
(2λ)k
k=1
|
k!
{z }
(パラメータ 2λのポアソン分布)
=1
=e
−λ
·e
2λ
= eλ
2
よって,T (X) = 2X が eλ の不偏推定量である.
8.4.(e.x.6.1.6)
・T (X) =
n−1
n X(n)
が θ が不偏推定量である. ことを示す. つまり以下を示せばよい.
E(T (X)) = θ
···⃝
1
[
]
∫
n+1
n+1
n+1 θ
nxn−1
1
E(T (X)) = E
X(n) =
E(X(n) ) =
x·
dx = n [xn+1 ]θ0
n
n
n
n
θ
θ
0
よって ⃝
1 成立
θ
を示す.
n(n + 1)
⃝
1 より,Bias(T (X)) = 0 なので
・次に MSE(T (X), θ) =
)
n+1
MSE(T (X), θ) = Var
X(n)
n
(
)
n+1
=
{E(Xn+1 2 ) − [E(Xn )]2 }
n
(
···⃝
2
ここで
∫
θ
2
x2
E(X(n) ) =
0
n 2
nxn−1
dx =
θ
θn
n+1
ゆえに ⃝
2 より
(n + 1)2
MSE(T (X, θ)) =
n2
{
n 2
θ −
n+1
(n + 1)2 2
θ − θ2
n(n + 2)
1
=
θ2
2
n(n + 2)
=
3
(
n
θ
n+1
)2 }

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