定積分と広義積分(pdfファイル:10ページ)

定積分と広義積分
f (x) を閉区間 [a, b] で定義された有界な関数とする．
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b
となるように点 x0 , x1 , . . . , xn をとったとき、これらの点の集合 ∆ = {x0 , x1 , . . . , xn } を
閉区間 [a, b] のひとつの分割という．小区間 [xi−1 , xi ] の長さ xi − xi−1 (1 ≤ i ≤ n) は、一
般に等しくない．これらの長さの最大値
|∆| = max{xi − xi−1 | 1 ≤ i ≤ n}
を、分割 ∆ の幅と呼ぶ．
定義 (定積分, Riemann 積分) 各小区間 [xi−1 , xi ] に含まれる点 ci (xi−1 ≤ ci ≤ xi ) を
任意にひとつとる．
n
∑
f (ci )(xi − xi−1 )
i=1
が、n を大きくして |∆| → 0 としたとき、ci のとり方によらずに一定の値に収束するなら
ば、f (x) は閉区間 [a, b] において定積分可能 (Riemann 積分可能) であるという．また、
その一定の値を f (x) の [a, b] における定積分といい、
∫
b
f (x) dx
a
で表す．
mi = inf{f (x) | xi−1 ≤ x ≤ xi },
とし、
s(f, ∆) =
n
∑
Mi = sup{f (x) | xi−1 ≤ x ≤ xi }
mi (xi − xi−1 ),
S(f, ∆) =
i=1
n
∑
Mi (xi − xi−1 )
i=1
とおく．mi ≤ f (ci ) ≤ Mi だから、
s(f, ∆) ≤
n
∑
f (ci )(xi − xi−1 ) ≤ S(f, ∆)
i=1
である．
∆ が閉区間 [a, b] のすべての分割を動くときの s(f, ∆) の上限を s(f ) で表し、S(f, ∆)
の下限を S(f ) で表す．
s(f ) = sup s(f, ∆),
S(f ) = inf S(f, ∆)
∆
∆
s(f ) ≤ S(f ) である．
定理 (Darboux) s(f ) = lim s(f, ∆), S(f ) = lim S(f, ∆) である．
|∆|→0
|∆|→0
1
定理 f (x) が [a, b] において定積分可能であるための必要十分条件は、s(f ) = S(f ) が
成り立つことである．
定理 (1) f (x) が閉区間 [a, b] で有界な広義の単調増加 (あるいは減少) 関数ならば、
[a, b] で定積分可能である．
(2) f (x) が閉区間 [a, b] で連続ならば、[a, b] で定積分可能である．
以下簡単のため、f (x) は閉区間 [a, b] で連続であるとする．
定理 (積分区間の加法性) a < c < b を満たす任意の定数 c に対して、
∫ b
∫ c
∫ b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx
a
a
c
定理閉区間 [a, b] で常に f (x) ≤ g(x) ならば、
∫ b
∫ b
f (x) dx ≤
g(x) dx
a
a
系 (1) 閉区間 [a, b] で常に C ≤ f (x) ≤ D (C, D は定数) ならば、
∫ b
C(b − a) ≤
f (x) dx ≤ D(b − a)
a
(2)
∫ b
∫ b
f (x) dx ≤
|f (x)| dx
a
∫
∫
b
∫
a
f (x) dx = −
b < a のとき
a
f (x) dx と定義する．また
a
b
a
f (x) dx = 0 と定義する．
a
定理関数 f (x) は区間 I で連続とし、a を I に属する点とする．I に属する任意の点 x
に対して、
∫
x
F (x) =
f (t) dt
a
として x の関数 F (x) を定義すると、F (x) は微分可能で
d
F (x) = f (x) である．
dx
定理 F (x) を f (x) の不定積分とすると、
∫ b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
[
が成り立つ．この右辺を F (x)
]b
a
で表す．
(積分の線型性) c1 , c2 を定数とすると、
∫ b
∫ b
∫ b
(c1 f (x) + c2 g(x)) dx = c1
f (x) dx + c2
g(x) dx
a
a
2
a
(部分積分) f (x) と g(x) を C 1 -級の関数とすると、
∫
b
a
[
]b
f (x)g (x) dx = f (x)g(x) a −
′
∫
b
f ′ (x)g(x) dx
a
(置換積分) f (x) を連続関数、g(x) と φ(t) を C 1 -級の関数とすると、x = φ(t) のとき
∫
∫
φ(β)
β
f (x) dx =
φ(α)
f (φ(t))φ′ (t) dt
α
定理 (積分に関する平均値の定理) 次を満たす点 c (a < c < b) が存在する．
∫
1
f (c) =
b−a
∫
例
b
f (x) dx
a
e−x dx = −e−x だから、
∫
0
1
[
]1
e−x dx = − e−x 0 = −e−1 + 1
∫
例 n ≥ 0 を整数とし、Sn =
π/2
sinn x dx とおく．漸化式
0
∫
1
n−1
sin x dx = − sinn−1 x cos x +
n
n
n
∫
sinn−2 x dx
n−1
Sn−2 である．S0 = π/2, S1 = 1 だから、
n

n−1n−3
1π


···
(n が偶数のとき)

 n n−2
22
により、n ≥ 2 のとき Sn =
Sn =



n − 1 n − 3 · · · 2
n n−2
3
(n が奇数のとき)
定義 (広義積分) 半開区間 (a, b] で連続な関数 f (x) について、極限
∫
b
f (x) dx
lim
ε→+0
a+ε
が存在するならば、f (x) は区間 (a, b] において広義積分可能であるまたは広義積分は収束
するという．その極限を (a, b] における広義積分 (improper integral) といい
∫
b
f (x) dx
a
3
で表す．f (x) が半開区間 [a, b) で連続なとき、あるいは開区間 (a, b) で連続なときの
∫ b
∫ b−ε
f (x) dx = lim
f (x) dx
ε→+0 a
a
∫ b
∫ c
∫ b−ε2
f (x) dx = lim
f (x) dx + lim
f (x) dx
(a < c < b)
ε1 →+0
a
ε2 →+0
a+ε1
c
についても同様に、右辺の極限が存在するならば広義積分は収束するという．f (x) が (a, b)
で連続のときは、独立な 2 つの ε1 と ε2 について ε1 → +0 に関する極限と ε2 → +0 に関
する極限を個別に考える．a < c < b を満たす c の取り方には依存しない．
[a, +∞) で連続な関数 f (x) について、極限
∫ b
lim
f (x) dx
b→+∞
a
が存在するならば、f (x) は [a, +∞) において広義積分可能であるまたは広義積分は収束
するという．その極限を [a, +∞) における広義積分といい
∫ +∞
f (x) dx
a
で表す．f (x) が (−∞, b] で連続なとき、あるいは実数全体で連続なときの
∫ b
∫ b
f (x) dx = lim
f (x) dx
∫
a→−∞
−∞
∫
+∞
f (x) dx = lim
−∞
a→−∞
a
c
∫
b→+∞
a
b
f (x) dx
f (x) dx + lim
(a < c < b)
c
についても同様に、右辺の極限が存在するならば広義積分は収束するという．実数全体で
連続のときは、a → −∞ に関する極限と b → +∞ に関する極限を個別に考える．a < c < b
を満たす c の取り方には依存しない．
∫
√
1
√ dx = 2 x だから、
例
x
∫ 1
∫ 1
√
1
1
√ dx = lim
√ dx = 2 − lim 2 a = 2
a→+0 a
a→+0
x
x
0
∫
1
dx = Arctan x だから、
例
1 + x2
∫ +∞
∫ b
1
1
π
dx = lim
dx = lim Arctan b − Arctan 0 =
2
2
b→+∞ 0 1 + x
b→+∞
1+x
2
0
∫ 0
∫ b
∫ +∞
1
1
π π
1
dx
=
lim
dx
+
lim
dx
=
+ =π
2
a→−∞ a 1 + x2
b→+∞ 0 1 + x2
2
2
−∞ 1 + x
1
2
例標準正規分布の確率密度関数 √ e−x /2 について、
2π
∫ +∞
1
2
√
e−x /2 dx = 1
2π −∞
4
定理 f (x) を (a, b] で連続な関数とする．
∫ b
(1) (Cauchy の収束条件) 広義積分
f (x) dx が収束するための必要十分条件は、ど
a
のように ε > 0 が与えられても、
c (a < c ≤ b) が存在して、a < r < s < c を満たすすべ
∫ s
ての r, s に対して f (x) dx < ε となることである．
r
(2) 定数 p (0 < p < 1) と定数 K が存在して、(a, b] において常に (x − a)p |f (x)| ≤ K
∫ b
が成り立つならば、広義積分
|f (x)| dx は収束する．
a
∫ b
f (x) dx に関しても、同様の定理が成り
注意 [a, b) で連続な関数 f (x) の広義積分
a
立つ．
定理 f (x) を [a, +∞) で連続な関数とする．
∫
+∞
(1) (Cauchy の収束条件) 広義積分
f (x) dx が収束するための必要十分条件は、
a
どのように∫ε > 0 が与えられても、M > 0 が存在して、M < r < s を満たすすべての r, s
s
に対して f (x) dx < ε となることである．
r
q
(2) 定数 q > 1 と定数
∫ +∞ K が存在して、[a, +∞) において常に x |f (x)| ≤ K が成り立つ
ならば、広義積分
|f (x)| dx は収束する．
a
∫ b
注意 (−∞, b] で連続な関数 f (x) の広義積分
f (x) dx に関しても、同様の定理が
−∞
成り立つ．
∫
∫
定理
b
|f (x)| に関する広義積分
|f (x)| dx が収束すれば、f (x) に関する広義積分
a
b
f (x) dx も収束して、
∫ b
∫ b
f (x) dx ≤
|f (x)| dx
a
a
a
となる．これは a を −∞ で置き換えても、また b を +∞ で置き換えても成り立つ．
|f (x)| に関する広義積分が収束するとき、f (x) に関する広義積分は絶対収束するという．
例 p > 0, q > 0 を定数とし、f (x) = xp−1 (1 − x)q−1 とおく．p ≥ 1, q ≥ 1 ならば、
f (x) は [0, 1] で連続である．p < 1 のときは、q の値にかかわらず、f (x) は (0, 1/2] で連
続であり、さらに x1−p |f (x)| = (1 − x)q−1 は (0, 1/2] で有界だから、定理により広義積分
∫ 1/2
f (x) dx は収束する．同様に q < 1 のときは、p の値にかかわらず、f (x) は [1/2, 1) で
0
連続であり、さらに (1 − x)1−q |f (x)| = xp−1 は [1/2, 1) で有界だから、定理により広義積
∫ 1
分
f (x) dx は収束する．以上により、任意の p > 0, q > 0 に対して広義積分
1/2
∫
∫
1
p−1
x
0
(1 − x)
q−1
∫
1/2
p−1
dx =
x
(1 − x)
q−1
0
1
xp−1 (1 − x)q−1 dx
dx +
1/2
5
は収束することがわかった．x を t に書き換え、さらに p, q をそれぞれ x, y に書き換えて
得られる x, y の関数
∫ 1
B(x, y) =
tx−1 (1 − t)y−1 dt
(x > 0, y > 0)
0
をベータ関数 (beta function) という．
例 p > 0 を定数とし、f (x) = e−x xp−1 とおく．f (x) は p の値にかかわらず [1, +∞) で
連続で、さらに x → +∞ のとき x2 |f (x)|∫= e−x xp+1 → 0 だから、x2 |f (x)| は [1, +∞) で
+∞
f (x) dx は収束する．p ≥ 1 ならば f (x) は
有界である．よって定理により広義積分
1
[0, 1] で連続だから、[0, 1] で定積分可能である．p < 1 とする．f (x) は (0,
∫ 1] で連続であ
1
り、さらに x1−p |f (x)| = e−x は (0, 1] で有界だから、定理により広義積分
f (x) dx は収
0
束する．以上により、任意の p > 0 に対して広義積分
∫
+∞
−x p−1
e x
∫
1
dx =
0
−x p−1
e x
∫
dx +
0
+∞
e−x xp−1 dx
1
は収束することがわかった．x を t に書き換え、さらに p を x に書き換えて得られる x の
関数
∫
+∞
Γ (x) =
e−t tx−1 dt
(x > 0)
0
をガンマ関数 (gamma function) という．
ベータ関数とガンマ関数について、B(x, y) =
6
Γ (x)Γ (y)
という関係がある．
Γ (x + y)
問題
1. 次の定積分を計算せよ．
∫ 1√
(1)
1 − x2 dx
(ヒント．x = sin t として置換積分をする)
0
∫
π/2
cosn x dx
(2)
(n ≥ 0)
0
2. α > 0 を定数とする．次の広義積分が収束するような α の範囲を求めよ．またそのと
きの広義積分の値を求めよ．
∫ 1
∫ +∞
1
1
(1)
dx
(2)
dx
α
xα
0 x
1
3. 次の広義積分を計算せよ．
∫ 1
1
√
(1)
dx
1 − x2
0
4.
∫
+∞
(2)
1
log x
dx
x2
sin x
(x ̸= 0) について、次のことを証明せよ．
x
∫ +∞
sin x
(1) 広義積分
dx は収束する．
x
0
∫ +∞ sin x (2) 広義積分
dx は収束しない．
x
0
5. ガンマ関数とベータ関数について、次のことを証明せよ．
(1) Γ (1) = 1
(2) Γ (x + 1) = xΓ (x)
∫
(ヒント． e−t tx dx に部分積分を用いる)
(3) Γ (n + 1) = n ! (n は自然数)
∫ +∞
2
e−t t2x−1 dt
(4) Γ (x) = 2
0
∫ b
2
(ヒント． e−t t2x−1 dt
(0 < a < b) について、t2 = u として置換積分をする)
a
(5) B(x, y) = B(y, x)
(ヒント．t = 1 − s として置換積分をする)
∫ π/2
(6) B(x, y) = 2
cos2x−1 θ sin2y−1 θ dθ
0
∫ 1
(ヒント． tx−1 (1 − t)y−1 dt について、t = cos2 θ として置換積分をする)
0
7
解答とヒント
∫ √
1 √
1. (1) 不定積分の公式
1 − x2 dx = (x 1 − x2 + Arcsin x) からすぐにわかるが、
2
ここでは x = sin t として置換積分を考える．0 ≤ x ≤ 1 は 0 ≤ t ≤ π/2 に対応する．また
√
dx
1
この範囲で 1 − x2 = cos t であり、
= cos t だから、cos2 t = (1 + cos 2t) に注意して
dt
2
∫ 1√
∫ π/2
∫ π/2
]π/2 π
1
dx
1[
2
1 − x dx =
dt =
cos t
cos2 t dt = t + sin 2t 0 =
dt
2
2
4
0
0
0
∫
(2)
cosn x dx に関する漸化式を用いてもよいが、次のようにしてもよい．π/2 − x = t
とおくと、0 ≤ x ≤ π/2 の範囲は π/2 ≥ t ≥ 0 の範囲と対応する．
cos x = cos(π/2 − t) = sin t に注意すると、
∫
π/2
∫
0
0
dx
dx =
cos x dx =
sin t
dt
π/2
n
∫
dx
= −1 だから、
dt
π/2
n
sinn t dt
0
が得られる．この右辺の定積分の値は既知である．
∫
1
x1−α
2.
dx
は
α
=
̸
1
のとき
で、α = 1 のとき log x である．
xα
1−α
(1) 0 < ε < 1 に対して、
∫
1
ε


1
(1 − ε1−α )
1
dx = 1 − α
− log ε
xα
(α ̸= 1)
(α = 1)
である．ε → +0 のとき、α > 1 ならば ε1−α → +∞ で、0 < α < 1 ならば ε1−α → 0 であ
り, さらに log ε → −∞ なので、広義積分が収束するのは 0 < α < 1 のときに限る．その
1
ときの広義積分の値は
である．
1−α
(2) 1 < b に対して
∫
1
b


1
(b1−α − 1)
1
1
−
α
dx
=
log b
xα
(α ̸= 1)
(α = 1)
である．ここで b → +∞ を考えて、広義積分が収束するのは α > 1 のときに限ること、
1
であることがわかる．
およびそのときの広義積分の値は
α−1
∫
1
√
3.
(1)
dx = Arcsin x であり、ε → +0 のとき Arcsin(1 − ε) → π/2 で
1 − x2
Arcsin 0 = 0 だから、
∫ 1
1
π
√
dx = lim Arcsin(1 − ε) − 0 =
ε→+0
2
1 − x2
0
8
∫
∫
log x
1
1
1
(2) 部分積分により
dx = − log x +
dx = − (log x + 1) であり、右辺は
2
2
x
x
x
x
x → +∞ のとき 0 に収束するので
∫ +∞
log x
dx = 1
x2
1
4. f (x) =
sin x
(x ̸= 0) とおく．
x
∫ 1
(1) f (x) は (0, +∞) で連続である． lim f (x) = 1 で f (x) は有界だから、 f (x) dx は収
x→0
0
∫
束する．
∫
cos x
cos x
−
dx だから、
x
x2
∫ s
∫ s
cos s cos r
cos x
f (x) dx = −
+
−
dx
s
r
x2
r
r
1 < r < s とする．部分積分により
f (x) dx = −
ここで、| cos x| ≤ 1 および
∫ s
∫ s cos x ∫ s cos x 1 1
1
dx ≤
dx = − +
2 dx ≤
2
2
x
x
s r
r
r
r x
∫ s
1 1 1 1
2
により、
f (x) dx ≤ + − + = となる．r → +∞ のとき 2/r → 0 だから、
s r s∫ r
r
r
+∞
Cauchy の収束条件により広義積分
f (x) dx は収束する．
1
(2) n を自然数とし、閉区間 [nπ, (n + 1)π] における |f (x)| の定積分を考える．nπ ≤ x ≤
(n + 1)π の範囲の x に対して t = x − nπ とおくと 0 ≤ t ≤ π で、| sin x| = sin t が成り立
dx
つ．
= 1 だから、部分積分および t + nπ ≤ (n + 1)π により
dt
∫ π
∫ (n+1)π ∫ π
1
2
sin t
sin x dt ≥
sin t dt =
dx =
x
(n + 1)π 0
(n + 1)π
nπ
0 t + nπ
m ≥ 2 を自然数とし、両辺の n = 1, 2, . . . , m − 1 についての和をとると、
∫
π
mπ m−1
2∑ 1
2 (1 1
1)
sin x =
+ + ··· +
dx ≥
x
π n=1 n + 1
π 2 3
m
∫
m → ∞ のとき右辺は +∞ に発散するので、広義積分
∫
注意
0
0
+∞
+∞ sin x dx は収束しない．
x
sin x
π
dx = であることが知られている．
x
2
5. (1) Γ (x) の定義の式で x = 1 とすると、
∫ +∞
∫ b
−t
Γ (1) =
e dt = lim
e−t dt = lim (−e−b ) + e0 = 1
0
b→+∞
b→+∞
0
9
(2) 0 < a < b について、部分積分により
∫
b
[
−t x
e t dt = −
a
]b
e−t tx a
∫ b
+ x e−t tx−1 dt
a
a → +0, b → +∞ のときの左辺の極限は Γ (x + 1) で、右辺の極限は xΓ (x) である．
(3) (1) と (2) からわかる．
∫ b
√
dt
1
2
(4) 0 < a < b とする． e−t t2x−1 dt において、u = t2 おくと、t = u で
= √ だ
du
2 u
a
x
u
から、t2x−1 = √ に注意して置換積分をすると、
u
∫
b
−t2 2x−1
e
t
∫
b2
dt =
−u
e
a2
a
ux dt
1
√
du =
2
u du
∫
b2
e−u ux−1 du
a2
∫
+∞
a → +0, b → +∞ のとき a → +0, b → +∞ だから、左辺の極限は
2
2
e−t t2x−1 dt
2
0
1
で、右辺の極限は Γ (x) である．
2
(5) t = 1 − s として置換積分をする．0 < t < 1 ならば 1 > s > 0 で、t = 0 のとき s = 1、
dt
t = 1 のとき s = 0 である． = −1 だから、
ds
∫ 1
∫ 0
∫ 1
x−1
y−1
x−1 y−1 dt
t (1 − t) dt =
ds =
(1 − s) s
sy−1 (1 − s)x−1 ds
ds
0
1
0
√
(6) t = cos2 θ として置換積分をする．0 ≤ t ≤ 1 の範囲で θ = Arccos t は t の単調減少
dt
関数で、その値の範囲は π/2 ≥ θ ≥ 0 である．
= −2 cos θ sin θ だから、
dθ
∫ 1
∫ 0
x−1
y−1
t (1 − t) dt =
cos2x−2 θ sin2y−2 θ (−2 cos θ sin θ) dθ
0
π/2
∫ π/2
cos2x−1 θ sin2y−1 θ dθ
=2
0
10

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