講義資料

２.3 線形微分方程式
2階線形微分方程式
テキストP13
d 2x
以下のように未知関数とその導関数について
1次式になっている方程式を線形微分方程式と
tの関数または定数係数
いう．
（1）
x（n）＋a1(t)x（n－1）＋……＋an(t)x＝f(t)
ここに，xはtの関数である．
d nx
d n −1x
n
dt n −1
dt
dt 2
d 2x
dt
2
d 2x
dt 2
+ a1 (t )
xはtの関数
dx
+ a2 (t ) x = f (t ) x′′ + a1 (t ) x′ + a2 (t ) x = f (t )
dt
+b
dx
+ cx = f (t )
dt
+b
dx
+ cx = 0
dt
x′′ + bx′ + cx = f (t )
表現を変えただけで同じもの
x′′ + bx′ + cx = 0
右辺＝0;同次方程式
右辺≠ 0;非同次方程式
もし，式(1)の解(特殊解)x0がわかるならば，
y＝x－x0
とおいて，未知変数をxから yへ変換すると，
x0（n）＋a1(t)x0（n－１）＋……＋an(t)x0＝f(t) （2）
を
（1）
x（n）＋a1(t)x（n－1）＋……＋an(t)x＝f(t)
から引き算することにより,
y（n）＋a1(t) y（n－１）＋……＋an(t)y＝0
（3）
となることがわかる．
式（3）の一般解の形 y＝Y(t)がわかれば，
右辺=0;
式(1)の一般解の形は
同次方程式
x＝y＋x0 (t)＝Y(t)＋x0 (t)
式（1）,(2);
非同次方程式
とわかることになる．
重ね合わせの原理
• このようにして，式（1）の一般解を求める問題は，
式（3）の一般解を求める問題と，式（1）の１つの
解(特殊解)を求める問題とに分解される．
• ところが，この後者は，前者が解ければ解決で
きるので，当面の目的は式(3) の同次方程式の
一般解を求めることとなる．
• さて，y１(t)，y２(t)が式(3)の解なら，任意の定数cｌ，
c２をとって，１次結合 y (t)＝ cｌy１(t)＋c２y２(t)を
作っても，y (t)は明らかに，また式(3)の解である．
• これを重ね合わせの原理という .
2.3.3 定数係数の同次方程式
d d2
dn
, 2 ," n をそれぞれD , D 2 " D n
dt dt
dt
で表し，これらを微分演算子という．
cがt の関数でなく定数であるとき，
cD = c
n
また，Dに関する整式
P(D)=a0Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+…+an-1D+an
dn
dt n
Dnをほどこした結果にDmをほどこすことをDmDnで表す．
の意味を次式で定める．
P(D)x=(a0Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+…+an-1D+an)x
=a0Dnx+a1Dn-1x+a2Dn-2x+…+an-1Dx+anx
P(D)もやはり微分演算子という.
1
微分演算子P(D)，Q(D)の法則
微分演算子の公式
(1) Dn(cx)=cDnx，Dn(x1+x2)=Dnx1+Dnx2，
DmDnx=DnDmx=Dm+nx
(2) P(D)(cx)＝cP(D)x
(3) P(D)(x1＋x2)＝P(D)x1＋P(D)x2，
{P(D)±Q(D)}x＝P(D)x±Q(D)x
(4) {P(D)＋Q(D)}x＝{Q(D)＋P(D)}x，
P(D)Q(D)x＝Q(D)P(D)x＝{Q(D)P(D)}x
• 公式(1) P(D)eｃｔ＝P(c)eｃｔ
• 公式(2) P(D){eｃｔf(t)}＝eｃｔP(D＋c)f(t)
• 公式(3) (D－c)m{eｃｔf(t)}＝eｃｔDmf(t)
すなわち，加減乗算はできても割算はできない．
P16
定数係数2階線形微分方程式の一般解の公式
一般に，定数係数の2階線形微分方程式
x"＋bx'＋cx＝0
−b ± b 2 − 4c
の解として，
2
D２＋bD＋c＝0
の2次方程式（この方程式を特性方程式と呼ぶ）を解い
たとき，以下の公式が成り立つ．
①異なる2実根α，βの場合（ b2－4c>0 ）
x＝c１eαt＋c２eβt
②重根αの場合（ b2－4c＝0 ）
x＝c１eαt＋c２t eαt
③虚根λ±iμの場合（ b2－4c＜0 ）
x＝eλ(c１cosμt＋c２sinμt)
さて、振り子の運動：予習
周期
m
d 2 Lu
dt 2
mL
d 2u
dt 2
ω
2π
= − mg sin u
≒振幅が小さいとき
= −mg u 初期条件 u(0)=u0 ,u’(0)=0
u (t ) = u0 cos ωt ここで，ω =
P18
•
•
•
•
m
u
g
L
バネはフックの法則に従う．
バネの張力はその伸びに比例する．
その速さに比例した抵抗がある．
質点には単位質量あたりF(t)の外力が働く．
d 2u
dt 2
= −T − mk
du
+ mF (t )
dt
ただしTはバネの力，すなわち
T＝λu/a(λはバネ定数)，
kは抵抗の測定単位をあらわす
定数である．
バネ質点系モデルの模式図
１質点系モデル（上下振動）
2

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