2014年度後期第6回

2014年度後期
第６回
前回は
座標変換（回転変換）
Euler 角を用いた回転変換
座標変換行列
１つの剛体の運動学
up：Σk座標系での剛体内の
位置座標
rp：剛体内点Pの慣性空間
位置座標
※
多体系の運動学
１剛体での座標変換を繰り
返していくことにより任意点
の位置座標が求まる
多体系の運動学
多体系の指定点（指先）の
速度ベクトルは，各物体の
位置ベクトルの時間微分の
総和として表される．
d
rn  r12  r23    r( n 1) n
dt
(1)
( 2)
( n 1)



 E1r12  E2 r23    E( n 1) r( n 1) n
(1)
( 2)
~
~
~
  E r   E r  
E
1
1 12
2
2 23
( n 1)
( n 1)
( n 1) ( n 1) n
r
多体系の運動学方程式
多体系の指定点（指先）の位置ベクトル，速度ベクトル
を状態変数（関節角度，関節角速度）として表した方程
式を「運動学方程式」という．
位置
速度
d
rn  r12  r23    r( n 1) n
dt
(1)
( 2)
( n 1)



 E1r12  E2 r23    E( n 1) r( n 1) n
~ E r (1)  
~ E r ( 2)    
~

E
1
1 12
2
2 23
( n 1)
( n 1)
r
( n 1) ( n 1) n
逆運動学方程式
多体系の指定点（指先）の位置ベクトル，速度ベクトル
が与えられたとき，状態変数（関節角度，関節角速度）
を求める計算式を「逆運動学方程式」といい，求める計
算を「逆運動学計算」という．
指先
位置
関節
角度
指先 d rn  r12  r23    r( n 1) n
速度 dt
関節
角速度
( 2)
 E1r12(1)  E 2 r23
   E ( n 1) r((nn11))n
~ E r (1)  
~ E r ( 2)    
~

E
1
1 12
2
2 23
( n 1)
( n 1)
r
( n 1) ( n 1) n
今回は
同次変換
位置ベクトルを拡張する
座標変換は、次のように
変形される
Hkを同次変換行列と呼ぶ
このような多関節ロボットの運動学も
定式化できる
ＤＨパラメータ
直列連鎖型リンク構造のロボットなどにおいて，運動学はＤＨ
表記法と呼ばれる記述法が用いられることがある．
関節 m-1 にΣm-1 座標系が，関節 m にΣm 座標系がそれぞ
れ設定されているとする．これらの座標系は，次の指針で設
定する．
１．回転する関節に座標系を設定する．
２．回転軸に沿って k ベクトルを設定する．
３．リンクの長手方向に沿って i ベクトルを設定する．
４． j ベクトルは用いない．
図については，次のように行っている．
【原点 Om-1 から原点 Om への２つの移動】
(1) km-1 に沿って dm だけ移動
(2) im-1 に沿って hm だけ移動
【２つの回転】
(1) im-1 まわりの回転 αm ：ベクトル km-1 がベクトル km にな
る
(2) km まわりの回転 φm ：ベクトル im-1 がベクトル im になる
ＤＨパラメータ表示の例
α
φ
d
h
Σ0 → Σ1
0
θ1
l1
0
Σ1 → Σ2
π/2
θ2
l2
0
Σ2 → Σ3
θ3
0
0
l3
Σ3 → Σ4
0
θ4
0
l4
Σ4 → Σ5
θ5
0
0
l5
Σ5 → Σ6
0
0
0
l6
逆運動学方程式
指先の位置ベクトル，速度ベクトルが与えられたとき，
状態変数（関節角度，関節角速度）を求める
指先の速度ベクトル
xe  xe1 , xe 2 , xe3 
T
運動学方程式
  1 ,2 ,,N 
xe  J
T
逆運動学計算


  J x
e
ただし，J

は J の疑似逆行列
ワークスペース（作業空間）
1 , 2 が任意に動かせるとき、手先
の座標（X,Y) がどのような範囲を
動くかを考える。
0  1  2 , 0   2  2
の条件の下で，(X,Y) の取り得る
範囲を求める
＝作業空間（Workspace）
l1  l2 のとき l1  l2  X 2  Y 2  l1  l2
l1  l2 のとき
0  X 2  Y 2  l1  l2
特異姿勢
運動学方程式
xe  J

  1 ,2 ,,N
逆運動学計算
1

  J xe としたいが、
det J  0 のとき、計算不能
det J  l1l2 sin 1   2  cos 1  cos1   2 sin 1
 l1l2 sin  2  0
 2  0, 
特異姿勢という

T
操作性
マニピュレータの設計や作業空間内での位置や姿勢の決定
に関しては、種々の要素の考慮が必要だが、その一つとして
、操作性がある。
T





運動学方程式 xe  J



,

,

,

1
2
N
1
T  2


    1

 

を満足するような関節速度  を用いて実現できる
手先速度 x e の全てからなる集合は楕円体となる
（操作性楕円体という）長軸方向には操作しやすく、
短軸方向には操作しにくい
 
T 
T T 











x
J xe   1
  J xe を用いて
e J
操作性楕円体
1
2
1
2
演習問題

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