応用可積分系研究部会パターン生成 CA の方程式による解析早稲田大学基幹理工学研究科数学応用数理専攻新田真奈美，高橋大輔セルオートマトン(CA)には，特徴的なパターンを示たが，進行波は見つからなかった．そこで，進行波をす解を持つものが数多く存在している．今回の研究でパターン上で持つ方程式の候補として，時間 2 階のは 2 次元 CA が生成する縞状の解に注目し，その生成項として𝑢𝑛−1 𝐶 を加えた時間 2 階空間 2 次元の束方程メカニズムを方程式の解の立場から解析し，更にパタ式𝑢𝑛+1 = ℎ(𝑢𝑛−1 , 𝑢𝑛𝐶 , 𝑢𝑛𝑊 , 𝑢𝑛𝐸 , 𝑢𝑆𝑛 , 𝑢𝑛𝑁 ) を新たな解析対 𝐶 𝐶 ーンを持つような方程式の探索を行なった．象とした．時間 1 階の 34 種類の方程式を時間 2 階に今回の研究では 2 次元格子上の縞状のパターンに着目し，十字型の近傍を持つ時間 1 階空間 2 次元の束方拡張し解析したところ，時間 1 階には存在しなかった進行波の存在を確認することが出来た．程式𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛𝐶 , 𝑢𝑛𝑊 , 𝑢𝑛𝐸 , 𝑢𝑆𝑛 , 𝑢𝑛𝑁 ) についてパターン生 𝐶 また，これまでの結果の拡張として，非対称な方程成のメカニズムを解析した．解析には曲線群の考え方式や，より複雑なパターンの存在条件についても考を利用し，2 次元の束方程式を 1 次元の束方程式にリ察を行った．ダクションするという手法を用いた．図2 複雑なパターンの例図 1 2 次元格子上の縞パターンの例非対称な方程式では対称な方程式と比べて接続パ 2 種類の基本的なパターンおよびそれらを接続したターンの無矛盾条件の詳細が変化することが確認さパターン 4 種類についてリダクションを行うと，接続れ，3 つ以上の基本パターンの組み合わせからなる複したパターンにおいて，近傍の配置によりいくつかの合パターンでは無矛盾条件はより複雑になり，元の領域が存在しそれらが異なる式にリダクションされ方程式に課される条件が多くなることがわかった．る場合があることがわかった．よって接続されたパタ特にパターンの境界領域が交差する場合には新たなーンが存在するためには，パターン上の全ての領域で近傍配置が出現することもあり，条件が非常に厳しく等価な式にリダクションされる必要がることがわかなることがわかった．った．そこで各パターンが存在するために元の方程式に必要となる条件を導いた．更にこれまでに得られた結果を用いて逆に空間 1 次元の束方程式から空間 2 次元のパターンを生成する手はじめに解析対象として時間 1 階空間 2 次元の束法についても一般化を行い，任意の ECA について曲線方程式を解析した．まず，方程式に回転・鏡映の対称番号と近傍の対応表を用いることで特定のパターンを生性を仮定し，34 種類の方程式を取り上げた．そして，成することが出来た．それぞれに対して，前述したパターンの無矛盾条件今後の課題として，今回の研究で方程式に課した制を調べることにより，その存在・非存在を判定した．限を取り払うことで、より多くのパターンを再現できる方程また存在が確認されたパターンについて，ブール束式を探索すること，また十字形以外の近傍や今回は取り上でどのような挙動を持つかを分析したところ解析上げなかった曲線配置についても研究の対象とすることした 34 種類の方程式には定値解や定在波は見つかっが挙げられる．