2014/9/3 Z n tm dt ≦ km ≦ Z n (t + 1) (2) f(x) lim 1 f(k) = 1 r + 1 1 n f(k

2014/9/3
【解答と解説】
B
（0 05 北海道大）
【難易度】 Ý S
f(x) は最高次の係数が 1 の整式とする．
Zn
Zn
n
P
(1) 自然数 n; m に対し，
tm dt 5
km 5
(t + 1)m dt を示せ．
0
0
k=1
(2) f(x) の次数を r とするとき，次が成り立つことを示せ．
1
lim
n!1
n
r+1
n
P
k=1
f(k) = r 1
+1
n
1 P
1
(3) すべての自然数 n に対して n
f(k) = 2 f(n) が成り立つような f(x) を求めよ．
k=1
【テーマ】
：定積分と不等式
Ð
S
]
(1) は，不等式を用いて証明する方法もあるし，面積の大小関係から証明する方法もあります．(2) は，(1) の結
果を用いてはさみうちの原理で証明します．(3) は，(2) の結果を用いて求めます．
g
q
|
Ä
D
(1) 【証明】
k を 1 以上の自然数とし，0 5 k ¡ 1 5 t 5 k を満たす t を考えると，0 5 t 5 k 5 t + 1 が成り立つ．各辺は
正であるから，
tm 5 km 5 (t + 1)m
が成り立つ．この不等式は k ¡ 1 5 t 5 k で常に成り立つので，各辺を積分すると，
Z
k
t dt 5
m
k¡1
Z
k
k dt 5
m
k¡1
Z
k
m
k¡1
(t + 1) dt
()
であり，k = 1; 2; 3; Ý; n として辺々加えると，
n
P
Z
k
k¡1
k=1
t dt 5
n
P
m
k=1
k 5
n
P
m
Z
k
m
k¡1
k=1
(t + 1) dt
()
Z
k
k¡1
Z
0
t dt 5 k 5
m
n
m
t dt 5
m
n
P
k
k¡1
k 5
m
k=1
Z
Z
0
(t + 1)m dt
n
(t + 1)m dt
（証明終）
となり，示された．
(2) 【証明】
f(x) = xr + g(x) (g(x) は r ¡ 1 次の整式) とおくと，
n
n
n
n
P
P
P
P
(kr + g(k)) =
f(k) =
kr +
g(k)
k=1
k=1
k=1
一方，(1) より，
Z
n
Z
k=1
n
n
1 (n + 1)r+1
1 n r+1 5 P
kr 5 r +
r+1
1
0
0
k=1
k=1
n
n
n
P
P
P
1
1
r+1
+
g(k) 5
f(k) 5 r + 1 (n + 1)r+1 +
g(k)
r+1n
tr dt 5
n
P
kr 5
k=1
n
P
1
1
r + 1 + n r+1
が成り立つ．
k=1
(t + 1)r dt
()
k=1
g(k) 5
k=1
1
n
r+1
r+1
n
P
1 #1 + 1 ;
f(k) 5 r +
1
n
k=1
+
1
n
r+1
n
P
k=1
g(k) ÝÝ 1
g(x) は r ¡ 1 次の整式であるから，g(x) = ar¡1 xr¡1 + ar¡2 xr¡2 + Ý + a1 x + a0 とおくと，
¡40¡
C 大学受験・数学塾管理人：makoto
2014/9/3
【解答と解説】
1
lim
n!1
n
r+1
n
P
g(k) = lim
n!1
k=1
1
n
r+1
n
P
k=1
(ar¡1 kr¡1 + ar¡2 kr¡2 + Ý + a1 k + a0 )
r¡1
r¡2
n
n
P
a
1 ¢ ar¡2 P
k;
#k;
#
= lim $ n1 ¢ r¡1
+
+Ý
n k=1 n
n k=1 n
n!1
n2
n
n
1 ¢ a1 P
k + 1 ¢ 1 P
<
Ý + r¡1
r
n k=1 n
n
n k=1 a0
n
Z
1
i
n
a P
#k; =
ここで，i = 0; 1; 2; Ý; r ¡ 1 として， lim i
ai xi dx であるから，これは定数である．
n!1 n k=1 n
0
したがって，
lim
1
n!1
n
r+1
r¡1
r¡2
n
n
P
a
1 ¢ ar¡2 P
#k;
#k;
g(k) = lim $ n1 ¢ r¡1
+
+Ý
2
n k=1 n
n k=1 n
n!1
n
k=1
n
n
1 ¢ a1 P
k + 1 ¢ 1 P
<
Ý + r¡1
r
n k=1 n
n
n k=1 a0
n
n
P
=0
r+1
1 #1 + 1 ;
r+1
n
n
P
f(k) = 1
r+1
k=1
となる．また，1 において， lim
n!1
lim
n!1
1
n r+1
1
= r+
1 であるから，はさみうちの原理より，
（証明終）
が示された．
n
P
1
1
f(k) = 2 f(n) の両辺を n r Ë 0 で割ると，
(3) f(x) の次数を r とする． n
k=1
n
1 P
1 f(n)
f(k) = 2n
r
r+1
n
k=1
となる．n ! 1 のとき，左辺は (2) より
1
r + 1 に収束し，右辺は f(x) の r 次の係数が 1 であることから，
1 に収束することがわかる．したがって，
2
1 = 1
() r = 1
r+1
2
となるので，f(x) = x + a とおくことができる．与えられた条件式は，すべての自然数 n に対して成り立つ
ので，n = 1 のときも成立するため，
1
1 P
1
1 k=1 f(k) = 2 f(1)
()
f(1) = 12 f(1)
()
f(1) = 0
を得る．ゆえに，f(1) = 1 + a であることから a = ¡1 を得る．逆にこのとき，
n
n
1 P
1 P
1 S1
1
1
f(k)
=
n k=1
n k=1(k ¡ 1) = n ¢ 2 n(n + 1) ¡ nk = 2 (n ¡ 1) = 2 f(n)
となり，与えられた条件式は，すべての自然数 n について成立するので，求める f(x) は，
f(x) = x ¡ 1ÝÝ(答)
}
~
q
(1) は，最初に不等式を作って証明しましたが，y = xm のグラフをかいて面積の大小関係から示すこともできま
す．(2) は，r ¡ 1 次以下の扱いをうまく処理する必要があります．n ! 1 とするとき，最高次の部分以外は 0 に
収束するということをきちんと説明する必要があります．解答では，区分求積法を用いて定積分を導き出し，それが
定数であることから 0 に収束することを示しています．(3) は，(2) の結果を用いることを考えます．f(x) が r 次
の整式という条件をあらかじめ述べておかなければ (2) の結果が適応できません．ここから次数を決定することに
なります．最後は，すべての自然数 n について成り立つなら n = 1 でも成り立つので，そこから定数項を決定しま
す．ただし，これはあくまで必要条件にすぎないので，十分性の証明をしなければいけないため，逆にすべての自然
数 n で成り立つことを確かめています．
¡41¡
C 大学受験・数学塾管理人：makoto

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