誘導表現と JACQUET 加群. Contents 1. Jacquet 関手 1 2. 幾何的補題

誘導表現と JACQUET 加群.
中村健太郎*
Abstract. 本稿では, まず, 誘導関手の随伴関手となる Jacquet 関手の (一般の
状況で成り立つ) 基本性質について解説する. 次に, 本稿以降 ([阿部], [佐藤]) で用
いられる幾何的補題 ([BeZe]2.12) と呼ばれる定理について解説する.
Contents
1. Jacquet 関手
2. 幾何的補題
2.1. Key lemmas on G-equivariant l-sheef
2.2. 幾何的補題
References
1
4
4
6
10
本稿では Hausdorﬀ 完全不連結局所コンパクト群のことを, l 群と呼ぶ. l 群 G に対
し, G の smooth 表現の圏を R(G) と記す. δG : ∫G → R×
(つま
+ を G のモジュラス指標
∫
り, 左普遍測度 µG を一つ固定したとき, 等号 G f (xg)µG (x) = δG (g) G f (x)µG (x)
で定義される指標) とする. G の閉部分群 H に対して, δG/H : H → R×
+ : h 7→
−1
δG (h)δH (h) と定める. l 群 N がコンパクト部分群による極限 (limit of compact
subgroups) とは, 任意のコンパクト部分集合 K0 ⊆ N に対して, K0 を含む N のコ
ンパクト部分群が存在することと定義する.
1. Jacquet 関手
G を l 群とする. G の閉部分群 Q で, Q の正規部分群 N と閉部分群 L があり,
Q = L ⋉ N (半直積) となっているものとする. さらに, N はコンパクト部分群の
極限であると仮定する. ψ : N → C× を連続指標で, 任意の n ∈ N , l ∈ Q に対し
て ψ(lnl−1 ) = ψ(n) を満たすものとする. N に関する仮定から ψ(N ) ⊆ C1 := {z ∈
C× ||z| = 1} である, 特に ψ(n) = ψ(n)−1 であることに注意.
G
以上の設定で, R(G) から R(L) への関手 rQ,ψ
: R(G) → R(L) を以下のように
定義する. π = (π, V ) を G の smooth 表現とする. まず, V の部分 C-ベクトル空間
V (N, ψ) を
V (N, ψ) := {π(n)v − ψ(n)v|n ∈ N, v ∈ V }C
*北海道大学理学研究院数学部門. e-mail:[email protected]
1
と定義する (ここで, 部分集合 S ⊆ V に対し, SC を S で生成される V の部分 C-ベ
クトル空間と記す). l ∈ Q に対して, ψ(n) = ψ(lnl−1 ) なので等号
π(l)(π(n)v − ψ(n)v) = π(lnl−1 )(π(l)v) − ψ(lnl−1 )(π(l)v)
が成り立つ. 特に, V (N, ψ) は Q の作用で閉じている. VQ,ψ := V /V (N, ψ) とし, 自
然な商写像を jQ,ψ : V → VQ,ψ と記す.
Definition 1.1. R(G) から R(L) への関手
G
G
(π) = (πQ,ψ , VQ,ψ )
: R(G) → R(L) : π = (π, V ) 7→ rQ,ψ
rQ,ψ
を
1/2
πQ,ψ (l) · jQ,ψ (v) := δG/Q (l) · jQ,ψ (π(l) · v)
G
G
を Jacquet 関手, rQ,ψ
(π) を π の
(l ∈ L, v ∈ V ) と定める. 本稿では, 関手 rQ,ψ
Jacquet 加群 (または, (Q = L ⋉ N, ψ) を明らかにしたいときは, (Q = L ⋉ N, ψ)
に関する Jacquet 加群) と呼ぶ.
本稿では, Jacquet 加群について一般的な状況で (つまり, 一般の l 群 G に対して)
成り立つ基本性質に関するいくつかの命題を紹介する.
まずは, Jacquet 関手の合成に関する命題を紹介する. l 群 G, Q = L ⋉ N , 指標 ψ
を上と同様とする. R = M ⋉ U を L の閉部分群, U はコンパクト部分群の極限と
し, χ : U → C× を χ(mum−1 ) = χ(u) (u ∈ R, u ∈ U ) を満たす指標とする. これか
ら, 関手
L
rR,χ
: R(L) → R(M )
を定義することが出来る. さらに, R と N で生成される部分群 RN = (M ⋉U )⋉N =
M ⋉ (U ⋉ N ) を考えると, U ⋉ N はコンパクト部分群の極限となり, 写像
χ ⊠ ψ : U ⋉ N → C× : (u, n) 7→ χ(u) · ψ(n)
を定義すれば, 条件 ψ(lnl−1 ) = ψ(n) (l ∈ L, n ∈ N ) より, この写像は指標となる.
よって, 関手
G
rRN,χ⊠ψ
: R(G) → R(M )
を定義することが出来る.
Proposition 1.2. 上の状況で, R(G) から R(M ) への関手の自然な同型
∼
L
G
G
rRN,χ⊠ψ
→ rR,χ
◦ rQ,ψ
が存在する.
Proof. π = (π, V ) ∈ R(G) に対して, 写像
VRN,χ⊠ψ → (VQ,ψ )R,χ : jRN,χ⊠ψ (v) 7→ jR,χ (jQ,ψ (v))
が well-defined で, M の表現として同型となることを示せばよい. これは定義から
容易に従う.
□
2
l 群 N の smooth 表現 π = (π, V ) と指標 ψ : N → C× に対して, 同様に C ベクト
ル空間 V (N, ψ) = {π(n) · v − ψ(n) · v|n ∈ N, v ∈ V }C と定義する.
Lemma 1.3. N はコンパクト群の極限とする. このとき, v ∈ V に関して次の条
件は同値.
(i) v ∈ V (N, ψ).
(ii) ある N のコンパクト部分群 K が存在して,
∫
ψ(n) · π(n) · v · dK (n) = 0
K
となる (ここで, ψ(n) は ψ(n) の複素共役, ψ(n) ∈ C× より ψ(n) = ψ(n)−1
となっている).
Proof. まず, N の表現 π⊗ψ −1 := (π⊗ψ −1 , V ⊗ψ −1 ) を, V ⊗ψ −1 := V , (π⊗ψ −1 )(n)·
v := ψ −1 (n) · π(n) · v (n ∈ N, v ∈ V ) と定義すると, V (N, ψ) = (V ⊗ ψ −1 )(N, 1)
(ここで, 1 : N → C× は自明な指標) となるので, ψ = 1 の場合を示せばよい.
そこで以下, ψ = 1 とする. N の任意のコンパクト部分群 K に対して,
V (K) := {π(k)v − v|k ∈ K, v ∈ V }C
と定義すると, N がコンパクト部分群の極限であるという仮定により, 等式
V (N, 1) = ∪K⊆N V (K)
(ここで, K は N のコンパクト部分群全体を動く) が成り立つ. この等式と等式
∫
V (K) = {v ∈ V |
π(k)vdK (k) = 0}C
K
([高瀬]) から補題が従う.
□
G
Proposition 1.4. 関手 rQ,ψ
: R(G) → R(M ) は完全関手である.
G
Proof. rQ,ψ
の定義と蛇の補題 (snake lemma) により, 関手 π = (π, V ) 7→ V (N, ψ)
が完全であることを示せばよい. この完全性は前補題から容易に従う.
□
次に, Jacquet 関手と誘導表現との関係について解説する. π = (π, V ) ∈ R(L) に
対して, Q = L⋉N の表現 π ⊠ψ = (π ⊠ψ, V ) を (π ⊠ψ)(l, n)·v := ψ(n)π(l)v によっ
て定義する (条件 ψ(lnl−1 ) = ψ(n) よりこれは Q の表現となる). π = (π, V ) ∈ R(Q)
と指標 δ : Q → C× に対して, δ · π := (δ · π, V ) ∈ R(Q) を (δ · π)(l)v := δ(l)π(l)v
と定義する.
Definition 1.5. R(L) から R(G) への二つの関手
G
IQ,ψ
, ιG
Q,ψ : R(G) → R(L)
を, π ∈ R(L) に対して,
−1/2
−1/2
G
G
G
(π) := IndG
IQ,ψ
Q (δG/Q · π ⊠ ψ), ιQ,ψ (π) := indQ (δG/Q · π ⊠ ψ)
3
を対応させる関手と定義する.
G
G
Proposition 1.6. 関手 rQ,ψ
は関手 IQ,ψ
の左随伴関手である. つまり, 任意の
π = (π, V ) ∈ R(G), τ = (τ, W ) ∈ R(L) に対して, 関手的な同型
∼
G
G
HomG (π, IQ,ψ
(τ )) → HomL (rQ,ψ
(π), τ )
が存在する.
G
G
→τを
(τ ) に対して, L-加群の射 Fφ : rQ,ψ
Proof. G-加群の射 φ : π → IQ,ψ
Fφ (jQ,ψ (v)) := φ(v)(eG ) (v ∈ V )
と定義すれば (ここで, eG ∈ G は G の単位元), この射が well-defined であり, 同型
∼
G
G
(π), τ ) を与えることを容易に示すことが出来る.
HomG (π, IQ,ψ
(τ )) → HomL (rQ,ψ
□
2. 幾何的補題
G を l 群とする. 前章では G の閉部分群 Q = L ⋉ N と指標 ψ : N → C× で前章
G
の仮定を満たす組 (Q, ψ) に対して Jacquet 関手 rQ,ψ
を定義した. この章では, 同じ
仮定を満たす G の閉部分群 R = M ⋉ U と指標 χ : U → C× の組 (R, χ) がもう一
組あったときに, 合成関手 (誘導関手をとってから Jacquet 関手をとったもの)
G
rQ,ψ
ιG
M,χ
R(M ) −−→ R(G) −−→ R(L)
を逆の順序の合成関手 (Jacquet 関手をとってから誘導関手をとったもの) によって
具体的に記述する幾何的補題 (geometric lemma [BeZe] 2.12) と呼ばれる定理 (補
題?) を紹介する. この定理は, [阿部], [佐藤] の稿で用いられる重要な定理であるが,
定理の証明の議論 ([高瀬] で解説している l 層の理論を用いる) は本稿以降の内容と
はあまり関係ないように思われる. そこで, 初見の読者は, 証明を飛ばして定理の
主張を理解するのみにとどめて, [阿部], [佐藤] の稿で実際にこの定理がどのような
状況で用いられているかを理解した後に (証明が気になる人がいれば) 証明の部分
を読む, という風にした方が理解がスムースに得られるようになると思われる.
2.1. Key lemmas on G-equivariant l-sheef. 幾何的補題の証明では, [高瀬] で
解説している l-層の理論が必要となる. まず, この §2.1 では, 幾何的補題の証明で
用いる l-層に関するいくつかの補題を紹介する.
∞
X を l 空間 (完全不連結局所コンパクト Hausdorﬀ 空間) とし, CX
を X 上の複
∞
素数値 smooth 関数のなす C-代数の層とする. X 上の l-層とは CX -加群のことで
あった. X 上の l-層 L に対して, X 上コンパクト台を持つ切断のなす部分空間を
Γc (X, L) := {s ∈ Γ(X, L)|supp(s) : compact}
とおいたとき, 対応 L 7→ Γc (X, L) は, X 上の l-層の圏から Cc∞ (X) · L = L となる
Cc∞ (X)-加群 L たちからなる圏への圏同値を与えていた.
h : Y → X を l 空間の間の射, L を Y 上の l-層とする. このとき, Cc∞ (Y )-加群
Γc (Y, L) は C ∞ (Y )-加群でもあるが, h により誘導される環準同型 h∗ : Cc∞ (X) →
C ∞ (Y ) を用いて (h が固有射, つまり X の任意のコンパクト部分集合 K に対して
4
h−1 (K) がコンパクトという性質を持たない場合は, h∗ (Cc∞ (X)) ⊆ Cc∞ (Y ) となら
ないことに注意), Γc (Y, L) に Cc∞ (X)-加群の構造を
f · s := h∗ (f ) · s
(f ∈ Cc∞ (X), s ∈ Γc (Y, L)) によって定義する. これは, Cc∞ (X)·Γc (Y, L) = Γc (Y, L)
を満たすことが容易に分かる. そこで, 前段の圏同値により対応する X 上の l-層が
存在するが, 本稿ではそれを記号で h! L と表す (つまり, h! L は Cc∞ (X)-加群として
Γc (X, h! L) = Γc (Y, L) となる唯一の X 上の l-層). h が固有射の場合は h! L = h∗ L
となる.
Y ⊆ X を l 空間 X の開集合, Z := X \ Y とし, 自然な埋め込みを j : Y ,→ X, i :
Z ,→ X と記す. X 上の l-層 L に対して Cc∞ (X)-加群の自然な完全列
0 → Γc (Y, j ∗ L) → Γc (X, L) → Γc (Z, i∗ L) → 0
が存在するが, これより対応する X 上の l-層の完全列
0 → j! j ∗ L → L → i∗ i∗ L → 0
を得る.
N を l 群でコンパクト群の極限となるもの, ψ : N → C× を smooth 指標. X を l
空間とし, X への N の連続作用 X × N → X : (x, n) 7→ x · n が与えられていると
する. L を X 上の N -同変 l-層とする.
以上の状況で, 次の二つの Key lemma を紹介する.
まず, f : X → Y を l-空間の間の射で, 任意の n ∈ N, x ∈ X に対して f (x · n) =
f (x) を満たすものとする. このとき, Cc∞ (Y )-加群かつ smooth N -加群である
Γc (X, L) の部分空間 Γc (X, L)(N, ψ) と商空間 Γc (X, L)N,ψ := Γc (X, L)/Γc (X, L)(N, ψ)
も Cc∞ (Y )-加群となる. そこで, Cc∞ (Y )-加群 Γc (X, L)(N, ψ) と Γc (X, L)N,ψ に対応
する Y 上の l-層をそれぞれ L(N, ψ), LN,ψ と記す. 最初の Key lemma は, l-層 LN,ψ
の茎に関するものである.
Lemma 2.1. 各 y ∈ Y に対して, 自然な同型
∼
(LN,ψ )y → Γc (h−1 (y), L|h−1 (y) )N,ψ
が存在する.
Proof. 茎を取る関手は完全なので, Cc∞ (Y )-加群の完全列
0 → Γc (X, L)(N, ψ) → Γc (X, L) → Γc (X, L)N,ψ → 0
により, 完全列
0 → (L(N, ψ))y → (h! L)y → (LN,ψ )y → 0
∼
を得る. l-層の一般論により, 自然な同型 (h! L)y → Γ(h−1 (y), L|h−1 (y) ) が存在する
が, この同型による同一視により (L(N, ψ))y = Γ(h−1 (y), L|h−1 (y) )(N, ψ) であるこ
とも容易に分かる. これより補題は従う.
□
5
次に, N が X へ推移的に作用している場合に, Γc (X, L)N,ψ に関する補題を紹介
する. x ∈ X に対して, Nx := {n ∈ N |x · n = x} とする. x での茎 Lx は smooth
Nx -加群となることに注意.
Lemma 2.2. N の X への作用が推移的とする. このとき, 各 x ∈ X に対して, (R×
+
倍を除いて自然な) 同型
∼
Γc (X, L)N,ψ → (Lx )Nx ,ψ
が存在する.
Proof. 自然な商写像を jNx ,ψ : Lx → (Lx )Nx ,ψ と記す. N の L への作用は, 各 n ∈ N ,
x′ ∈ X に対して同型
∼
Lx′ ·n → Lx′ : a 7→ n · a
を誘導する. この記号を用いて, まずは, Γc (X, L) から (Lx )Nx ,ψ への射を
∫
Γc (X, L) → (Lx )Nx ,ψ : φ 7→
ψ(n) · jNx ψ (n · φ(x · n))dNx \N (¯
n)
Nx \N
と定義する (ここで, n ∈ N は Nx \ N ∋ n
¯ の任意の持ち上げとする. 被積分関数
に現れている関数 N → C : n
¯ 7→ ψ(n) · jNx ψ (n · φ(x · n)) は, 各 n0 ∈ Nx に対し
て, 等式 ψ(n0 n) · jNx ψ (n0 n · φ(x · n0 n)) = ψ(n0 )ψ(n)(ψ(n0 )jNx ,ψ (n · φ(x · n))) =
ψ(n)jNx ,ψ (n · φ(x · n)) が成り立つので, Nx \ N 上の関数であることに注意). この
射は, Γc (X, L)(N, ψ) 上ゼロで, 同型
∼
Γc (X, L)N,ψ → (Lx )Nx ,ψ
を誘導する (詳細は略, 証明は難しくない).
□
2.2. 幾何的補題. l 群 G の二つの閉部分群 Q = L ⋉ N , R = M ⋉ U と, Q 及び R
の共役作用でそれぞれ不変な指標 ψ : N → C× , χ : U → C× を考える. N, U はコ
ンパクト群の極限とする.
g ∈ G と G の閉部分群 H に対して, g H := gHg −1 , H g := g −1 Hg と記し, π =
(π, V ) ∈ R(H) に対して, g π := (g π, V ) ∈ R(g H) を g π(h)v := π(g −1 hg)v (h ∈
g
H, v ∈ V ) と定義する. π g ∈ R(H g ) も同様に定義.
本節では, 次の仮定 (1), (2), (3) の下で合成関手
ιG
R,ψ
G
rQ,ψ
R(M ) −−→ R(G) −−→ R(L)
を記述する幾何的補題を紹介する.
(1) 両側剰余類の集合 R\G/Q は有限集合, つまり, ある r ∈ Z≧1 , {g1 , g2 , · · · gr } ⊆
G が存在し,
G = ⊔ri=1 Rgi−1 Q
と書ける (以下, このような {g1 , g2 , · · · gr } を固定する).
6
(2) 各 1 ≦ i ≦ r, H = R, M, U に対して,
gi
H ∩ Q = (gi H ∩ L) ⋉ (gi H ∩ U )
が成立する. 同様に, H = Q, L, N に対して,
H gi ∩ R = (H gi ∩ M ) ⋉ (H gi ∩ U )
が成立する (これらはそれぞれ, H ∩ Qgi = (H ∩ Lgi ) ⋉ (H ∩ U gi ), H ∩ gi R =
(H ∩ gi M ) ⋉ (H ∩ gi U ) と同値である).
(3) 共通部分で ψ と χ の共役は等しい. つまり, 各 1 ≦ i ≦ r に対して,
gi
χ|gi U ∩N = ψ|gi U ∩N
が成り立つ.
仮定 (2) によって, L の閉部分群 L ∩ gi R = (L ∩ gi M ) ⋉ (L ∩ gi U ) と指標 gi χ :
L ∩ gi U → C× に対して, 関手
ιLL∩gi R,gi χ : R(L ∩ gi M ) → R(L)
が定義できる. 同様に M の閉部分群 M ∩ Qgi = (M ∩ Lgi ) ⋉ (M ∩ N gi ) と指標
ψ gi : M ∩ N gi → C× により関手
gi
M
rM
∩Qgi ,ψ gi : R(M ) → R(M ∩ L )
を得る.
ιG
R,ψ
G
rQ,ψ
以上の準備の下, 合成関手 R(M ) −−→ R(G) −−→ R(L) に関する次の定理を紹
介する.
Theorem 2.3. (幾何的補題 [BeZe]2.12)
(1) {gi }ri=1 の番号付けを適当に変えることで, 各 1 ≦ j ≦ r に対して,
⊔ji=1 Rgi−1 Q
が G の開集合となるようにできる.
G
(2) ((1) を満たす番号付けを固定したとき) π ∈ R(M ) に関して関手的な, rQ,ψ
◦
G
ιR,χ (π) の部分 smooth L 加群によるフィルトレイション
G
0 =: F0 (π) ⊆ F1 (π) ⊆ F2 (π) ⊆ · · · ⊆ Fr (π) := rQ,ψ
◦ ιG
R,χ (π)
で, 各 1 ≦ i ≦ r に対して,
∼
1/2
1/2
M
gri F• (π)(:= Fi (π)/Fi−1 (π)) → ιLgi R∩L,gi χ (δN/(gi M ∩N ) · gi (δU/(U ∩Lgi ) · rM
∩Qgi ,ψ gi (π)))
となる (つまり, 関手 gri F• : R(M ) → R(L) は合成関手
1/2
M
δU/(U ∩Lgi ) ·rM
∩Qgi ,ψ gi
1/2
δN/(gi M ∩N ) ·gi (−)
ιL
gi R∩L,gi χ
R(L) −−−−−−−−−−−−−→ R(M ∩ L ) −−−−−−−−−−→ R(gi M ∩ L) −−−−−−→ R(L)
gi
と同型である) ものが存在する.
7
Proof. まず (1) の証明について. l 空間の一般論により, 「l 空間 X に l 群 H が連続
に（左から）作用していて剰余類の集合は有限 X = ⊔ri=1 H · xi となるとき, ある i
が存在して Hxi が X の開集合となる」ことが知られている. この事実を, X = G,
H = R × Q, H の X への作用を (m, l) · g := mgl−1 (m ∈ R, l ∈ Q, g ∈ G) とした
場合へ適用することで, Rgi−1 Q は G の開集合となる gi を選ぶことが出来る. 番号
付けを変えて gi = g1 とする. 次に, X ′ = ⊔ri=2 Rgi−1 Q , H = R × Q に上の事実を適
用することで, (番号付けを変えて) Rg2−1 Q が ⊔ri=2 Rgi−1 Q の開集合とできる. この
とき, 補集合 ⊔ri=3 Rgi−1 Q は ⊔ri=2 Rgi−1 Q の閉集合で, さらに, ⊔ri=2 Rgi−1 Q は G の閉
集合なので, ⊔ri=3 Rgi−1 Q も G の閉集合, よって ⊔2i=1 Rgi−1 Q は G の開集合となる.
以下, 帰納的にこの議論を繰り返すことで (1) の主張を得る.
次に (2) を証明する. まず, l-層と誘導表現の関係 ([高瀬]) により, (π ∈ R(M ) に
G −1/2
対して) ιG
R,χ (π) = indR (δG/R · π ⊠ χ) に対して, R \ G 上の G 同変 l-層 L で, R-加
群として
∼ −1/2
L[R] → δG/R · π ⊠ χ
で (ここで, g ∈ G に対して (R \ G ∋)[Rg] を g の定める剰余類とする), G-加群と
して
∼
Γc (R \ G, L) → ιG
R,χ (π)
となるものが存在する. ここで (1) の空間の分割を用いて, Γc (R \ G, L) のフィル
トレイション
−1
0 ⊆ Γc (R\Rg1−1 Q, L) ⊆ Γc (R\⊔2i=1 Rgi−1 Q, L) ⊆ · · · ⊆ Γc (R\⊔r−1
i=1 Rgi Q, L) ⊆ Γc (R\G, L)
を得る. ここで, R\⊔ji=1 Rgi−1 Q は Q の作用で閉じているので, このフィルトレイショ
G
ンは部分 smooth Q 加群によるものである. これに完全関手 rQ,ψ
: R(Q) → R(L)
j
−1
G
G
G
を施し, Fj (π) := rQ,ψ (Γc (R \ ⊔i=1 Rgi Q, L) とおけば, rQ,ψ ◦ ιR,χ (π) の部分 L 加群
によるフィルトレイション
G
0 =: F0 (π) ⊆ F1 (π) ⊆ · · · ⊆ Fr (π) := rQ,ψ
◦ ιG
R,χ (π)
を得る. 構成により, この定義は明らかに π に関して関手的である. よって, あと
はこのフィルトレイションの次数 i 成分が (2) の条件を満たすことを示せばよい.
G
まず, Γc (−, L) の性質と rQ,ψ
の完全性により, smooth L-加群としての同型
∼
G
gri F• (π) → rQ,ψ
(Γc (R \ Rgi−1 Q, L))
を得る. よってあとは, smooth L 加群の同型
∼
M
G
(Γc (R \ Rgi−1 Q, L)) → ιLgi R∩L,gi χ (δN/(gi M ∩N ) · gi (δU/(U ∩Lgi ) · rM
rQ,ψ
∩Qgi ,ψ gi (π)))
1/2
1/2
を示せばよい.
ここでは, 簡単のため両辺の表現空間が同型となることのみを示す (L 加群とし
て同型となることも, この証明から容易に分かる).
まず, 左辺の表現空間は Γc (R \ Rgi−1 Q, L)N,ψ である. 両辺の Q-作用と両立する
位相同型
∼
(gi R ∩ Q) \ Q → R \ Rgi−1 Q : [(gi R ∩ Q)g] 7→ [Qgi−1 g]
8
から同型
∼
Γc (R \ Rgi−1 Q, L)N,ψ → Γc ((gi R ∩ Q) \ Q, L)N,ψ
を得る. ここで, 自然な射影
(gi R ∩ Q) \ Q → (gi R ∩ Q) \ Q/N
と L-作用と両立する位相同型
(gi R ∩ Q) \ Q/N = (gi R ∩ Q)N \ Q = ((gi R ∩ L) ⋉ (gi R ∩ N ))N \ (L ⋉ N )
∼
= ((gi R ∩ L) ⋉ N ) \ (L ⋉ N ) → (gi R ∩ L) \ L
(ここで, 最後の同相写像は [((gi R ∩ L) ⋉ N )(l, n)] 7→ [(gi R ∩ L)l] で定義されるも
のとする) の合成を
hi : (gi R ∩ Q) \ Q → (gi R ∩ L) \ L
とおき, Li := L|(gi R∩Q)\Q とすると, Lemma 2.1 の前段の記号を用いて
Γc (R \ Rgi−1 Q, L)N,ψ = Γc ((gi R ∩ L) \ L, (Li )N,ψ )
となる. (Li )N,ψ は等質空間 (gi R ∩ L) \ L 上の L 同変 l-層なので, 高瀬氏の稿より,
L 加群としての同型
∼
Γc ((gi R ∩ L) \ L, (Li )N,ψ ) → indL(gi R∩L) (((Li )N,ψ )[gi R∩L] )
が存在する. ここで, hi は Lemma 2.1 の条件を満たすので, Lemma 2.1 より同型
∼
gi
((Li )N,ψ )[gi R∩L] → Γc (h−1
)N,ψ
gi
i ([ R ∩ L]), Li |h−1
i ( R∩L)
gi
gi
gi
が存在する. h−1
i ( R ∩ L) = ( R ∩ L) \ ( R ∩ L) ⋉ N であり, これは上の位相同
∼
−1
型 (gi R ∩ Q) \ Q → R \ Rgi Q で移すと R \ Rgi−1 N である. よって, 同型
∼
((Li )N,ψ )[gi R∩L] → Γc (R \ gi−1 N, L|R\Rgi−1 N )N,ψ
を得る. N は R \ Rgi−1 N に推移的に作用していて, 点 [Rgi−1 ] での固定化部分群は
gi
R ∩ N であるから, Lemma 2.2 より同型
∼
Γc (R \ gi−1 N, L|R\Rgi−1 N )N,ψ → (L[Rgi−1 ] )gi R∩N,ψ
を得る. また,
gi
R-加群の同型
∼
∼
−1/2
L[Rgi−1 ] → gi (L[R] ) → gi (δG/R · π ⊠ χ)
がある. 以上の同型を合わせて, L-加群の同型
∼
−1/2
G
(Γc (R \ Rgi−1 Q, L)) → δG/Q · indLgi R∩L (gi (δG/R · π ⊠ χ)gi R∩N,ψ )
rQ,ψ
1/2
1/2
1/2
gi
M
を得る. 最後に, この右辺は ιL
gi R∩L,gi χ (δ
N/(gi M ∩N ) · (δU/(U ∩Lgi ) · rM ∩Qgi ,ψ gi (π))) と
同型になることが容易にチェックでき, 定理の証明が終わる.
□
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References
[BeZe] I.N.Bernstein and A.V.Zelevinsky, Induced representations of reductive p-adic groups. I,
´
Ann. Sci. Ecole
Norm. Sup. (4) 10 (1977), no. 4, 441-472.
[阿部] 阿部紀行, ミラボリック部分群の表現論と誘導表現の既約性・可約性, 本報告集.
[高瀬] 高瀬幸一, 完全非連結群の基礎, 本報告集.
[佐藤] 佐藤信夫, GLn (F ) の放物型誘導表現, 本報告集.
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