ど う ? 等 比 関 数列型の漸化式の解法の威力 が 十 分 に 分 か っ た だ ろ う ?
ン ? でも，もっと他の漸化式にも使えないのかって ? この解法パターン
は実は様々な漸化式の解法に利用できる。
た い しょう け い
そ れ で は ， こ こ で も う 1 つ，対 称 形 の連立の 漸 化 式 の 解 法 に つ い て も
解説 し て お こ う 。
● 対称形の連立の漸化式にもチャレンジしてみよう !
連立方程式では，2 つの未知数 x と y を求めたように，連立の漸化式では，
2 つの数列 { a n } と { b n } の 関 係 式 に な っ て い る ん だ ね。 エ ッ ! 急 に ハ ー ド
ルが高くなって，難しそうだって !? 確かに，レベルは少し上がるけれど，
この解法も，等比関数列型の 漸 化 式 の 考 え 方 を 使 え ば，シンプルに解ける
ので，そんなに心配する必要はないよ。
たい しょう けい
それではここで，対 称 形 の連立の漸化式と極限の問題を，例題を使って，
具体 的 に 紹 介 し よ う。
188
2 つの数列 { a n } と { b n } が次の連立の漸化式で定義 さ れ る と き ，この 2 つの
bn
数列の一般項 a n と b n を求め，極限 ln i m an を求めてみよう。
→∞
a1 ＝ 4，b1 ＝ 2
{
a n ＋ 1 ＝ 4a n ＋ 2b n ……①
b n ＋ 1 ＝ 2a n ＋ 4b n ……② ( n ＝ 1 ，2 ，3 ，… )
式
と
曲
線
･ n ＝ 1 のとき，① より， a 2 ＝ 4a 1 ＋ 2b 1 ＝ 16 ＋ 4 ＝ 20
4
2
② より， b 2 ＝ 2a 1 ＋ 4b 1 ＝ 8 ＋ 8 ＝ 16
4
2
･ n ＝ 2 のとき，① より， a 3 ＝ 4a 2 ＋ 2b 2 ＝ 80 ＋ 32 ＝ 112
16
20
② より， b 3 ＝ 2a 2 ＋ 4b 2 ＝ 40 ＋ 64 ＝ 104
16
20
……………………………………………………………………
講義
関
数
こ の よ う に， 連 立 の 漸 化 式 で も，順次， a 1 ，a 2 ，a 3 ，…， b 1 ，b 2 ，b 3 ，…の
値を求めていけるんだね。そして，この 連 立 の 漸 化 式の中でも， ①の a n の
係数と ②の b n の係数が 4 で等しく，かつ ①の b n の係数と ②の a n の係数が 2 で
等しい も の ，
{
右辺の 係数が，対角線上
に a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ qb n の形の
すなわ ち
p 同士， q 同士等しいも の
b n ＋ 1 ＝ qa n ＋ pb n
4
4
4
4
ものを 特 に ， 対 称 形 の 連立漸化式 というんだね。
そして，この対称形の連立 漸 化 式であれば，一般項を求めることは，
簡単な ん だ よ 。 す な わち， ① ＋ ②と ① − ②を求め れ ば ， す ぐ に 等 比 関 数 列
型の漸 化 式 に も ち 込 めるからなんだね。早速やっ て み よ う 。
① ＋ ② よ り a n ＋ 1 ＋ b n ＋ 1 ＝ 6a n ＋ 6b n
a n ＋ 1 ＋ b n ＋ 1 ＝ 6 ( a n ＋ b n )
[ F ( n ＋ 1 ) ＝ 6 ･ F ( n )
]
① − ② よ り a n ＋ 1 − b n ＋ 1 ＝ 2a n − 2b n
a n ＋ 1 − b n ＋ 1 ＝ 2 ( a n − b n )
[ G ( n ＋ 1 ) ＝ 2 ･ G ( n )
]
1
2
3
4
複
素
数
平
面
F ( n ) ＝ a n ＋ b n と お く と， F ( n ＋ 1 ) は
F(n) の n の 代 わ り に n ＋ 1 を 代 入 し
た も の な の で F(n ＋ 1) ＝an ＋ 1 ＋ bn ＋ 1
となるんだね。
G ( n ) ＝ a n − b n と お く と， G ( n ＋ 1 ) は
G(n) の n の 代 わ り に n ＋ 1 を 代 入 し
た も の な の で G(n ＋ 1) ＝an ＋ 1 − bn ＋ 1
となるんだね。
189
講義
数
列
の
極
限
① ＋ ② と ① − ② か ら， 2 つの等比関数列型
の漸 化 式 が 出 て き たので，後はアッという
{
間に解くことができるんだね。
{
a1 ＝ 4，b1 ＝ 2
a n ＋ 1 ＝ 4a n ＋ 2b n …… ①
b n ＋ 1 ＝ 2a n ＋ 4b n …… ②
a n ＋ 1 ＋ b n ＋ 1 ＝ 6 ( a n ＋ b n)
[ F(n ＋ 1) ＝6･F(n)
]
a n ＋ 1 − b n ＋ 1 ＝ 2 ( a n − b n)
[ G(n ＋ 1) ＝2･G(n)
2
4
{
アッと
]
n−1
an ＋ bn ＝( a1 ＋ b1 )･6
[ F(n) ＝
F(1)
･6
n−1
]
いう間 !
2
4
n−1
an − bn ＝( a1 − b1 )･2
[ G(n) ＝
G(1)
･2
n−1
]
よって， a 1 ＝ 4 ， b 1 ＝ 2 を代入すると，
{
a n ＋ b n ＝ 6 ･ 6 n − 1 ＝ 6 n ……③
a n − b n ＝ 2 ･ 2 n − 1 ＝ 2 n ……④
1
( ③ ＋ ④ ) より， a n ＝
2
1
( ③ − ④ ) より， b n ＝
2
∴
1
( 6 n ＋ 2 n)
2
1
( 6 n − 2 n ) ( n ＝ 1 ，2 ，3 ，… )
2
となって，一般項 a n と b n が求まる。
よって，求める極限は，
1
( 6 n − 2 n)
6n − 2n
bn
2
lim
l
i
m
l
i
m
＝
＝
n →∞ an
n →∞
n →∞ 6 n ＋ 2 n
1
( 6 n ＋ 2 n)
2
1−
＝ lim
n →∞
1＋
2n
6n
2n
6n
[
分子･分母を
6 n で割った ＝ ln i→m
∞
＝
∞−∞
の不定形
∞＋∞
1−
( )
( 31 )
1
3
0
n
＝
n
1＋
0
190
]
1
＝1 となる。
1
どう ? 初め難しく思えた対称形の連立の漸化式と極限の問題も，意外
とアッサリ解けて驚いたって !? そうだね，数学って体系立てて学習す
れば実 力 を 次 々 に 伸 ばしていくことも可能なんだ ね 。
では も う 1 題 ， 例 題を解いておこう。
2 つの数 列 { a n } ， { b n } が次のように定義されると き ， 一 般 項 a n と b n を 求 め
て，極 限 ln i m a n と ln i m b n を求めてみよう。
→∞
{
→∞
2
a1 ＝ ，b1 ＝
3
2
an＋1 ＝ an ＋
3
1
3
1
b …… ア
3 n
ア ，イ の 右 辺 の 係 数 が ， 対 角 線 上 に 等 し
いので，これは対称 形 の 連 立 漸 化 式 だ 。
関
数
ア ＋ イ より， a n ＋ 1 ＋ b n ＋ 1 ＝ 1 ･ a n ＋ 1 ･ b n
∴ a n ＋ 1 ＋ b n ＋ 1 ＝ 1 ･ ( a n ＋ b n ) [ F ( n ＋ 1 ) ＝ 1 ･ F ( n ) ]
1
1
a − b
3 n 3 n
アッと
1
1
∴ a n ＋ 1 − b n ＋ 1 ＝ ( a n − b n ) G ( n ＋ 1 ) ＝ ･ G ( n )
3
3
より， a n ＋ 1 − b n ＋ 1 ＝
[
]
これか ら ，次 の よ う に 変形できる。
2
3
{
an ＋ bn ＝( a1
b 1 ) ･ 1 n − 1 [ F ( n ) ＝ F ( 1 ) ･ 1 n − 1 ]
2
3
an − bn ＝( a1
以上の 結 果 に a 1 ＝
{
1
3
＋
1
3
−
b1 )･
いう間 !
( )
1
3
n−1
[
G ( n ) ＝ G ( 1 )･
( ) ]
1
3
n−1
2
1
， b 1 ＝ を代入すると，
3
3
a n ＋ b n ＝ 1 ･ 1 n − 1 ＝ 1 ……………… ウ
an − bn ＝
ウ＋エ
2
ウ−エ
2
( )
1
1
･
3
3
より，an ＝
より，bn ＝
( 31 ) ……
1
1
1 ( ) }
2{
3
1
1
1 ( ) }
2{
3
n−1
式
と
曲
線
講義
1
2
b n ＋ 1 ＝ a n ＋ b n …… イ ( n ＝ 1 ，2 ，3 ，… )
3
3
ア − イ
1
2
3
4
複
素
数
平
面
n
＝
エ
となる。よ っ て ，
n
＋
n
−
191
講義
数
列
の
極
限
∴一 般 項 a n ＝
{ ( 31 ) } ， b
n
1
1＋
2
n＝
{ ( 13 ) } ( n
1
1−
2
n
＝ 1 ，2 ，3 ，… )
が求 ま っ た の で ，それぞれの極限を求めると
lim
a n ＝ ln i m
n
→∞
→∞
{ ( 31 ) }
n
1
1＋
2
＝
1
1
･1 ＝
と な る し ，
2
2
＝
1
1
･1 ＝
となって，答えだ ! 納得いった ?
2
2
0
{ ( 31 ) }
n
1
lim
b ＝ ln i m
1−
n →∞ n
→∞ 2
0
ど う ? こ れ で， a n ＋ 1 ＝ p a n ＋ q ( p ≠ 1 ，q ≠ 0 ) の 形 の 漸 化 式 か ら 一 般 項
a n を 求 め ， そ の 極限を求める問題にも，また， 対 称 形 の 連 立 漸 化 式
{
a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ qb n
b n ＋ 1 ＝ qa n ＋ pb n から一般項 a n と b n を求め， 極 限 を 求 め る 問 題 に も 自 信
がつ い た だ ろ う ?
ここで使われた F(n ＋ 1) ＝r･F(n) から F(n)＝F(1) ･r
n−1
へと変形する
考 え 方 は，実はもっとさまざまな漸化式を解く上でポイントとなる変形パ
タ ー ン な ん だ 。 だ か ら ， こ れ ま で の 内 容 を マ ス タ ー で き た 人 は ， 「 元気が
出る数学 III」や「 合格 ! 数学 III」( マセマ ) で勉強 し て ， さ ら に 腕 に 磨 き を か
けていくといいよ。どんな漸化式でも解いて，その極限が求められるよう
にな る と ， ス バ ラ シイからね。
の講義はすべて終了です。
以 上 で ，
「初めから始める数学 III P a r t 1 改訂 1 」
み ん な， 本 当 に よ く 頑 張 っ た ね。 で も， 本 格 的 な 数 学 III の テ ー マ で あ る
び ぶ ん
せきぶん
“微 分・積 分”は， Pa r t 2 の 講 義 で 扱 う か ら， ま だ ま だ 気 を 抜 か ず に 最 後
ま で ， や り 抜 い て ほ し い。 も ち ろ ん， マ セ マ は ， そ ん な 頑 張 る キ ミ 達 の 強
い味 方 だ か ら ね 。だから，次回は， P a r t 2 で会 お う な !
そ れ ま で ， み ん な 元 気 で …。 ま た キ ミ 達 に 会 え る こ と を 楽 し み に し て る 。
さよ う な ら 。
け い
し
マセマ代表 馬場 敬之
192
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