レポート解答6と第5回フィードバック

2014 年数学通論 I 演習解答 6 (津川光太郎)
間違いを見つけたら教えて下さい.
1 G(x) = arctan x − x/(1 + x2 ), H(x) = x − arctan x とおくと, x > 0 において
2x2
> 0,
(1 + x)2
x2
H ′ (x) =
> 0,
1 + x2
G′ (x) =
より G(x), H(x) は x > 0 で (狭義) 単調増加である. さらに G(0) = 0, H(0) = 0 なので
G(x) > G(0) = 0, H(x) > H(0) = 0.
2 (i) x > 0 において考える. log y = (1/x) log x より,
y′
1
= 2 (1 − log x).
y
x
y ′ = yx−2 (1 − log x) = 0 を解くと, y > 0 より, x = e が唯一の解である. また, ロピタル
の定理より,
log x
1
= lim = 0
x→∞ x
x→∞ x
lim log y = lim
x→∞
であるから, 指数関数の連続性より
lim y = lim elog y = elimx→∞ log y = e0 = 1
x→∞
x→∞
また, 明らかに limx→+0 y = 0. 以上により, 増減表を考え, グラフの概形を描けばよい.
(ii) x > 0 において考える. y ′ = log x + 1 より y ′ = 0 の解は e−1 のみ. また, ロピタル
の定理より,
log x
1/x
= lim
=0
x→+0 1/x
x→+0 −1/x2
lim y = lim
x→+0
が成り立つ. また, 明らかに limx→∞ y = ∞. 以上により, 増減表を考え, グラフの概形を
描けばよい.
数学通論 I 第五回レポートのフィードバック（伊藤）
1. よくできていたが、特に (3)(5) あたりで計算ミスしている人がいたので注意。
2. x ̸= 0 で f ′ (x) を計算して x → 0 で f ′ (x) を求めようとしている人がいたが、これ
は正しくない。特に、(i) について、これで f ′ (0) が存在しないと考えた人がいたが、
連続でないだけで、f ′ (0) は存在することに注意。このように微分の公式が使えない
x = 0 では微分の定義通りに極限を計算しなければならない。
3 (i)
x − sin x
1 − cos x
sin x
1
= lim
= lim
=
3
2
x→0
x→0
x→0 6x
x
3x
6
lim
(ii)
lim
x→1+0
x−1
1
= lim
=1
x→1+0
log x
1/x
(iii)
√
x − arcsin x
1 − 1/ 1 − x2
−x(1 − x2 )−3/2
−(1 − x2 )−3/2
1
lim
= lim
= lim
= lim
=−
x→0 x − x cos x
x→0 1 − cos x + x sin x
x→0 2 sin x + x cos x
x→0 2 sin x/x + cos x
3
3 番目の等式においては分母, 分子を x で割りました. このようにしなくても, おそら
くもう 1 回ロピタルの定理を使っても解けるでしょう.
(iV) y = xx/(1−x) とおくと,
lim log y = lim
x→1
x→1
x log x
log x + 1
= lim
= −1
x→1
1−x
−1
よって指数関数の連続性より limx→1 y = limx→1 elog y = e−1 を得る.
4 (i), (ii) は, n = 1, 2, 3, · · · に対して具体的に計算して推測し, 帰納法により示すこと
により (i) y (n) = (−1)n n!/(1 + x)n+1 , (ii) y (n) = α(α − 1) · · · (α − n + 1)(1 + x)α−n .
(iii) f (x) = 3x , g(x) = x2 + x とおくと f n (x) = 3x (log 3)n , g ′ (x) = 2x + 1, g ′′ (x) = 2,
g (k) (x) = 0 (k
y (n) =
3) よりライプニッツの公式を用いて,
2
∑
(
n
)
f (n−k) (x)g (k)
k
{
}
n(n − 1)
x
n 2
n−1
n−2
= 3 (log 3) (x + x) + n(log 3) (2x + 1) +
(log 3)
·2
2!
{
}
= (log 3)n−2 3x (log 3)2 x2 + (log 3)(2n + log 3)x + n(n − 1 + log 3)
{
}
1
1
1
(iv) y =
−
に (i) を適用して,
3 x−2 x+1
k=0
y
(n)
)
(−1)n n! (
1
1
=
−
.
3
(x − 2)n+1 (x + 1)n+1
5 合成関数の微分公式より,
dz
dg dy
dg dy
=
·
となり,
,
はともに微分可能であるか
dx
dy dx
dy dx
ら, 積の微分により,
)
( )
dg
dy dg d dy
+
·
·
dy
dx dy dx dx
( )2
dg d2 y
d2 g dy
+
=
dy 2 dx
dy dx2
d2 z
d ( dg dy )
d
=
·
=
2
dx
dx dy dx
dx
(
ただし最後の等号において以下を用いた.
d ( dg )
d ( dg ) dy
d2 g dy
=
= 2
dx dy
dy dy dx
dy dx

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