非可換多変数多項式について
山根 宏之 （やまね ひろゆき）
富山大学理工学研究部教授
1. 多項式（文字式）
R := { 実数 } とする。X を変数（文字）とする。
aX + b (a, b ∈ R)
(aX + b) + (cX + d) = (a + c)X + (b + d)
(aX + b) − (cX + d) = (a − c)X + (b − d)
a(bX + c) = abX + ac
(aX + b)c = acX + bc
(aX + b)(cX + d) = aX(cX + d) + b(cX + d)
= acX 2 + adX + bcX + bd
= acX 2 + (ad + bc)X + bd
(a0 , a1 , a2 ∈ R)
a2 X 2 + a1 X + a0
(a2 X 2 + a1 X + a0 ) + (b2 X 2 + ba1 X + b0 )
= (a2 + b2 )X 2 + (a1 + b1 )X + (a0 + b0 )
(a2 X 2 + a1 X + a0 )(b2 X 2 + b1 X + b0 )
= a2 X 2 (b2 X 2 + b1 X + b0 )
+a1 X(b2 X 2 + b1 X + b0 )
+a0 (b2 X 2 + b1 X + b0 )
= a2 b2 X 4 + (a2 b1 + a1 b2 )X 3 + (a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 )X 2
+(a1 b0 + a0 b1 )X + a0 b0
f (X) =
m
∑
ai X i
(ai ∈ R)
bi X i
(bi ∈ R)
i=0
g(X) =
n
∑
i=0
∑
Max(m,n)
(f + g)(X) =
i=0
1
(ai + bi )X i
2
ただし i > m のとき ai = 0 とおく。 j > n のとき bj = 0 とおく。
mn ∑
i
∑
(f g)(X) =
(
ak bi−k )X i
i=0 k=0
ただし i > m のとき ai = 0 とおく。 j > n のとき bj = 0 とおく。
3
2. Σ（シグマ）記号
Z := { 整数 } = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}, N := { 自然数 } = {n ∈ Z|n ≥ 1} =
{1, 2, . . .}, Z := { ０以上の整数 } = {0, 1, 2, . . .} とおく。
n
∑
ai = a1 + a2 + · · · + an
i=1
n
= (...((a
1 + a2 ) + a3 ) + · · · + an−1 ) + an
0
n = 0 のとき
a1
n = 1 のとき
n−1
=
∑
ai ) + an
n ≥ 2 のとき
(
i=1
定理１（１）
a+b=b+a
(a, b ∈ R)
（２）
(a + b) + c = a + (b + c)
証明 明らか。
(a, b, c ∈ R)
✷
4
定理２
n
∑
(ai + bi ) = (
i=1
n
∑
ai ) + (
i=1
n
∑
bi )
(ai , bi ∈ R)
i=1
証明 n に関する帰納法。n = 1 のときはあきらか。
n ≥ 2 のとき。
n
∑
(ai + bi )
i=1
=
n−1
∑
(ai + bi ) + (an + bn ) （Σの定義より）
i=1
n−1
∑
= ((
ai ) + (
i=1
n−1
∑
bi )) + (an + bn ) （帰納法より）
i=1
n−1
n−1
∑
∑
= ( ai ) + (( bi ) + (an + bn )) （定理１（２）より）
i=1
i=1
i=1
i=1
n−1
n−1
∑
∑
= ( ai ) + (( bi ) + (bn + an )) （定理１（１）より）
n−1
n−1
∑
∑
= ( ai ) + ((( bi ) + bn ) + an ) （定理１（２）より）
i=1
i=1
n−1
n
∑
∑
= ( ai ) + (( bi ) + an ) （Σの定義より）
i=1
i=1
n−1
n
∑
∑
= ( ai ) + (an + ( bi )) （定理１（１）より）
i=1
n−1
∑
= ((
i=1
n
∑
ai ) + an ) + (
i=1
n
∑
n
∑
i=1
i=1
=(
ai ) + (
bi ) （定理１（２）より）
i=1
bi ) （Σの定義より）
✷
5
定理３
m ∑
n
n ∑
m
∑
∑
(
aij ) =
(
aij )
i=1 j=1
(aij ∈ R)
j=1 i=1
証明 n に関する帰納法。n = 1 のときはあきらか。
n ≥ 2 のとき。
m ∑
n
∑
(
aij )
i=1 j=1
m
∑
=
n−1
∑
((
aij ) + ain ) （Σの定義より）
i=1
j=1
m ∑
n−1
∑
=(
(
aij )) + (
m
∑
i=1 j=1
i=1
j=1 i=1
i=1
ain ) （定理２より）
n−1 ∑
m
m
∑
∑
=( (
aij )) + (
ain ) （帰納法より）
n ∑
m
∑
=( (
aij )) （Σの定義より）
j=1 i=1
✷
6
定理４ n ∈ Z≥0 とする。
j
n ∑
n ∑
n−i
∑
∑
(
ai,j−i,n−j ) =
(
ai,j,n−i−j )
j=0 i=0
i=0 j=0
∑
(=
ai,j,k )
(aij ∈ R)
i+j+k=n
証明 n に関する帰納法。n = 0 のときはあきらか。
n ≥ 1 のとき。
n ∑
n−i
∑
(
ai,j,n−i−j )
i=0 j=0
n−1 ∑
n−i
∑
=(
=(
(
ai,j,n−i−j )) + an,0,0 （Σの定義より）
i=0 j=0
n−i−1
∑
n−1
∑
((
i=0
j=0
n−1
n−i−1
∑ ∑
= ((
(
i=0
ai,j,n−i−j ) + ai,n−i,0 )) + an,0,0 （Σの定義より）
ai,j,n−i−j )) + (
n−1
∑
j=0
i=0
i=0 j=0
n−1
∑ n−i−1
∑
i=0
n
∑
ai,n−i,0 )) + an,0,0 （定理２より）
n−1 n−i−1
n−1
∑
∑
∑
=( (
ai,j,n−i−j )) + ((
ai,n−i,0 ) + an,0,0 ) （定理１（２）より）
=(
(
i=0
j=0
i=0
n−1
∑
j=0
j
ai,j,n−i−j )) + (
ai,n−i,0 ) （Σの定義より）
i=0
n−1 n−1−i
n
∑
∑
∑
=( (
ai,j,(n−1−i−j)+1 )) + (
ai,n−i,0 ) （Σの定義より）
=(
∑
(
ai,j−i,(n−1−j)+1 )) + (
j=0 i=0
i=0
n
∑
ai,n−i,0 ) （帰納法より）
i=0
j
n−1 ∑
n
∑
∑
=( (
ai,j−i,n−j )) + (
ai,n−i,0 )
j=0 i=0
i=0
j
n ∑
∑
=
(
ai,j−i,n−j ) （Σの定義より）
j=0 i=0
✷
7
定理５（１）
(ab)c = a(bc)
（２）
(a, b, c ∈ R) （積の結合法則）
n
n
∑
∑
a(
bi ) =
abi
i=1
（３）
(
n
∑
i=1
ai )b =
(a, bi ∈ R)
i=1
n
∑
i=1
ai b
(ai , b ∈ R)
8
∑m
∑n
j
定理６ 多項式 f (X) =
ai X i (ai ∈ R), g(X) =
i=0
j=0 bj X (bj ∈ R),
∑r
h(X) = k=0 ck X k (ck ∈ R) とする。積の結合法則
(f (X)g(X))h(X) = f (X)(g(X)h(X))
が成り立つ。
証明
∑
i
i > m のとき ai = 0 とおく。f (X) = ∑ ∞
i=0 ai X である。
∞
j
j > n のとき bj = 0 とおく。g(X) = j=0 bj X である。
∑
k
k > r のとき ck = 0 とおく。h(X) = ∞
k=0 ck X である。
(f (X)g(X))h(X)
j
∞ ∑
∑
=( (
ai bj−i )X j )h(X) （多項式の積の定義より）
=
j=0 i=0
∞
n
∑∑
j
∑
((
ai bj−i )cn−j ))X n （多項式の積の定義より）
(
n=0 j=0
i=0
j
∞ ∑
n ∑
∑
=
( ( (ai bj−i )cn−j ))X n （定理５（３）より）
=
n=0 j=0 i=0
j
∞ ∑
n ∑
∑
(
(
ai (bj−i cn−j )))X n （定理５（１）より）
n=0 j=0 i=0
∞ ∑
n ∑
n−i
∑
=
( (
ai (bj cn−i−j )))X n （定理４より）
n=0 i=0 j=0
∞ ∑
n
n−i
∑
∑
=
(
ai ( (bj cn−i−j )))X n （定理５（２）より）
n=0 i=0
j=0
k
∞ ∑
∑
= f (X)(
(
bj ck−j )X k ) （多項式の積の定義より）
k=0 j=0
= f (X)(g(X)h(X))
✷
実は、定理２、定理３、定理４はつぎの定理７、定理８より明らかである。
定理７ m, n ∈ N を 0 < m < n となるものとする。
n
m
n
∑
∑
∑
ai = (
ai ) + (
ai ) (ai ∈ R)
i=1
i=1
i=m+1
したがって和は括弧のとりかたによらない。
例
((a + b) + c) + d = (a + b) + (c + d) = a + (b + (c + d))
9
定理８ 和は順序によらない。
例
(a + b) + c = (a + c) + b = (b + a) + c
= (b + c) + a = (c + a) + b = (c + b) + a
10
3. 環（かん）
定義A を集合とする。A が環であるとは
a + b ∈ A（和）、ab ∈ A（積）、
0 ∈ A（零元）、1 ∈ A（単位元）、−a ∈ A（a ∈ A のマイナス元）
があって次の等式をみたすときに言う。
a+b=b+a
(a + b) + c = a + (b + c)
a+0=a
a + (−a) = 0
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = (ab) + (ac)
(a + b)c = (ac) + (bc)
1a = a1 = a
例Z = { 整数 }, Q = { 有理数 }, R = { 実数
√ }, 2
C = { 複素数 } = {a + bi|a, b ∈ R} (i = −1, i = −1),
Z[i] = { ガウス整数 } = {a + bi|a, b ∈ Z},
√
Z[ω] = { アイゼンシュタイン整数 } = {a + bω|a, b ∈ Z} (ω = −1+2 3i , ω 3 = 1)
H = { 四元数 } = {a + bi + cj + dk|a, b, c, d ∈ R} (i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1),
例 A を環とする。A 上の２×２行列環
(
)
a b
M2 (A) := {
|a, b, c, d ∈ R}
c d
は環である。
(
) (
x y
a+x
+
=
z w
c+z
(
)(
) (
a b
x y
ax + bz
=
c d
z w
cx + dz
a b
c d
)
(
b+y
d+w
)
ay + bw
cy + dw
)
例 A を環とする。A 上の多項式環
n
∑
A[X] := {
ai X i | n ∈ Z≥0 , ai ∈ A (0 ≤ i ≤ n) }
i=0
は環である。
Max(n,m)
n
m
∑
∑
∑
i
j
(
ai X ) + (
bj X ) =
(ai + bi )X i
i=0
j=0
i=0
n
m
mn ∑
k
∑
∑
∑
i
j
(
ai X )(
bj X ) =
(
ai bk−i )X k
i=0
j=0
k=0 i=0
11
ただし i > n のとき ai = 0 とおく。j > m のとき bj = 0 とおく。
例 A を環とする。A 上の形式的べき級数環
∞
∑
A[[X]] := {
ai X i | ai ∈ A (i ∈ Z≥0 ) }
i=0
は環である。
∞
∞
∞
∑
∑
∑
(
ai X i ) + (
bj X j ) =
(ai + bi )X i
i=0
∞
∑
(
j=0
i
∞
∑
ai X )(
i=0
i=0
∞
∑
j
bj X ) =
j=0
k
∑
(
ai bk−i )X k
k=0 i=0
例 (多変数多項式環) A を環とする。n ∈ N とする。A 上の n 変数多項式環
{
A[X1 ]
n = 1 のとき
A[X1 , X2 , . . . , Xn ] :=
A[X1 , . . . , Xn−1 ][Xn ]
n ≥ 2 のとき
は環である。
∞
∑
(
ai1 ,...,in X1i1
i1 ,...,in =0
∞
∑
=
· · · Xnin )
∞
∑
+(
bi1 ,...,in X1i1 · · · Xnin )
i1 ,...,in =0
(ai1 ,...,in + bi1 ,...,in )X1i1 · · · Xnin
i1 ,...,in =0
∞
∑
(
i1 ,...,in =0
∞
∑
=
ai1 ,...,in X1i1
(
· · · Xnin )(
∑
∞
∑
bi1 ,...,in X1i1 · · · Xnin )
i1 ,...,in =0
ax1 ,...,xn by1 ,...,yn )X1i1 · · · Xnin
i1 ,...,in =0 x1 +y1 =i1 ,...,xn +yn =in
(X1i1 · · · Xnin )(X1j1 · · · Xnjn )
= X1i1 +j1 · · · Xnin +jn
Xi Xj = Xj Xi
12
4. 自由非可換環（じゆうひかかんかん）
A を環とする。A⟨X, Y ⟩ を A 上の２変数自由非可換環とする。A⟨X, Y ⟩ の中
では
1, X, Y, X 2 , XY, Y X, Y 2 ,
X 3 , X 2 Y, XY X, Y X 2 , XY 2 , Y XY, Y 2 X, Y 3 ,
(∗)
......
はすべて異なる（一次独立である）。
(∗∗)
(a + bX + cY X)(d + eY + f Y X)
= ad + bdX + aeY + beXY + (af + cd)Y X + ceY XY + cf Y XY X
Mathemtica による計算法：単項式を x の指数を１０進法の数で置き換えたも
のに読みかえる。
1, x, x2 , x11 , x12 , x21 , x22 ,
x111 , x112 , x121 , x211 , x122 , x212 , x221 , x222 ,
(∗)
......
(∗∗)
(a + bx + cx21 )(d + ex2 + f x21 )
= ad + bdx + aex2 + bex12 + (af + cd)x21 + cex212 + cf x2121
A⟨X, Y, Z⟩ を A 上の３変数自由非可換環とする。
(∗∗∗)
(∗ ∗ ∗)
(a + bX + cY XZ)(d + eY X + f Y Z)
= ad + bdX + beXY X + bf XY Z + cdY XZ + ceY XZY X + cf Y XZY Z
(a + bx + cx213 )(d + ex21 + f x23 )
= ad + bdx + bex121 + bf x123 + cdx312 + cex21321 + cf x21323
13
5. 部分環、両側イデアル、剰余環
A を環とする。B ⊂ A が A の部分環とは「1 ∈ B 」、
「a, b ∈ B ならば a − b ∈ A,
ab ∈ A」をみたすときにいう。
A を環とする。B ⊂ A を A の部分環とする。A の部分集合 M ⊂ A が B-部分
両側加群であるとは「v, w ∈ M ならば v + w ∈ M 」、「b ∈ B, v ∈ M ならば
bv, vb ∈ M 」をみたすときにいう。
A を環とする。I ⊂ A を A-部分両側加群であるとき両側イデアルであるという。
A を環とする。S を A の空でない部分集合とする。A の両側イデアル
n
∑
{
ai si bi |n ∈ N, ai , bi ∈ A, si ∈ S(1 ≤ i ≤ n)}
k=1
を S で生成される両側イデアルという。{0}(⊂ A) を空集合 ∅ で生成される両側
イデアルという。
A を環とする。I を A の両側イデアルとする。この時環 A/I を
A/I = {[a]|a ∈ A}
[a] = [b] ⇐⇒ a − b ∈ I
0A/I = [0], 1A/I = [1], [a] + [b] = [a + b], [a][b] = [ab]
により定義する。A/I を A の I による剰余環とよぶ。
A の部分環 Z(A) を Z(A) := {a ∈ A | ba = ab (b ∈ A)} で定義する。
A を環とする。B ⊂ A を A の部分環とする。B ⊂ Z(A) を仮定する。M ⊂ A
を B-部分両側加群とする。M の部分集合 H = {hλ |λ ∈ Λ} が B-基であるとは
(!1) 任意の x ∈ M に対して有限個 (n 個）の h1 , . . . , hn ∈ H, b1 , . . . , bn ∈ B
があって x = b1 h1 + · · · bn hn となる。
(!2) 有限個 (n 個）の h1 , . . . , hn ∈ H, b1 , . . . , bn ∈ B があって 0 = b1 h1 +
· · · bn hn となっていて hi ̸= hj (i ̸= j) であれば b1 = . . . = bn = 0 である。
が成り立つときにいう。
定理 A を環とする。B ⊂ A を A の部分環とする。B ⊂ Z(A) を仮定する。
H = {hλ |λ ∈ Λ} を A の B-基とする。I を A の両側イデアルとする。ある Λ
の部分集合 Ω があって H = {hλ |λ ∈ Ω} が I の B-基であるとする。このとき
{[hµ ]|µ ∈ Λ − Ω} は A/I の B-基である。
6. グレブナー法
A を可換環とする。n ∈ N とする。I := {z ∈ N|1 ≤ z ≤ n} とおく。R :=
A⟨X1 , X2 , . . . , Xn ⟩ を A 上の n-変数自由非可換環とする。k ∈ Z≥0 にたいして R
の部分集合 Bk を次で定義する。B0 := {1A } とおく（A を R の部分環とみなす
ので 1A = 1R である。）。k ∈ N に対して Bk := {Xi Y |i ∈ I.Y ∈ Bk−1 } とおく。
′
B ′ := ∪∞
k=1 Bk とおく。B := B0 ∪ B とおく。B 上の全順序 ≼ を次のようにして定
義する。b ≼ b (b ∈ B), b′ ≼ b (b′ ∈ Bk , b ∈ Br , k < r), Xi b′ ≼ Xi b (i ∈ I, b′ , b ∈ B,
14
b′ ≼ b) Xi b ≼ Xj b (i, j ∈ I, i∑< j, b ∈ B)。b′ ≼ b かつ b′ ̸= b のとき b′ ≺ b と書
く。b ∈ B にたいして R≺b := b′ ∈B,b′ ≺b Ab′ (⊂ R) とおく。R≺1 := {0} とおく。写
像 φ : R → B ∪ {0}, ϖ : R → A を次のようにして定義する。φ(0) := ϖ(0) := 0,
x ∈ R \ {0} のときは、ϖ(x) ̸= 0, φ(x) ̸= 0 かつ x − ϖ(x)φ(x) ∈ R≺φ(x) をみたす。
R の空でない部分集合 S が以下の性質 (⋆1)∼(⋆3) をみたすものときグレブナ―
部分集合と呼ぶ。
(⋆1) φ(S) ⊂ B ′ かつ ϖ(S) = {1} が成り立つ。
(⋆2) φ(s) ̸= bφ(s′ )b′ (s, s′ ∈ S, s ̸= s′ , b, b′ ∈ B) が成り立つ。
（とくに φS : S →
′
B は単射。 ） (⋆3) s, s′ ∈ S, b, b′ ∈ B, φ(s)b = b′ φ(s′ ) かつ φ(s)b2 b3 = b1 b2 φ(s′ ) (b1 , b2 , b2 ∈ B)
が成り立つならば、φ(s)b = b′ φ(s′ ) は S ∩ R≺φ(s)b で生成される R の両側イデア
ルの元である。
定理 S を R のグレブナ―部分集合とする。T := {b ∈ B|b ̸= b1 φ(s)b2 (b1 , b2 ∈
B)} とおく。I を S で生成される R の両側イデアルとする。このとき、A は (自
然に）R の部分環とみなせ、{[t]|t ∈ T } は剰余環 R/I の A-基となる。
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