ベクトル解析の基礎 — 線積分と面積分 — 1 スカラー場とベクトル場 ■ 場 とは, 位置の関数としての物理量. 数学的には, 直交座標系 (xy 平面または xyz 空 間) を導入して集合 D Ă Rn pn “ 2, 3q 上で • スカラー場 f とは, 実数値関数 f : D Ñ R • ベクトル場 F とは, ベクトル値関数 F : D Ñ Rn # pf, gq if n “ 2 F “ pf, g, hq if n “ 3 以下, F はこの形で用いる. (行ベクトルでなく列ベクトルで考えてもよい) ■ ベクトル解析 とは, ベクトル場の (成分表示に依拠しない) 微積分. ■ 演算子 ナブラ (nabla) $´ ¯ B B ’ , if n “ 2 & Bx By ¯ ∇ :“ ´ ’ % B , B, B if n “ 3 Bx By Bz ■ C 1 級スカラー場 f に対して • f の勾配 (gradient) $´ ¯ Bf Bf ’ , if n “ 2 & Bx By ¯ grad f :“ ∇f “ ´ ’ % Bf , Bf , Bf if n “ 3 Bx By Bz ■ C 1 級ベクトル場 F に対して • F の発散 (divergence) div F :“ ∇ ¨ F “ $ Bf Bg ’ & ` Bx By Bf ’ % ` Bg ` Bh Bx By Bz –1– if n “ 2 if n “ 3 • F の回転 (rotation) $ Bg Bf ’ & ´ Bx By ´ ¯ rot F :“ Bh Bg Bf Bh Bg Bf ’ %∇ ˆ F “ ´ , ´ , ´ By Bz Bz Bx Bx By if n “ 2 if n “ 3 rot F を curl F と記すこともある. ● 注意 grad div n “ 2 : スカラー場 ÝÝÝÑ ベクトル場 ÝÝÝÑ スカラー場 protq grad rot div n “ 3 : スカラー場 ÝÝÝÑ ベクトル場 ÝÝÑ ベクトル場 ÝÝÑ スカラー場 ここで, divpgrad f q “ ∆f pn “ 2, 3q および次が成り立つ: rotpgrad f q “ 0 pn “ 2, 3q, divprot F q “ 0 pn “ 3q. 更に (少なくとも) 凸開集合 D におけるベクトル場 F に対して, • Dφ : F “ grad φ ô rot F “ 0 pn “ 2, 3q (φ : スカラーポテンシャル) • DA : F “ rot A ô div F “ 0 pn “ 3q (A : ベクトルポテンシャル) 2 線積分 ■ 定義 (始点から終点への) 向きの指定された C 1 級曲線 C Ă Rn pn “ 2, 3q を考える (C が閉曲線なら始点と終点は一致). C 上に向きの順に分点をとる. A “ P0 , P1 , P2 , ¨ ¨ ¨ , PN “ B • f が C 上の連続なスカラー場であるとき, " ∆sj :“ r Pj´1 Pj の弧長 s とおいて次の和を考える. N ÿ f pQj q∆sj ` "˘ Qj P Pj´1 Pj j“1 分割を細かくした D 極限 (Qj の取り方に依らぬ) を ż f ds C と表し, f の C に沿う弧長に関する線積分と呼ぶ. –2– • F が C 上の連続なベクトル場であるとき, ÝÝÝÝÑ ∆r j :“ r j ´ r j´1 “ Pj´1 Pj (r j は Pj の位置ベクトル) とおいて次の和を考える. N ÿ F pQj q ¨ ∆r j ` "˘ Qj P Pj´1 Pj j“1 分割を細かくした D 極限 (Qj の取り方に依らぬ) を $ż ’ ’ ż f dx ` g dy & F ¨ dr “ żC ’ C ’ f dx ` g dy ` h dz % if n “ 2 if n “ 3 C と表し (r “ px, y, zq と考えよ) , F の C に沿う線積分と呼ぶ. 特に ż f dx を f の C に沿う x に関する線積分 C ż g dy を g の C に沿う y に関する線積分 C ´ż h dz を h の C に沿う z に関する線積分 C と呼ぶ. ■ パラメータ表示 (線積分の計算法) A = P0 P1 P2 Pj−1 Pj y ··· ··· C B = PN x r = r(t) = (x(t), y(t)) (r j = r(tj ) : Pj の位置ベクトル ) tj−1 tj ··· b = ··· = a t1 t2 t0 tN –3– t ¯ C 1 級曲線 C が C : r “ rptq ` pa ď t ď bq |r 1 ptq| ‰ 0 @tq と表されているとする. ra, bs の分点を a “ t0 ă t1 ă t2 ă ¨ ¨ ¨ ă tN “ b とし, rptj q “ r j (Pj の位置ベクトル) であるとすれば, 分割が十分小さいとき ∆r j “ rptj q ´ rptj´1 q » r 1 ptj q∆tj p∆tj :“ tj ´ tj´1 q ∆sj » |rptj q ´ rptj´1 q| » |r 1 ptj q|∆tj これより żb ż f ds “ C f prptqq|r 1 ptq| dt ` ds “ |r 1 ptq|dt ˘ F prptqq ¨ r 1 ptq dt ` dr “ r 1 ptq dt ˘ f prptqqx1 ptq dt ` dx “ x1 ptq dt ˘ gprptqqy 1 ptq dt ` dy “ y 1 ptq dt ˘ ` dz “ z 1 ptq dt ˘ a żb ż F ¨ dr “ C a 特に żb ż f dx “ C a żb ż g dy “ C ´ż C a żb h dz “ hprptqqz 1 ptq dt ¯ a 3 面積分 ■ 定義 向き (表と裏) の指定された C 1 級曲面 S Ă R3 は, S の表側に立つ単位法線ベクトル n (S 上のベクトル場) を定める. –4– • f を S 上の連続なスカラー場とする. S を微小曲面片 t∆Sij ui,j に分割し, ∆Sij の 面積を |∆S ij | と表して, 次の和を考える. ÿ f pQij q |∆Sij | pQij P ∆Sij q i,j 分割を細かくした D 極限 (Qij 達の取り方に依らぬ) を ij f dS S と表し, f の S 上の面積分と呼ぶ. • F を S 上の連続なベクトル場とする. 上と同様にして次の和を考える. ÿ F pQij q ¨ npQij q |∆Sij | pQij P ∆Sij q i,j 分割を細かくした D 極限 (Qij 達の取り方に依らぬ) を ij F ¨ n dS S と表し, F の S 上の面積分と呼ぶ. ■ パラメータ表示 (面積分の計算法) n S n ±± ∂r ∂u × ∂r (同じ向き) ∂v z r = r(u, v) y x v u 向きの与えられた C 1 級曲面 S が S : r “ rpu, vq ` pu, vq P D Ă R2 ˘ ‰ 0 @pu, vq | Bu ˆ Br Bv | ` Br ˘ D と表されているとする. D の微小部分 (長方形) への分割を t∆D ij ui,j (∆ij の面積を S S S |∆D ij |) とし, 対応する S の分割を t∆ij ui,j (∆ij の面積を |∆ij |) とすれば, ¯ ´ ` ˘ Br Br ˆ pui , vj q |∆D pui , vj q P ∆D |∆Sij | » ij | ij | Bu | Bv –5– また, Br Br ˆ は S 上の法線ベクトルゆえ, Bu Bv Br Br Bv Br Br ˆ Bu Bv ˆ n “ ˘ Bu | (˘ はどちらか一方) | よって, 上式の ` が成り立つと仮定して (u, v を入れ替えれば符号が逆転する), ij ij f dS “ S f prpu, vqq ijD ij F ¨ n dS “ S Br Br ˆ | dudv | Bu Bv F prpu, vqq ¨ D 4 積分公式 ´ ´ Br Br ˆ dudv Bu Bv ¯ ´ dS “ n dS “ Br Br ˆ |dudv | Bu Bv ´ ¯ Br Br ˆ dudv Bu Bv ¯ ¯ — 部分積分の拡張概念 — ■ Green の定理 D を平面の閉領域とする. D の境界 BD には, D の内部を左に見て進む向きが与 えられる. BD が (区分的に) C 1 級の曲線であるとき, D 上の C 1 級ベクトル場 F “ pf, gq に対して, ij ż rot F dxdy “ F ¨ dr D BD 成分で表せば, ij ´ D Bg Bf ´ dxdy “ Bx By ¯ ż f dx ` g dy BD ■ Gauss の定理 (発散定理) • V を空間の閉領域とする. V の境界 BV には, BV 上の外向き単位法線 n が 立つ側を表とする向きが与えられる. BV が (区分的に) C 1 級の曲面であると き, V 上の C 1 級ベクトル場 F “ pf, g, hq に対して, ¡ ij div F dxdydz “ F ¨ n dS V BV • D を平面の閉領域とする. D の境界 BD が (区分的に) C 1 級の曲線である とき, BD 上の外向き法線ベクトルを n とすれば, D 上の C 1 級ベクトル場 F “ pf, gq に対して, ij ż div F dxdy “ D F ¨ n ds BD –6– この公式は Green の定理と同値. 実際, G “ p´g, f q に Green の定理を適用 すれば上式が得られる. (F ¨ n ds “ G ¨ dr に注意) ■ Stokes の定理 S Ă R3 を向きの与えられた C 1 級の曲面とする. S の境界 BS には, S の表側を 左に見て進む向きが与えられる. BS が (区分的に) C 1 級の曲線であるとき, S 上 の C 1 級ベクトル場 F に対して, ij ż prot F q ¨ n dS “ S F ¨ dr BS S が xy 平面内にあるならば, 上式は Green の定理に他ならない. n n V ∂V S D ∂D ∂S ● 注意 Gauss Ô grad n “ 2 : スカラー場 Õ ベクトル場 p˚q div rot スカラー場 Õ Green grad rot p˚q Stokes n “ 3 : スカラー場 Õ ベクトル場 Õ ベクトル場 p˚q に対応する積分公式は ż pgrad f q ¨ dr “ f pBq ´ f pAq C 但し, A, B はそれぞれ曲線 C の始点と終点. –7– div Õ Gauss スカラー場 ● 定理の証明 (領域や曲面の形が単純な場合) 【Green の定理】 D “ tpx, yq | φ1 pxq ď y ď φ2 pxq, a ď x ď bu “ tpx, yq | ψ1 pyq ď x ď ψ2 pyq, c ď y ď du と表されるとする. まず, Ci : y “ φi pxq, a ď x ď b pi “ 1, 2q をパラメータ x の曲線 (パラ メータが増加する向き) と見れば, ż ż żb ż f dx “ f dx ´ C1 BD “´ f dx “ ´ C2 ż b” f px, yq a tf px, φ2 pxqq ´ f px, φ1 pxqqu dx a ıy“φ2 pxq y“φ1 pxq żb dx “ ´ ż φ2 pxq dx ij fy px, yq dy “ ´ a fy dxdy. φ1 pxq D 同様に, Ci1 : x “ ψi pyq, c ď y ď d pi “ 1, 2q をパラメータ y の曲線と見て, ż ż g dy ´ g dy “ C21 BD żd ż g dy “ C11 ż ψ2 pyq dy c ij gx px, yq dx “ ψ1 pyq gx dxdy. D 上の 2 つの関係式を足し合わせて Green の定理をえる. 【Gauss の定理】(n “ 3 の場合を示すが, n “ 2 の場合も同じ考え方で証明できる) V “ tpx, y, zq | φ1 px, yq ď z ď φ2 px, yq, px, yq P Du (x 軸, y 軸方向にも同様な表現) と表されるとする. Si : z “ φi px, yq, px, yq P D pi “ 1, 2q をパラメータ x, y の曲面 (z 軸の上 方が表) と見れば, Si 上で n dS “ p´pφi qx , ´pφi qy , 1q dxdy であるから, h “ p0, 0, hq とおき, ij ij ij h ¨ n dS “ h ¨ n dS ´ S2 BV h ¨ n dS S1 ij ¡ thpx, y, φ2 px, yqq ´ hpx, y, φ1 px, yqqudxdy “ “ hz dxdydz D V z 軸の役割を x 軸, y 軸で置き換えて考えれば, 上と同様にして ij ¡ ij ¡ pf, 0, 0q ¨ n dS “ fx dxdydz, p0, g, 0q ¨ n dS “ gy dxdydz. V BV V BV これら 3 つの関係式を足し合わせて Gauss の定理をえる. 【Stokes の定理】 S “ tpx, y, zq | z “ φpx, yq, px, yq P Du (z 軸の上方が表) と表されるとする. BD を x “ xptq, y “ yptq とパラメータ t で表せば, BS は x “ xptq, y “ yptq, z “ zptq :“ φpxptq, yptqq と表される. このとき, z 1 ptq dt “ φx pxptq, yptqqx1 ptq dt ` φy pxptq, yptqqy 1 ptq dt pdz “ φx dx ` φy dyq により BS 上の線積分は BD 上の線積分に書き換えられる. 更に Green の定理を用いるなどして, ż ż ij F ¨ dr “ BS pf ` hφx q dx ` pg ` hφy q dy “ “ ijD “ tpg ` hφy qx ´ pf ` hφx qy u dxdy D BD ij tpgx ` gz φx ` hx φy ` hφxy q ´ pfy ` fz φy ` hy φx ` hφxy qu dxdy ij rot F ¨ n dS. t´phy ´ gz qφx ´ pfz ´ hx qφy ` pgx ´ fy qu dxdy “ S D –8– ● 例 (Maxwell の方程式) 真空における電磁場の基本量は, 電場 E, 磁場 (磁束密度) B, 電荷密度 ρ, 電流 j の４つであっ て, 任意の領域 V , 任意の曲面片 S に対して次の関係式を満たす. (ε0 ą 0 : 誘電率, c ą 0 : 光速) (0) (1) (2) (3) (4) ¡ ij ρ dxdydz “ ´ j ¨ n dS ij V ¡ BV ε0 E ¨ n dS “ ρ dxdydz BV V ż ij d E ¨ dr “ ´ B ¨ n dS dt S BS ij B ¨ n dS “ 0 żBV ij ij 1 d j ¨ n dS ` E ¨ n dS c2 B ¨ dr “ ε0 S dt S BS d dt (連続の方程式) (Coulomb-Gauss の法則) (Faraday の誘電法則) (単独磁荷の非存在) (Amp`ere-Maxwell の法則) これらは, Gauss の定理, Stokes の定理を用い, 微分形に翻訳することができる. (3)1 Bρ ` div j “ 0 Bt ρ div E “ ε0 BB rot E “ ´ Bt div B “ 0 (4)1 c2 rot B “ (0)1 (1)1 (2)1 (1)1 から (4)1 をまとめて, Maxwell の方程式と呼ぶ. –9– j BE ` ε0 Bt
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