夏休み課題

応用数学 I 夏休みレポート課題
受験番号
—
担当: 電気工学科講師南政孝
番号:
名前:
1. 大きさが 8 のベクトル A = (Ax , Ay , Az ) が各直角座標軸となす角が全て等しい
とき, Ax , Ay , Az を求めよ. ただし, Ax > 0, Ay > 0, Az > 0 とする.
2. |a| =
√
2, |b| = 2, a · b =
√
6 であるとき, a と b のなす角 θ (0 ≤ θ ≤ π) を求
めよ.
3. 三角形の頂点 A, B, C の座標はそれぞれ (−1, 1, 1), (2, 1, 0), (1, −1, 3) であると
する. 図形 ABCD が平行四辺形となるような D の座標を求めよ.
4. 四点 4i + 5j + k, −j − k, 3i + 9j + 4k, 4(−i + j + k) が同一平面上にあることを
証明せよ.
5. ベクトル u = (2, 1, −1), v = (3, −1, 1) の両者に垂直でかつ, 大きさが 1 のベク
トルを求めよ.
6. ベクトル u = (0, −1, 1), v = (1, 0, 1) の両者に垂直でかつ, 大きさが 1 のベクト
ルを求めよ.
7. a = (ax , ay , az ), b = (bx , by , bz ) の作る平行四辺形の面積を成分を使って表せ.
8. a = (1, 2, 3), b = (−2, 0, 1) について, a × b を計算せよ.
9. a = (−1, 2, 1), b = (3, −1, 2) について, a × b を計算せよ.
10. a = (1, 1, 1), b = (2, −2, −1) について, a × b を計算せよ.
11. 次のベクトル関数を微分せよ. また, t = 1 における微分係数を求めよ.
(1) r(t) = (et , log t, t)
(2) a(t) = (− sin 2πt, cos πt, t)
12. a, b を正の定数とするとき, 曲線 r(t) = (a cos t, a sin t, bt) における単位接線ベ
クトル t を求めよ.
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13. a = (− sin t, cos t, 0) のとき, |da/dt| を求めよ.
14. 曲線 r = (t2 , t + t3 /3, t − t3 /3) について, 単位接線ベクトル t, 単位主法線 n を
求めよ.
15. 曲線 r = (cos t, sin t, t) について, 点 P(0) から点 P(2π) までの曲線の長さを求
めよ.
16. 曲線 r = (cos t,
√
3t, sin t) について, 点 P(0) から点 P(π/2) までの曲線の長さ
を求めよ.
17. 次の曲面について, (u, v) に対応する点における単位法線ベクトルを求めよ.
(1) r = (3u, 2v, u2 + v 2 )
(2) r = (v cos u, v sin u, u)
18. a を正の定数とするとき, 曲面: r = (a sin u cos v, a sin u sin v, a cos u) (0 ≤ u ≤
π, 0 ≤ v ≤ 2π) の点 P(u, v) における単位法線ベクトル n を求めよ.
19. ベクトル関数 r(u, v) = (sin u, cos u, v) (D : 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 2) で表され
る曲面 S の面積を求めよ.
20. a + b + c = 0 のとき, 次の等式が成り立つことを証明せよ.
a×b = b×c = c×a
21. 3 点 A(−1, 1, 2), B(−1, 2, 4), C(2, −2, 2) があるとき, 次の問いに答えよ.
(1) AB, AC を 2 隣辺とする平行四辺形の面積 S を求めよ.
−→ −→
(2) AB, AC の両方に垂直な単位ベクトルの成分表示を求めよ.
22. 曲線 r = (e−t , et ,
√
2t) 上の t に対応する点を P(t) で表すとき, 次の答えよ.
(1) P(t) におけるこの曲線の単位接線ベクトルを求めよ.
(2) P(t) におけるこの曲線の単位主法線ベクトルを求めよ.
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23. 次の式で表される曲面上の (u, v) に対応する点における単位法線ベクトルを求
めよ. ただし, a は正の定数とし, sin v ̸= 0 とする.
v = (a cos u sin v, a sin u sin v, a cos v)
24. 次の各ベクトル場の発散および回転を求めよ.
(1) a = (xz 2 , −2xyz, yz)
(2) a = (x2 + y 2 , y 2 + z 2 , z 2 + x2 )
25. φ をスカラー場とするとき, 次の等式が成り立つことを証明せよ.
∇ × (∇φ) = 0
26. φ をスカラー場とするとき, 次の等式が成り立つことを証明せよ.
∇ × (φ∇φ) = 0
27. a をベクトル場とするとき, 次の等式が成り立つことを証明せよ.
∇ · (∇ × a) = 0
28. r = (x, y, z)，r = |r| のとき, 次の各々を求めよ.
( )
(r )
(r )
(r)
(r)
1
(1) ∇
(2) ∇ ·
(3) ∇ ×
(4) ∇ · 3 (5) ∇ × 3
r
r
r
r
r
29. 曲線 C : r(t) = (cos t, sin t, t) (0 ≤ t ≤∫π/2) およびスカラー場
φ =∫x + y + z
∫
について, 次の線積分の値を求めよ. (1)
φ ds (2)
C
φ dx (3)
C
φ dz
C
30. 曲線 C : r(t) = (cos t, sin t, 0) (0 ≤ t ≤ 2π) に沿うベクトル場 a = (−y, x, 0)
の線積分の値を求めよ.
31. ベクトル場 a = (−y, x, 0) について, 次のベクトル関数で表される曲線 C に沿
う線積分を求めよ.
r(t) = (t, t2 , t3 ) (1 ≤ t ≤ 2)
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32. 曲線, C1 : r(t) = (t, 0, 0) (−3 ≤ t ≤ 3), C2 : r(t) = (3 cos t, 3 sin t, 0)
(0 ≤ t ≤ π) において, 次の線積分の値を求めよ.
∫
(1)
a · dr
a = (x + y, y 2 , ez )
∫C1 +C2
(2)
a · dr
a = (x2 , y 2 , z 2 )
−C2
33. φ = x2 + y 3 のとき, 原点から点 (2, 4, 0) に至る線分 C に沿う次の線積分の値を
求めよ.
∫
(1)
φ ds
C
∫
(2)
φ dx
∫C
(3)
φ dy
C
34. rot rot a = ∇(div a) − ∇2 a を示せ.
35. div(a × b) = b · rot a − a · rot b を示せ.
√
36. ∇r を求めよ. ただし, r = x2 + y 2 + z 2 ̸= 0 とする.
37. ∇ · r を求めよ. ただし, r = (x, y, z) とする.
38. ∇ × r を求めよ. ただし, r = (x, y, z) とする.
√
39. ∇(1/r2 ) を求めよ. ただし, r = x2 + y 2 + z 2 ̸= 0 とする.
40. 曲線 C を長方形
∫ {D: 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1 の周}(向きは反時計回り) とする. こ
のとき, I =
(x3 − 3x2 y)dx + (2xy + y 2 )dy の線積分の値を求めよ.
C
41. 曲線 C: r = (cos ωt, sin
∫ ωt, 4t) (0 ≤ t ≤ π, ω > 0) に沿ったベクトル場 a =
a · dr の値を求めよ.
(−y 2 , x3 , z 2 ) の線積分
C
(
)
t3 2
t3
42. 曲線 r(t) = t − , t , t +
について, 単位接線ベクトル t, 単位主法線ベク
3
3
トル n を求めよ.
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43. a = a(t) は実変数 t のベクトル関数であり, 大きさが常に一定 (̸= 0) であるとす
da(t)
る. このとき, ベクトル関数 a(t) の導関数
とベクトル関数 a(t) が直交す
dt
ることを示せ.
)
(
2
44. 曲線 r(t) = t2 , t3 , t 上の点における曲率 κ と曲率半径 ρ をそれぞれ求めよ.
3
さらに, 点 P(0) から点 P(1) までの曲線の長さを求めよ.
45. 次の問いに答えよ. ただし, r = (x, y, z), r = |r| ̸= 0, Q = const., ε = const.,
π は円周率とする.
Q
とするとき, −grad V を計算せよ.
4πεr
(b) E = −grad V とするとき, rot E と div E を計算せよ.
(a) V =
46. 曲線
C1 : r(t) = (t, 0, 1) (−2 ≤ t ≤ 2)
C2 : r(t) = (2 cos t, 2 sin t, 1) (0 ≤ t ≤ π) において, 次の問いに答えよ.
√
1
3
(a) 曲線 C1 において, ≤ t ≤
までの曲線の長さを求めよ.
2
2
∫
(b) 曲線 C2 において, スカラー場 φ = x2 + y 3 の線積分
∫
(c) ベクトル場 a = (x2 + y, xz 2 , x5 y 3 z 3 ) の線積分
φ ds を求めよ.
C2
a · dr を求めよ.
C1 +C2
47. 次の等式を証明せよ.
(A · ∇)A =
1
∇A2 − A × (∇ × A)
2
48. u(x, y, z), v(x, y, z) において, f (u, v) = 0 ならば, ∇u × ∇v = 0 であることを証
明せよ.
49. 原点を始点とする三つのベクトル a, b, c は一つの平面を定める. 原点からその
平面に至る距離を求めよ.
50. 次の等式を証明せよ. ただし, [ ] はグラスマンの記号である.
(A × B) × (C × D) = [ABD]C − [ABC]D = [ACD]B − [BCD]A
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