ax + bx + cx 3 1

1
a > 0, b > 0, c > 0 のとき
1
log
x→0 x
lim
ax + bx + cx
3
を求めよ
(慶応大)
1
2
x の 3 次関数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d が、3 つの条件
f (1) = 1，f (−1) = −1，
1
bx2 + cx + ddx = 1
−1
を全て満たしているとする。このようなの中で定積分
I=
1
2
2
｛f (x)｝
dx
−1
を最小にするときの f (x) を求めよ。
(11 東京大文科改)
2
3
関数 fn (x)(n = 1, 2, 3…………) を次のように定める。
f1 (x) = x3 − 3x
f2 (x) =｛f1 (x)｝3 − 3f1 (x)
f3 (x) =｛f2 (x)｝3 − 3f2 (x)
以下同様に n ≥ 3 に対して関数 fn (x) が定まった数ならば関数 fn+1 (x) を
fn+1 (x) =｛fn (x)｝3 − 3fn (x)
で定める。
(1) a を実数とする。f1 (x) = a を満たす実数 x の個数を求めよ。
(2) a を実数とする。f2 (x) = a を満たす実数 x の個数を求めよ。
(3) n を 3 以上の自然数とする。fn (x) = 0 をみたす実数 x の個数は 3n であることを
示せ。
(04 東大 4)
［答］
(1)
|a| > 2 １個，|a| = 2 ２個，|a| < 2 ３個
(2)
|a| > 2 １個，|a| = 2 ５個，|a| < 2 ９個
3
4
a, b, c を実数として，a = 0 とする。２次関数 f (x) = ax2 + bx + c が次の条件 (A),(B)
をみたすとする。(A)
f (−1) = −1, f (1) = 1
(B)−1 ≤ x ≤ 1 を満たすすべての x に対し
f (x) ≤ 3x2 − 1
このとき
I=
1
(f (x))2 dx
−1
の取りうる範囲を求めよ。
(03 東大 1)
［答］
I≥
√
44 − 16 3
3
4
5
a は 0 でない実数とする。関数
1
f (x) = (3x2 − 4)(x − a + )
4
の極大値と極小値の差が最小となる a を求めよ。
(98 東大 1)
［答］
a±1
5
6
n を２以上の自然数として
f (x) = xn + px + q(p, q : 実数)
の形の n 次関数について積分
I=
1
2
1
f (x)2 dx
−1
を考える。I を最小とするような (p, q) が唯一組存在することを示し，そのような (p, q)
と I の最小値を求めよ。
(93 東大 4)
［答］
(n − 1)2
(n + 2)2 (2n + 1)
6
7
a > 0, t > 0 に対して定積分
a
S(a, t) =
0
e−x −
1
dx を考える
t
(1) a を固定したとき、t の関数 S(a, t) の最小値 m(a) を求めよ
(2)
lim
a→0
m(a)
を求めよ
a2
(01 東工大 1)
［答］
(1)
a
(e− 2 − 1)2
(2)
1
4
7
8
実数 x に対して
π
2
f (x) =
0
| cos t − x sin 2t|dt
とおく。
(1) 関数 f (x) の最小値を求めよ
(2) 定積分
1
f (x)dx を求めよ
0
(11 東工大 2)
［答］
(1)
√
2−1
(2)
1
(1 + 2 log 2)
4
8
9
f (x) = 1 − cos x − x sin x
とおく。
(1) 0 < x < π において，f (x) = 0 は唯一の解を持つことを示せ
(2) π
J=
0
|f (x)|dx とする。(1) の唯一の解を α とするとき，J を sin α の式で表せ。
(3) (2) で定義された J と
√
2 の大小を比較せよ。
(10 東工大 1)
［答］
(1)
2 sin α
(2)
J>
√
2
9
10
実数 x に対し，x 以上の最小の整数を f (x) とする。a, b を正の実数とするとき，極限
lim xc
x→∞
1
1
−
f (ax − 7) f (bx + 3)
が収束するような実数 c の最大値とそのときの極限値を求めよ。
(8 東工大 2)
［答］
a = b のとき c = 1 b−a
10
，a = b のとき c = 2 2
ab
a
10
11
数列｛an ｝を次式で定義する。
e
an =
(log x)n dx (n = 1, 2, ………)
1
(1) n ≥ 3 のとき次の漸化式を示せ
an = (n − 1)(an−2 − an−1 )
(2)n ≥ 1 に対し，an > an+1 > 0 となることを示せ
(3)n ≥ 2 のとき，以下の不等式を示せ
a2n <
3・5・…………・(2n − 1)
(e − 2)
4・6・…………・2n
(05 東工大 1)
11
12
実数 a 対して, 積分
π
4
f (a) =
0
| sin x − a cos x|dx
を考える。f (a) の最小値を求めよ。
(2 東工大 1)
［答］
√
√
14 − 2 − 2
2
12
13
正の実数 a, b に対して
A = (a + b)p ，B = 2p−1 (ap + bp )
の大小関係を調べよ
(99 東工大 1)
［答］
0 < p < 1 A ≥ B ，p = 1 A = B ，1 < p A ≤ B 13
14
2 以上の自然数 n に対して，
1
0
n−1
t2n−1 et dt +
k=1
2n−1 P2n−2k
2k + 1
e = (2n − 1)!
を示せ。
(99 東工大 4)
14
15
(1) 極限値
2n
lim
n→∞
k=n
1
k
を求めよ
(2) 任意の正数 a に対して
2n
lim
n→∞
k=n
1
a+k
は (1) と同じ極限をもつことを証明せよ
(97 東工大 2)
［答］
(1)
log 2
15
16
点 P から放物線 y = 12 x2 へ２本の接線が引けるときの，x の接点を A,B とし，線分 PA,
PB およびこの放物線で囲まれる図形の面積を S とする。PA,PB が直交するときの S の
最小値を求めよ。
(09 東工大 1)
［答］
1
3
16
17
正の実数 a, b に対し，x > 0 で定義された２つの関数 xa と log bx のグラフが１点で接す
るとする。
(1) 接点の座標 (s, t) を a を用いて表せ。また b を a の関数として表せ。
(2) 0 < h < s を満たす h に対し，直線 x = h および２つの曲線 y = xa , y = log bx で
囲まれる領域の面積を A(h) とする。
lim A(h)
h→0
を a で表せ。
(08 東工大 1)
［答］
(1)
1
1
(a− a , a−1 ), b = (ea) a
(2)
1
1
a1− a
a+1
17
18
正の実数 a に対して，放物線 y = x2 との点 A(a, a2 ) における接線を A を中心に −30
°回転した直線を l とする。l と y = x2 との交点で A でない方を B とする。さらに点
(a, 0) を C, 原点を O とする。
(1) l の式を求めよ
(2) 線分 OC,CA と y = x2 で囲まれる部分の面積を S(a), 線分 AB と y = x2 で囲まれ
る部分の面積を T (a) とする。このとき，
lim
a→∞
T (a)
S(a)
を求めよ。
(東工大)
［答］
(1)
√
2 3−1
√ (x − a) + a2
y=
2a + 3
(2)
4
18
19
(1)a, b を正の実数とし，
g(t) =
1 a
t − log t
b
とおく。t > 0 における関数 g(t) の増減を調べ極値を求めよ。
(2)m を正の定数とし，xy 座標平面において条件
(a) y > x > 0
(b) すべての t > 0 に対し，
1 x
t − log t ≥ m
y
を満たす点（x, y ）からなる領域を D とする。D の概形を図示せよ。
(3) (2) の領域 D の面積を求めよ。
(06 東工大 2)
［答］
(1)
1
a
極小： (1 − log
b
b 1
)(x = ( )) a ，極大：なし
a
a
(2)
略
(3)
2e − 5
2m2
19
20
a, b を正の実数とする
(1) 区間 a < x における関数
f (x) =
x4
(x − a)3
の増減を調べよ。(2) 区間 a < x における関数
g(x) =
1
b
− 3
2
(x − a)
x
のグラフと相異なる３点で交わる x 軸に平行な直線が存在するための必要十分条件を求
めよ。
(東工大)
［答］
(1)
a ≤ x < 4a：減少，4a ≤ x：増加
(2)
512
a<b
81
20
21
xyz 空間の原点と点 (1,1,1) を通る直線を l とする。
(1) l 上の点 ( 3t , 3t , 3t ) を通り l と垂直な平面が、xy 平面と交わってできる直線の方程式を
求めよ。
(2) 不等式 0 ≤ y ≤ x(1 − x) の表す xy 平面内の領域を D とする。l を軸として D を回
転させて得られる回転体の体積を求めよ。
(09 東工大)
［答］
(1)
x+y =t
(2)
√
2 3π
45
21
22A
a を実数とし、x > 0 で定義された関数 f (x), g(x) を次のように定める。
f (x) =
cos x
x
g(x) = sin x + ax
このとき y = f (x) のグラフと y = g(x) のグラフが x > 0 において共有点をちょうど３
つ持つような a をすべて求めよ
(13 東大 2)
［答］
a=−
2 2
2
,
<a<
5π 7π
3π
1
22B
f (x) =
a
k
−
(k は正の定数)
2
x
x−2
が x > 2 の範囲に極値を持つときの a の範囲を求めよ。
(慶応医)
［答］
a>
27
k
4
2
放物線 y = x2 上に点 P,Q がある。線分 PQ の中点の y 座標を h とする。
(1) 線分 PQ の長さを L と傾き m で,h を表せ。
(2)L を固定したとき，h がとりうる値の最小値を求めよ。
(8 東大 4)
［答］
0<L≤1:
1 2
1
L ，1 < L : (2L − 1)
4
4
3
映像：（難問）極限１
24
関数 f (x) を
f (x) =
1
x 1 + e−2(x−1)
2
とする。
(1)x >
1
2
ならば 0 ≤ f (x) <
1
2
であることを示せ。
(2)x0 を正の数とするとき，数列 xn (n = 0, 1, 2, ………) を
xn+1 = f (xn )
によって定める。x0 >
1
であれば， lim xn = 1 であることを示せ。
2
n→∞
(5 東大 3)
4
25
a は正の実数とする。xy 平面の y 軸上に点 P(0, a) をとる。
y=
x2
+1
x2
のグラフを C とする。C 上の点 Q で次の条件を満たすものが原点 O 以外に存在するよ
うな a の範囲を求めよ。
条件：Q における C の接線が直線 PQ と直交する。
(2 東大 4)
［答］
a>
1
2
5
26
時刻 t における座標が
x = 2 cos t + cos 2t
y = sin 2t
で表される xy 平面上の点 P の運動を考える。
(1) P の速さ，すなわち速度ベクトル
dx dy
,
dt dt
の大きさの最大値と最小値を求めよ。
(2) t が 0 ≤ t < 2π の範囲を動く間に P が２回以上通過する点が唯一つ存在すること
を示し，その点を通過する各々の時刻 t での速度ベクトルを求め図示せよ。
(93 東大 6)
［答］
(1)
√
√
2 6
9
最大値： 13 ，最小値：
(2)
dx dy
,
dt dt
t=
π
: (−2, −2)
2
t = π : (0, 2)
t=
3
π : (2, −2)
2
6
27
(1) 自然数 n = 1, 2, 3, ……… に対して，ある多項式 pn (x), qn (x) が存在して，
sin nθ = pn (tan θ) cosn θ
cos nθ = qn (tan θ) cosn θ
と書けることを示せ。
(2) このとき，n > 1 ならば次の等式が成立することを証明せよ。
pn (x) = nqn−1 (x)
qn (x) = −npn−1 (x)
(91 東大 4)
7
28
xy 平面において座標 (x, y) が不等式
x ≥ 0, y ≥ 0, xy ≤ 1
を満たすような点 D(x, y) の作る集合を D とする。
1
c
３点 A(a, 0),B(0, b),C(c, ) を頂点とし，D に含まれる△ ABC はどのような場合に面積
が最大になるか。また，面積の最大値を求めよ。ただし，a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 とする。
(86 東大 1)
［答］
c,
1
c
に対して，
A(2c, 0), B(0, 0) または A(0, 0), B 0,
8
2
c
29
a ≥ 1 とする。xy 平面において，不等式
0≤x≤
π
，1 ≤ y ≤ a sin x
2
によって定められる領域の面積を S ，不等式
0≤x≤
π
，0 ≤ y ≤ a sin x ，0 ≤ y ≤ 1
2
によって定められる領域の面積を S2 とする。S2 − S1 を最大にするような a の値と
S2 − S1 の最大値を求めよ。
(85 東大 1)
［答］
√
2 3
π
a=
のとき 3
3
9
30
(1)0 < x < a を満たす実数 x, a に対し，次を示せ。
2x
<
a
a+x
a−x
1
dt < x
t
1
1
+
a+x a−x
(2) (1) を利用して，次を示せ。
0.68 < log 2 < 0.71
ただし，log 2 は 2 の自然対数である。
(07 東大 6)
10
31
x > 0 を定義域とする関数
f (x) =
12(e3x − 3ex )
e2x − 1
について以下の問に答えよ。
(1) 関数 y = f (x)(x > 0) は実数全体を定義域とする逆関数を持つことを示せ。すなは
ち，任意の実数 a に対して，f (x) = a となる x > 0 がただ１つ存在することを示せ。
(2) 前問 (1) で定められたが逆関数を y = g(x)(−∞ < x < ∞) とする。このとき
27
g(x)dx
8
を求めよ。
(06 東大 6)
［答］
39 log 3 − 20 log 2 − 12
11
32
半径 10 の円 C がある。半径 3 の円板 D を，円 C に内接させながら円 C の円周に沿っ
て滑らすことなく転がす。円板 D の周上の１点を P とする。点 P が円 C の円周に接し
てから再び円 C の円周に接するまでに描く曲線は，円 C を２つの部分に分ける。小さい
方の面積を求めよ。
(04 東大 3)
［答］
108π
5
12
33
O を原点とする xyz 空間に点 R
k
n, 1
− nk , 0 , (k = 0, 1, …………, n) をとる。また，x 軸
上 z ≥ 0 の部分に点 Qk を線分 Pk Qk の長さが 1 になるようにとる。三角錐 OPk Pk+1 Qk
の体積を Vk とおいて，極値 lim
n→∞
n−1
Vk を求めよ。
k=0
(02 東大 5)
［答］
√
2
π
48
13
34
次の等式を満たす関数 f (x)(0 ≤ x ≤ 2π) がただ１つ定まるための実数 a, b の条件を求め
よ。またそのときの f (x) を決定せよ。
f (x) =
a
2π
2π
sin(x + y)f (y)dy +
0
b
2π
2π
0
cos(x − y)f (y)dy + sin x + cos x
ただし，f (x) は 0 ≤ x ≤ 2π で連続な関数とする。
(01 東大 2)
［答］
2
(sin x + cos x)
2−a−b
14
35
実数 t > 1 に対し，xy 平面上の点 O(0,0),P(1,1),Q t,
1
t
を頂点とする三角形の面積を
a(t) とし，線分 OP,OQ と双曲線 xy = 1 とで囲まれた部分の面積を b(t) とする。この
とき
c(t) =
b(t)
a(t)
とおくと，関数 c(t) は t > 1 においてつねに減少することを示せ。
(01 東大 3)
15
36
π
ex sin2 xdx > 8 を示せ。
0
π = 3.14………, e = 2.71……
(99 東大 6)
16
37
f (x) = 1 − sin x に対し，
x
g(x) =
0
(x − t)f (t)dt
このとき，任意の実数 x, y について，
g(x + y) + g(x − y) ≥ 2g(x)
が成り立つことを示せ。
(95 東大 2)
17
38
a を正の実数とし，空間内の２つの円板
D1 =｛(x, y, z|x2 + y 2 ≤ 1, z = a)｝
D2 =｛(x, y, z|x2 + y 2 ≤ 1, z = −a)｝
を考える。D1 を y 軸回りに 180°か移転して D2 に重ねる。ただし，回転は z 軸の正の
部分を x 軸の正の方向に傾ける向きとする。この回転の間に D1 が通る部分を E とする。
E の体積を V (a) とし，この回転の間に，D1 が通る部分を E とする。E の体積を V (a)
とし，E と｛(x, y, z)|x ≥ 0｝との共通部分の体積を W (a) とする。
(1)W (a) を求めよ。
(2)
lim V (a)
a→∞
を求めよ。
(09 東大 4)
［答］
(1)
2
π
3
(2)
2
π
3
18
39
r を正の実数とする。xyz 空間において
x2 + y 2 ≤ r 2
y2 + z 2 ≥ r2
z 2 + x2 ≤ r2
をみたす点全体がなす立体の体積を求めよ。
(05 東大 6)
［答］
√
32
8 2−
3
r3
19
40
r を正の実数とする。xyz 空間内の原点 (0,0,0) を中心とする半径１の球を A，点 P(r, 0, 0)
を中心とする半径 1 の球を B とする。球 A と球 B の和集合の体積を V とする。ただし，
球 A と球 B の和集合とは，球 A または球 B の少なくとも一方に含まれる点全体よりな
る立体のことである。
(1) V を r の関数として表し，グラフの概形を書け。
(2) V = 8 となるとき，r の値はいくらか。四捨五入して小数第一位まで求めよ。
(3.14 < π < 3.15)
(04 東大 5)
［答］
(1)
r≥2:
8
π
π ，0 < r < 2 :
12r − r3 + 16
3
12
(2) 1.5
20
41
xyz 空間において，平面 z = 0 との原点を中心とする半径 2 の円を底面とし，点 (0,0,1)
を頂点とする円すいを A とする。半径 2 の円を底面とし，点 (0,0,1) を頂点とする円すい
を A とする。次に平面 z = 0 上の点 (1,0,0) を中心とする半径 1 の円を H, 平面 z = 1 上
の点 (1,0,1) を中心とする半径 1 の円を K とする。H と K を２つの底面とする円柱を B
とする。
円すい A と円柱 B の共通部分を C とする。0 ≤ t ≤ 1 を満たす実数 t に対し，平面 z = t
により C の切り口の面積を S(t) とおく。
(1) 0 ≤ θ ≤
(2) C の体積
π
とする。t = 1 − cos θ のとき S(t) を θ で表せ。
2
1
S(t)dt
0
を求めよ。
(03 東大 3)
［答］
(1)
S = π − 2θ − sin 2θ + 4θ cos2 θ
(2) π−
16
9
21
42
xyz 空間内の円板 x2 + y 2 = R2 , R > 0 を側面とする容器に，水面が z = 0 と一致するよ
うに z ≤ 0 の部分に水が入っている。z ≥ 0 に対して定義された連続な関数 r(z) で
r(0) = 0，0 ≤ r(z) < R
をみたすものを考える。xz 平面内の不等式
0 ≤ x ≤ r(z) ，z ≥ 0
で表される領域を z 軸まわりに１回転してできる回転体を毎秒１の速さで下に動かすと，
t 秒後には水面が z = f (t) に上昇するという。
t ≥ 0 に対し，f (t) = et − t − 1 であるとき，関数 r(z) を決定せよ。
(96 東大 5)
［答］
r(z) = R
z
z+1
22
43
xyz 空間において条件
x2 + y 2 ≤ z 2 ，z 2 ≤ x ，0 ≤ z ≤ 1
を満たす点 P(x, y, z) の全体からなる立体を考える。この立体の体積を V とし，0 ≤ k ≤ 1
に対し，z 軸と直交する平面 z = k による切り口の面積を S(k) とする。
(1)k = cos θ とおくとき S(k) を θ で表せ。ただし，0 ≤ θ ≤
(2)V の値を求めよ。
π
とする。
2
(94 東大 3)
［答］
(1)
θ cos2 θ − sin θ cos3 θ
(2)
4
45
23
44
f (x) = πx2 sin πx2 とする。y = f (x) のグラフの 0 ≤ x ≤ 1 の部分と x 軸とで囲まれた
図形を y 軸まわりに回転させてできる立体の体積 V は，
1
V = 2π
xf (x)dx
0
で与えられることを示し，この値を求めよ。
(89 東大 5)
［答］
π
24
45
xyz 空間において，点 P は yz 平面上に放物線 z = 1 − y 2 上にあるとする。点 A(1,0,1)
と P を結ぶ直線を x 軸まわりに回転して得られる曲面と２平面 x = 0, x = 1 によって囲
まれる部分の体積を V とする V を P の y 座標で表せ。また V の最小値を求めよ。
(87 東大 4)
［答］
V =
π 4
2
(y − 2y 2 + 3) ，最小値： π
3
3
25
46 次の不等式を考える。2 以上の自然数 n,k = 1, 2, ……… とし xk > 0 とすると，
x1 + x2 + ………… + xn
≥n
n
が成立することを示す。
x1 + x2 + ………… + xn
(1)
n
n
k=1
x1 x2 ………xn
= α とするとき，
1
xk
α
を求めよ。
(2) y = log x において，このグラフが上に凸であることと，x = α から引いた接線の方程
式を示せ。
(3) 上の不等式を示せ。
(創作)
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