講演のスライド

2014 年 9 月 26 日
実簡約 Lie 群と次数 Hecke 環の表現論のつながり
織田寛（拓殖大学）
1 概要
実簡約 Lie 群 G = KAN に対して，ある次数 Hecke 環 H が定まる．
両者の表現論の間には強い類似性があり，多くの直接的な結びつきがある．
1. 自然な (gC , K) 加群と H 加群の対とその間の写像：
• 動径成分への制限写像 γ0 : C ∞ (G/K) → C ∞ (A)
• ある射影加群の間の Harish-Chandra 写像 γ : PG (Ctriv ) → PH (Ctriv )
• 球主系列の間の制限写像 γB(λ) : BG (λ) → BH (λ)
2. 重要な G 準同型とその H 版：
λ
λ
• Poisson 変換 PG
: BG (λ) → C ∞ (G/K) とその H 版 PH
• Knapp-Stein 型繋絡作用素 A˜G (w, λ) : BG (λ) → BG (wλ) とその H 版 A˜H (w, λ)
• Helgason-Fourier 変換 FG : C ∞ (G/K)c → C ∞ (a∗ × K/M ) と
Opdam-Cherednik 変換 FH : C ∞ (A)c → C ∞ (a∗ × W )
3. 既約 G 加群の Langlands 分類と，Evens による既約 H 加群の分類の類似性．
4. 古典型スプリット単純群 G と対応する H の球ユニタリ双対の一致（Barbasch）．
5. G = GL(n, C), GL(n, R), U (p, q), O(p, q), Sp(2n, R) のときに G 加群を H 加群に写
す Ciubotaru-Trapa 関手 FZ （エルミート性，ユニタリ性を保つ）
．
1.1 動径対
Q. (gC , K) 加群 MG と H 加群 MH が“対応する”ということを定式化できるか？
動径成分への制限写像
γ0 : C ∞ (G/K) → C ∞ (A)
は一般化された Chevalley 制限定理と一般化された動径成分公式を満たす．実は，こ
の 2 つと形式的に同じ性質を
• 射影加群の間の Harish-Chandra 写像 γ : PG (Ctriv ) → PH (Ctriv )
• 球主系列の間の制限写像 γB(λ) : BG (λ) → BH (λ)
も持っている．
A. 一般化された Chevalley 制限定理と一般化された動径成分公式を抽象化した公理
系を満たす (gC , K) 加群 MG と H 加群 MH は互いに対応していると考え，対
(MG , MH ) を動径対と呼ぶ．
※ G が Ciubotaru-Trapa 関手 FZ を持ち，(MG , MH ) が“良い”動径対であるとき
FZ (MG ) = MH となるが，この等式は動径対の条件よりかなり弱い．
1.2 動径対の圏と射
Q. (gC , K)-準同型 IG : MG → NG と H 準同型 IH : MH → NH が“対応する”と
いうことを定式化できるか？
A. 動径対を対象とする圏 Crad が定義できる．射
I = (IG , IH ) : (MG , MH ) → (NG , NH )
は，(gC , K) 準同型 IG : MG → NG と H 準同型 IH : MH → NH の対で，ある
条件を満たすもの．射を構成する IG と IH は，互いに対応していると考える．
例.
(
)
(
)
: BG (λ), BH (λ) −→ A (G/K, λ), A (A, λ)
(
)
(
)
˜
˜
(AG (w, λ), AH (w, λ)) : BG (λ), BH (λ) −→ BG (wλ), BH (wλ)
( ∞
)
( ∞ ∗
)
∞
∞ ∗
(FG , FH ) : Cc (G/K), Cc (A) −→ C (a × K/M ), C (a × W )
λ
λ
(PG
, PH
)
はすべて Crad の射．
※ A (G/K, λ) ⊂ C ∞ (G/K) は不変微分作用素環の作用における同次固有関数の空間．
G = N AK : 実簡約 Lie 群,
g ∗ × K/M ) o
PW(a
_
λ ∈ a∗C ,
w ∈ W = W (g, a).
FG Helgason-Fourier transform
−1
JG =FG
=
∫⊕
iλ
PG
|c(λ)|−2 dλ
/ Cc∞ (G/K)
_
G acts by ℓ(·) ↷ C ∞ (G/K)
C ∞ (a∗ × K/M ) ↶ G acts fiberwise
O
?
¯
−λ
IG
¯· dual /
fiber if λ ∈ ia∗
¯ o
BG (−λ)
PG (Ctriv ) o
A (G/K)
7
O
¯· dual
fiber
?
w
(
λ
PG
Poisson transform
/ A (G/K, λ)
BG (λ)
3
1
6
⟲
˜G (w,λ) Knapp-Stein type
A
intertwiner
;
wλ
PG
BG (wλ)
H = S(aC ) ⊗ CW : 次数 Hecke 環,
g ∗ × W) o
PW(a
_
λ ∈ a∗C ,
w ∈ W = W (g, a).
FH Opdam-Cherednik transform
−1
JH =FH
=
∫⊕
iλ
PH
|c(λ)|−2 dλ
/ Cc∞ (A)
_
H acts by T (θH ·) ↷ C ∞ (A)
C ∞ (a∗ × W ) ↶ H acts fiberwise
O
?
¯
−λ
IH
¯· dual
fiber if λ ∈ ia∗
¯ o
/ A (A)
BH (−λ)
PH (Ctriv ) o
7
O
¯· dual
fiber
?
w
(
λ
PH
“Poisson transform”
/ A (A, λ)
BH (λ)
3
1
6
⟲
˜H (w,λ) “Knapp-Stein type
A
intertwiner”
;
wλ
PH
BH (wλ)
2 Chevalley 制限定理と動径成分公式
Chevalley 制限定理と動径成分公式の一般化の具体例を，P SL(2, R) に対する Cartan
運動群の場合に記述したこの節は，講演では省略します．
3 動径対の定義
3.1 実簡約 Lie 群 G と single-petaled K タイプ
G = N AK : Harish-Chandra 級の実簡約 Lie 群（とその岩澤分解）
θ : Cartan 対合
g = n + a + k : Lie 環
M := CentK (A)
Σ = Σ(g, a) : 制限ルート系
∑
g = a + m + α∈Σ gα : ルート空間分解
b : K タイプの集合 ⊃ K
b M := {V ∈ K;
b V M ̸= {0}} (M -spherical K タイプ)
K
定義 1 (O, 2007). 各 α ∈ Σ に対して Xα ∈ gα \ {0} を [Xα , θXα ] = −α∨ となるよう
b M は条件
に規格化し，Zα = Xα + θXα ∈ k と置く．K タイプ V ∈ K
Zα (Zα2 + 4)V M = {0} ∀α ∈ Σ
b sp := {V ; single-petaled}．
とき single-petaled であるという．K
quasi-single-petaled K タイプについては，本講演では省略．
W = W (G, A) = NormK (A)/M : Weyl 群
b M ⇒ V M は W 加群．
V ∈K
注意 2.
(i) G が複素 Lie 群のとき，single-petaled ⇒ Broer の意味で“small”．
(ii) G がスプリット単純型のとき，Barbasch の意味で“petite”⇒ single-petaled．
(iii) 自明表現 Ctriv は single-petaled．Cartan 分解 g = k + s に対し，K 加群 sC の各既
約部分加群は single-petaled．
c に対して
(iv) G = GL(n, C), GL(n, R), U (p, q), O(p, q), Sp(2n, R) のとき各 U ∈ W
b sp がある．
V M ≃ U となる V ∈ K
b sp < ∞．
(v) #K
3.2 次数 Hecke 環 H
m(α) := dim gα + 2 dim g2α (α ∈ Σ \ 2Σ) : 重複度関数
sα ∈ W ⊂ EndR (a) : α ∈ Σ が定める鏡映
Π ⊂ Σ : n に対応する単純ルートの集合
命題 3 (Lustzig).
H := S(aC ) ⊗ CW に以下の環構造が一意に入る：
(i) f 7→ f ⊗ 1，w 7→ 1 ⊗ w により S(aC ) と CW は H の部分環．
(ii) φ ∈ S(aC ), w ∈ W に対して φ · w = φ ⊗ w．
(iii) α ∈ Π，ξ ∈ aC に対して
sα · ξ = sα (ξ) · sα − m(α) α(ξ)．
3.3 射影加群と Harish-Chandra 写像
b M に対して 2 つの射影加群
V ∈K
PG (V ) := U (gC ) ⊗U (kC ) V
∈ (gC , K)-Mod,
PH (V M ) := H ⊗CW V M
∈ H-Mod
の間の Harish-Chandra 写像を
γV : PG (V ) = U (nC + aC ) ⊗C V
(
) ( M ⊥
)
M
= nC U (nC + aC ) ⊕ S(aC ) ⊗ (V ) ⊕ V
= nC U (nC + aC ) ⊗ V ⊕ S(aC ) ⊗ (V M )⊥ ⊕ S(aC ) ⊗ V M
−ρだけ平行移動
射影
−−→ S(aC ) ⊗ V M −−−−−−−−−→ S(aC ) ⊗ V M ≃ PH (V M )
で定める．
ここで
1 ∑
(dim gα )α ∈ a∗ ．
ρ :=
2
+
α∈Σ
b M . 線形写像
E, V ∈ K
M
M
ΓE
))
V : HomgC ,K (PG (E), PG (V )) → HomaC (PH (E ), PH (V
を，Ψ ∈ HomgC ,K (PG (E), PG (V )) を
PG (E)
Ψ
γE
PH (E M )
/ PG (V )
γV
ΓE
V (Ψ)
/ PH (V M )
が可換になるような唯一の ΓE
V (Ψ) に写すものと定める．
関手性.
b M と Ψ′ ∈ Homg ,K (PG (V ), PG (F )) に対して
別の F ∈ K
C
′
V
′
E
ΓE
(Ψ
◦
Ψ)
=
Γ
(Ψ
)
◦
Γ
F
F
V (Ψ).
b sp とする．
定理 4 (Harish-Chandra 準同型). E, V ∈ K
(i) ΓE
V は線形写像
(3)
M
M
ΓE
))
V : HomgC ,K (PG (E), PG (V )) → HomH (PH (E ), PH (V
を定める．
(ii) E = Ctriv または V = Ctriv のとき (3) は同型写像になる．
3.4 動径対の定義
b sp に対して
MG ∈ (gC , K)-Mod，MH ∈ H-Mod．各 V ∈ K
• 線形写像 ΓVM : HomK (V, MG ) → HomW (V M , MH )
M
（ ΓV
:
Hom
(P
(V
),
M
)
→
Hom
(P
(V
), MH ) と見做せる．）
g
,K
G
G
H
H
C
M
• 部分空間 Hom2→2
K (V, MG ) ⊂ HomK (V, MG )
が与えられていて次が満たされるとき，M = (MG , MH ) を動径対と呼ぶ：
b M に属する．
(RP1) MG の K タイプはすべて K
b sp に対して
(RP2) 各 V ∈ K
∼
ΓVM : Hom2→2
→ HomW (V M , MH ).
K (V, MG ) −
b sp , Φ ∈ Homg ,K (PG (V ), MG ), Ψ ∈ Homg ,K (PG (E), PG (V )) に対して
(RP3) E, V ∈ K
C
C
V
E
ΓE
(Φ
◦
Ψ)
=
Γ
(Φ)
◦
Γ
M
M
V (Ψ).
また，Φ ∈ Hom2→2 ⇒ Φ ◦ Ψ ∈ Hom2→2 ．
(RP4) quasi-single-petaled K タイプに対する同様の条件（説明略）．
4 Riemann 対称空間上の関数
C ∞ (G/K)K-finite : (gC , K) 加群
C ∞ (A) : W の通常の作用と ξ ∈ aC の Cherednik 作用素
T (ξ) = −∂(ξ) +
∑
α∈Σ+
m(α)
α(ξ)
(1 − sα ) − ρ(ξ)
2α
1−e
による作用により H = S(aC ) ⊗ CW が作用．
γ0 : C ∞ (G/K) → C ∞ (A) : 制限写像
b sp に対して
各V ∈ K
• 線形写像 ΓV0 : HomK (V, C ∞ (G/K)) → HomW (V M , C ∞ (A)) ; Φ 7→ γ0 ◦ Φ|V M
∞
∞
• 部分空間 Hom2→2
K (V, C (G/K)) = HomK (V, C (G/K))
を定めると，対 (C ∞ (G/K)K-finite , C ∞ (A)) が動径対になる．
4.1 同次固有関数の空間
λ ∈ a∗C : スペクトルパラメータ
{
}
∞
K
A (G/K, λ) = f ∈ C (G/K); r(∆)f = γ(∆)(λ)f ∀∆ ∈ U (gC ) ,
{
}
∞
W
A (A, λ) = f ∈ C (A); T (∆)f = ∆(−λ)f ∀∆ ∈ S(aC ) .
ここで，r は G の右乗法に由来する作用．
b sp に対して同型
各V ∈ K
∼
ΓV0 : HomK (V, A (G/K, λ)) −
→ HomW (V M , A (A, λ))
が示され，(A (G/K, λ)K-finite , A (A, λ)) は動径対になる．
5 射影加群
射影加群の対 (PG (Ctriv ), PH (Ctriv )) = (U (gC ) ⊗U (kC ) Ctriv , H ⊗CW Ctriv ) は，各
b sp に対して
V ∈K
• 線形写像 ΓVCtriv : HomgC ,K (PG (V ), PG (Ctriv )) → HomH (PH (V M ), PH (Ctriv ))
（Harish-Chandra 準同型）
• 部分空間 Hom2→2
K (V, PG (Ctriv )) = HomK (V, PG (Ctriv ))
と定めると動径対になる．
6 球主系列
スペクトルパラメータ λ ∈ a∗C を持つ極小球主系列：
{
}
∞
λ−ρ
BG (λ) := F ∈ C (G); F (g man) = a
F (g) (g, m, a, n) ∈ G × M × A × N ,
{
}
∗
t
BH (λ) := F ∈ H ; F (h ξ) = −λ(ξ)F (h) (h, ξ) ∈ H × aC .
ここで，t · は H のある反環同型．
BG (λ) ≃ C ∞ (K/M ), BH (λ) ≃ Map(W , C), W = NormK (A)/M ⊂ K/M である
から，
“制限写像”
γB(λ) : BG (λ) → BH (λ) ;
F 7→ F |W
が定義される．
b sp に対して
各V ∈ K
• 線形写像 ΓVB(λ) : HomK (V, BG (λ)) → HomW (V M , BH (λ)) ; Φ 7→ γB(λ) ◦ Φ|V M
• 部分空間 Hom2→2
K (V, BG (λ)) = HomK (V, BG (λ))
を定めると，対 (BG (λ)K-finite , BH (λ)) は動径対になる．
7 動径対の圏 Crad
M = (MG , MH )，N = (NG , NH ) ∈ Crad ．
射 I : M → N は，(gC , K) 準同型 IG : MG → NG と H 準同型 IH : MH → NH の対
I = (IG , IH ) で，以下を満たすもの：
b sp に対して次は可換：
(M1) 各 V ∈ K
HomK (V, MG )
IG ◦·
ΓV
M
HomW (V M , MH )
/ HomK (V, NG )
ΓV
N
IH ◦·
/ HomW (V M , NH )
2→2
b sp と各 Φ ∈ Hom2→2
(M2) 各 V ∈ K
K (V, MG ) に対して，IG ◦ Φ ∈ HomK (V, NG )．つま
り次の写像が定義できる：
Hom2→2
K (V, MG )
IG ◦·
/ Hom2→2
K (V, NG ).
(M3) quasi-single-petaled K タイプに対する (M1) と (M2) に相当する条件（説明略）．
この定義により Crad は Abel 圏になる．
8 Poisson 変換
λ
λ ∈ a∗C とする．Poisson 変換 PG
: BG (λ) → A (G/K, λ) は
∫
λ
(λ+ρ)A(k−1 x)
PG F (x) =
F (k) e
dk
K
で定まる G 準同型．ここで A(g) (g ∈ G) は g ∈ N exp A(g) K を満たす ∈ a の元．
定理 6 (Opdam の非対称超幾何関数). 次を満たす G(λ, x) ∈ C ∞ (A) が唯一存在：
(
∑

 ∂(ξ) +
m(α)


α∈Σ+
)
α(ξ)
(1 − sα ) − ρ(ξ) G(λ, x) = λ(ξ) G(λ, x) ∀ξ ∈ aC ,
1 − e−2α
G(λ, 1) = 1.
命題 8. 次の写像が定義され，H 準同型になる：
λ
PH
1 ∑
: BH (λ) ∋ F (h) 7−→
F (w) G(λ, w−1 x) ∈ A (A, λ).
|W |
w∈W
定理 9 (O, 2014).
λ
λ
(PG
, PH
)
(
)
(
)
: BG (λ)K-finite , BH (λ) −→ A (G/K, λ)K-finite , A (A, λ) .
は動径対の射．
b sp ，各 Φ ∈ HomK (V, BG (λ)) に対して 2 つの写像
特に各 V ∈ K
V
V
M
M
λ
PG
γ0
,→ V −
→ BG (λ) −−→ A (G/K, λ) −→ C ∞ (A),
Φ
γB(λ)
λ
PH
,→ V −
→ BG (λ) −−−→ BH (λ) −−→ A (A, λ) ,→ C ∞ (A)
Φ
は一致する．
これはより具体的には
∫
Φ[v](k) e
K
(λ+ρ)(A(k−1 x))
1 ∑
dk =
Φ[v](w)
¯ G(λ, w−1 x) ∀v ∈ V M , ∀x ∈ A
|W |
w∈W
と書ける（w
¯ ∈ NormK (A) は w ∈ W の任意の代表）．
9 他の例
w ∈ W とジェネリックな λ ∈ a∗C に対して定まる Knapp-Stein 型の繋絡作用素とその
H 版の対：
(
)
(
)
˜
˜
(AG (w, λ), AH (w, λ)) : BG (λ)K-finite , BH (λ) −→ BG (wλ)K-finite , BH (wλ)
は Crad の射．
Helgason-Fourier 変換と Opdam-Cherednik 変換の対：
(FG , FH ) :
(
)
Cc∞ (G/K)K-finite , Cc∞ (A)
は Crad の射．
(
∞
∗
∞
∗
−→ C (a × K/M )K-finite , C (a × W )
)
10 Crad に関わる関手（Ξrad ，Ξmin ，Ξ）
b M に属する (gC , K) 加群の圏
(gC , K)-ModM : 各 K タイプが K
(gC , K)-Modsph : 各組成因子が球主系列の組成因子である有限長 (gC , K) 加群の圏
H-Modfd : 有限次元 H 加群の圏
Ξrad , Ξmin , Ξ : H-Mod −→ (gC , K)-ModM
• X ∈ H-Mod に対して (Ξrad (X ), X ) などは動径対となり，Crad の全射の列を得る：
(Ξrad (X ), X ) ↠ (Ξmin (X ), X ) ↠ (Ξ(X ), X ).
• 中心指標を持つ H 加群を，対応する無限小指標を持つ (gC , K) 加群に写す．
• 有限次元 H 加群を，有限長 (gC , K) 加群に写す．
• Ξmin , Ξ の制限として次の関手を得る：
Ξmin , Ξ : H-Modfd −→ (gC , K)-Modsph .
• 有限次元 H 加群の不変 Hermite 形式を，{ΓV− }V ∈Kb sp と両立性を持つ (gC , K) 加群の
不変 Hermite 形式に持ち上げることができる．
定理 10 (Ξrad の普遍性). 関手
H-Mod ∋ X 7−→ (Ξrad (X ), X ) ∈ Crad
は関手
Crad ∋ (MG , MH ) 7−→ MH ∈ H-Mod
の左随伴関手．
Ξmin は n ホモロジーに関連する普遍性を持つが詳細は省略．
定理 12 (Ξ の普遍性). 各 M = (MG , MH ) ∈ Crad に対して，適当な操作で被約な動
˜ = (M
˜ G, M
˜ H ) を作ることができる．このとき
径対 M
˜ H) = M
˜ G.
Ξ(M
11 Ciubotaru-Trapa 関手
G は GL(n, C), GL(n, R), U (p, q), O(p, q), Sp(2n, R) のいずれかとする．
(Ciubotaru-Trapa 関手, 2011)
FZ : (gC , K)-ModM −→ H-Mod
( FZ : (gC , K)-Modsph −→ H-Modfd )
定理 13 (O, 2014). Ξrad ，Ξmin ，Ξ はいずれも FZ の右逆となる．
定理 14 (O, 2014). FZ は (gC , K)-Modsph の既約加群を既約加群か 0 に写す．逆に，
既約な X ∈ H-Modfd に対して FZ (Y ) = X となる既約な Y ∈ (gC , K)-Modsph が同
型の除いて一意的に存在する．従って (gC , K)-Modsph の既約加群の同値類の集合を
(g\
C , K)sph で表すと，自然な埋め込み
b ,→ (g\
IZ : H
C , K)sph
が得られる．ここで，それぞれにおいて不変 Hermite 内積を持つものの部分集合を
Herm，不変ユニタリ内積を持つものの部分集合を uni の記号を付けて表すと
Herm
b Herm ) = IZ (H)
b ∩ (g\
IZ (H
C , K)sph ,
uni
b uni ) ⊃ IZ (H)
b ∩ (g\
IZ (H
C , K)sph .
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