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§1. 距離空間とその開集合
この節では、距離空間の定義と距離空間における開集合と閉集合の性質を復習する。
● 1 - 1 : 距離空間の定義
n
√ ユークリッド空間 R 内の 2 点 x = (x1 , · · · , xn ), y = (y1 , · · · , yn ) の距離とは、d(x, y) =
n
∑
(xi − yi )2 のことであった。幾何学的には、この距離は 2 点 x, y を端点とする線分の長さ
i=1
を表している。この距離が満たしている性質を抽象化することにより、一般の集合上にも距離
の概念が導入される。
定義 1 - 1
X を集合とする。d : X × X −→ R が X 上の距離であるとは、次の３条件 (距離の公理と
呼ばれる) が成り立つときをいう。
(D1) 任意の x, y ∈ X に対して d(x, y) ≥ 0 であり、
d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
(D2) 任意の x, y ∈ X に対して
d(x, y) = d(y, x).
(D3) (三角不等式) 任意の x, y, z ∈ X に対して
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
距離が１つ指定されている集合を距離空間という。すなわち、距離空間とは、集合 X とそ
の上の距離 d との組 (X, d) のことを意味する。
(n)
(n)
例 1 - 2 ３つの関数 d(n) , d1 , d∞ : Rn × Rn −→ R を次で定義する。x = (x1 , · · · , xn ), y =
(y1 , · · · , yn ) ∈ Rn に対して
d
(1 - 1 a)
(n)
n √
∑
(x, y) =
(xi − yi )2 ,
i=1
(n)
(1 - 1 b)
d1 (x, y) =
n
∑
|xi − yi |,
i=1
(n)
d∞
(x, y) = max |xi − yi |
(1 - 1 c)
1≤i≤n
(n) (n)
により定義する。d(n) , d1 , d∞
はすべて Rn 上の距離である。このうち、d(n) を Rn 上のユー
クリッド距離といい、距離空間 (Rn , d(n) ) を n 次元ユークリッド空間という。
2
y=
3
y=
x=
x=
–1–
例 1 - 3 集合 X 上の関数 d : X × X −→ R を
{
1
(1 - 1 d)
d(x, y) =
0
(x 6= y),
(x = y)
により定義する。d は X 上の距離である。この d を X 上の離散距離と呼ぶ。
● 1 - 2 : ε-近傍
(X, d) を距離空間とする。X 内の各点 a と正の実数 ε に対して
U (a; ε) := { x ∈ X | d(a, x) < ε }
(1 - 2 a)
を a を中心とする X における ε-近傍と呼ぶ。
「X における」ε-近傍であることを強調したいと
きには、UX (a; ε) と書くことにする。
(2)
(2)
(2)
例 1 - 4 R2 の距離として、例 1- 2 の３つの距離 d(2) , d1 , d∞ を考える。(R2 , d(2) ), (R2 , d1 ),
(2)
(R2 , d∞ ) における原点 0 の ε-近傍はそれぞれ次図のようになる。
ε
ε
ε
-ε
ε
ε
-ε
-ε
-ε
d(2)
ε
-ε
d1(2)
-ε
(2)
d∞
● 1 - 3 : 開集合とその性質
(X, d) を距離空間とする。X の部分集合 U が (X, d) における開集合であるとは、
∀ a ∈ U, ∃ ε > 0 s.t. U (a; ε) ⊂ U
(1 - 3 a)
が成り立つときをいう。
例 1 - 5 距離空間 (X, d) において、任意の点 a ∈ X における ε-近傍 U (a; ε) は開集合である。
解；
任意に p ∈ U (a; ε) をとり、δ := ε − d(a, p) と定める。δ > 0 であり、U (p; δ) ⊂ U (a; ε) が
成り立つ。実際、任意に x ∈ U (p; δ) をとると、
d(a, x) ≤ d(a, p) + d(p, x) = ε − δ + d(p, x) < ε
となる。故に、x ∈ U (a; ε) である。
定理 1 - 6
距離空間 (X, d) の開集合は以下の性質を満たす。
(O1) 空集合 ∅ および X は (X, d) における開集合である。
(O2) U, V が (X, d) の開集合ならば、U ∩ V も (X, d) の開集合である。
∪
Uλ も (X, d) の開集合である。
(O3) Uλ (λ ∈ Λ) が (X, d) の開集合ならば、
λ∈Λ
–2–
(証明)
(O1) ∅ からは元をとることができないので、∅ は X における開集合である (背理法で示す
こともできる)。また、任意の a ∈ X に対して、ε = 1 にとると、U (a; ε) ⊂ X であるから、X
は X の開集合である。
(O2) 任意に a ∈ U ∩ V をとる。a ∈ U かつ a ∈ V となる。U, V は開集合なので、
∃ ε1 > 0 s.t. U (a; ε1 ) ⊂ U,
∃ ε2 > 0 s.t. U (a; ε2 ) ⊂ V
が成り立つ。そこで、ε := min{ε1 , ε2 } とおくと、U (a; ε) ⊂ U (a; ε1 ) ⊂ U, U (a; ε) ⊂ U (a; ε2 ) ⊂
V が成り立つ。よって、U (a; ε) ⊂ U ∩ V となる。
∪
(O3) 任意に a ∈
Uλ をとる。a ∈ Uλ となる λ ∈ Λ が存在する。Uλ は X の開集合な
λ∈Λ
ので、
∪
が成り立つ。U (a; ε) ⊂ U ⊂
∃ ε > 0 s.t. U (a; ε) ⊂ U
Uλ であるから、(O3) も成り立つ。
λ∈Λ
k
∩
注意：(O2) より、有限個の開集合 U1 , · · · , Uk に対して、 Ui は X の開集合であることがわ
i=1
∩
かる。しかし、無限個の開集合 Uλ (λ ∈ Λ) に対しては
Uλ は X の開集合になるとは限ら
λ∈Λ
ない。
● 1 - 4 : 閉集合とその性質
(X, d) を距離空間とする。X 内の点列 {xn }∞
n=1 が点 a ∈ X に収束するとは、実数列
{d(xn , a)}∞
n=1 が 0 に収束するときをいう。このとき、 lim xn = a と書く。
n→∞
lim xn = a ⇐⇒
n→∞
lim d(xn , a) = 0
n→∞
である。
X の部分集合 C が (X, d) における閉集合であるとは、C の中の収束する任意の点列 {xn }∞
n=1
に対して、その極限が常に C に含まれるときをいう。
閉集合と開集合とは互いに補集合の関係が成り立つ。すなわち、
定理 1 - 7
距離空間 (X, d) の部分集合 U に対して次が成り立つ。
U が (X, d) の開集合 ⇐⇒ X − U が (X, d) の閉集合
(証明)
=⇒ の証明：{xm }∞
m=1 を X − U 内の収束する点列とする。もし、a = lim xm ∈ U であると
m→∞
仮定すると、U は X の開集合であるから、U (a; ε) ⊂ U となる ε > 0 が存在する。a = lim xm
m→∞
であるから、
∃ N ∈ N s.t. m > N ⇒ d(xm , a) < ε
が成り立つ。d(xN +1 , a) < ε より xN +1 ∈ U (a; ε) ⊂ U となる。これは、{xm }∞
m=1 が X − U
内の点列であることに反する。よって、a ∈ X − U であり、X − U は X の閉集合である。
⇐= の証明：任意に a ∈ U をとる。もし、どのような実数 ε > 0 に対しても U (a; ε) 6∈ U で
あったと仮定すると、各 εm =
1
m
(m = 1, 2, 3, · · · ) に対して、xm 6∈ U となる xm ∈ U (a; εm ) が
–3–
∞
存在する。xm 6∈ U より、{xm }∞
m=1 は X − U 内の点列であり、xm ∈ U (a; εm ) より、{xm }m=1
は a に収束する点列である。仮定により、a = lim xm ∈ X − U となる。これは a ∈ U に矛
m→∞
盾する。よって、ある実数 ε > 0 に対して U (a; ε) ∈ U となる。こうして、U は X の開集合
であることが示された。
ド・モルガンの法則とは、和集合の補集合と共通部分の補集合の間に成り立つ関係を述べた
次の結果のことをいう。
定理 1 - 8 (ド・モルガンの法則)
X を集合、{Aλ }λ∈Λ をその部分集合族とする。このとき、
∪
∩
(1) X −
Aλ =
(X − Aλ ).
λ∈Λ
λ∈Λ
∩
∪
Aλ =
(X − Aλ ).
(2) X −
λ∈Λ
λ∈Λ
ド・モルガンの法則と定理 1- 6、定理 1- 7 から、距離空間 (X, d) の閉集合は次の性質を持つ
ことがわかる。
定理 1 - 9
距離空間 (X, d) の閉集合は以下の性質を満たす。
(C1) 空集合 ∅ および X は (X, d) における閉集合である。
(C2) C, D が (X, d) の閉集合ならば、C ∪ D も (X, d) の閉集合である。
∩
(C3) Cλ (λ ∈ Λ) が (X, d) の閉集合ならば、
Cλ も (X, d) の閉集合である。
λ∈Λ
定理の証明は演習問題とする。
–4–
No.1
集合と位相 3 演習問題
距離空間から位相空間へ
2014 年 9 月 22 日
距離、距離空間、ユークリッド空間、ε-近傍、開集合、点列の収束
閉集合、ド・モルガンの法則
1-1∗ . 関数 d(n) : Rn × Rn −→ R を次で定義する。x = (x1 , · · · , xn ), y = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn
に対して
v
u n
u∑
(n)
d (x, y) = t (xi − yi )2 .
i=1
d(n) は Rn 上の距離であることを示せ。
1-2. 直線 L = { (x, x) | x ∈ R } はユークリッド空間 R2 における閉集合であることを示せ。
集合と位相３ [第 1 回]・関連図作成シート
学籍番号
2014 年 9 月 22 日
氏名
集合と位相３通信
[No.1]
2014 年 9 月 22 日発行
関連図作成シートの作成方法
次の順番で作成します。
1 まず、「関連図作成シートに含めるべき項目」の中の１つ１つの枠を切り取ります。足
りない項目があれば、ノートを見て各自で追加してください。
2 次に、項目間の関連づけの作業を行います。切り取った項目間の関連を意識しながら
「関連図作成シート」の上に仮配置します。基本的には時系列で項目は関連づけられて
いくので、関連づけの作業は授業で登場する順番において、前後の項目を中心に行えば
よいですが、途中で別の話をした後、再び元のテーマに戻ることもあるので、「つなぎ
の言葉」に注目し、その辺りの変り目を見過ごさずに捉えることも必要です。
3 次に、強く関連しあうもの同士
を線や (両) 矢印で結びます。こ
の作業は、一旦他の紙に大雑把
なレイアウトを作成して、その
紙上で行った方がよいでしょう。
4 次に、
3 で結んだ線の上に、そ
れらがどんな事柄に関して関
連づけられているのか、イメー
ジしやすい言葉を書き添えます。
例えば、「一般化すると」「応用
として」
「例えば」
「○○の場合」
「これを用いると」
「これを動機として」
「類似として」
など。この作業も
3 で作成さたレイアウトの紙上で行った方がよいでしょう。
5 次に、各項目に標題あるいは小見出しをつける作業を行います。この作業も最初の段階
では、
3 で作成さたレイアウトの紙上で行った方がよいでしょう。例えば、「一次従属
の定義」「一次独立の言い換え」「基底の存在定理」「Rn において (n + 1) 個のベクト
ルは一次独立」「一次独立性を保つようにベクトルを追加できる条件」など。
6 最後に、全体のバランスを考えながら、関連図作成シートに項目を糊付けし、
3 ,
4 ,
5
で作成したレイアウトをもとに、関連図作成シートを完成させます。剥がれないよう
に、しっかり糊付けしてください。また、できるだけシートの折り目を跨がないように、
糊付けしてください。なお、「関連図作成シート」は手書きで作成しても構いません。
注意！次のことを実践していないと、評価が下がる場合があります。
• すべての項目に、その項目の内容を表わす、適切な標題あるいは小見出しをつける。
• 他の何とも関連づけられていないような、孤立した項目を作らない。さらに、関連づけ
で結んだすべて線上に、関連内容がわかるような、適切な言葉を書き添える。
上記の方法は少しアレンジすると、雑多な情報や考えの中から自分が書きたいこと、伝えた
いことを整理し、正確に表現したいときに使うことができます。将来、就職活動の際に志望動
機を書いたり、卒業論文を書いたりするときなど、様々なことに役に立ちます。
集合と位相３第 1 回・学習内容チェックシート
学籍番号
2014 年 9 月 22 日
氏名
Q1. 距離の公理は Rn の
距離が満たす性質をモデルに作られたものである。集
合に距離が与えられれば、その距離を使って 2 点の
を (数値で) 測ることができ、そ
れをもとに点列の収束や関数の連続性を定義し、それらを調べることが可能となる。
Q2. 距離の公理は３つの条件からなり、そ
のうち、三角不等式 (D3) が最も重要である。
三角不等式の幾何学的な意味を図を用いて、
右の枠内に説明せよ。
Q3. 距離空間 (X, d) における点 a の ε-近傍 U (a; ε) とは、
との距離が
い X の点全体からなる集合である。2 次元ユークリッド空間 R2 の距離
より小さ
(2) (2)
d(2) , d1 , d∞
のそれ
ぞれについて、原点 0 の ε-近傍を描くと、次のようになる。
(2)
d(2)
(2)
d1
d∞
Q4. 距離空間 (X, d) における開集合と閉集合の定義を ∀, ∃, =⇒ などを使わずに、それぞれ文
章で書け。
[開集合]
[閉集合]
Q5. 開集合は、一定の広がりをもつ
方、閉集合は、
のない部分集合をイメージして定義されている。一
があったとすると、それも含まれるような部分集合をイメージして定義
されている。
Q6. 下図に描かれた、2 次元ユークリッド空間 R2 の部分集合 D1 , D2 , D3 のそれぞれについ
て、開集合か否か、閉集合か否かを判断せよ (簡単に理由を書き添えること)。但し、実線上の
点は含まれ、破線上の点は含まれないとする。
D1
D2
Q7. 閉集合と開集合とは (一見無関係のように思えるが、実は)
しく説明すると、距離空間 X の部分集合 A に対して、次が成り立つ。
D3
の関係にある。詳
集合と位相３・第 1 回の学習内容のテーマとまとめ
学籍番号
2014 年 9 月 22 日
氏名
[テーマ]
[学習内容のまとめ] 今回の学習内容を下の破線より下に文章で書いてください。但し、∀, ∃, ⇒
などの論理記号や「(記号)：(その説明)」のような略式的表現法を避けてください。さらに、次
のことに触れてください。
•
•
•
•
距離の公理は何に由来するか。それを導入するメリットは何か。
距離空間とその例。特に、ユークリッド空間とは何か。
開集合・閉集合の定義とその図形的なイメージ。
開集合・閉集合の性質およびそれらの間の関係。
[感想](わかりにくかったことや考えたことなどがあれば書いてください)
集合と位相３ [第１回]・関連図作成シートに含めるべき項目
X を集合とする。
次で定義される関数
関数 d : X × X −→ R が X 上の距離
d(n) , d1 , d∞ : Rn × Rn −→ R は Rn 上の距離：
x = (x1 , · · · , xn ), y = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn に対
して
√ n
∑
(xi − yi )2 ,
d(n) (x, y) =
(n)
def
⇐⇒ d は次の３条件 (距離の公理) を満たす
(D1) ∀ x, y ∈ X に対して d(x, y) ≥ 0,
⇐⇒ x = y.
かつ d(x, y) = 0
i=1
(D2) ∀ x, y ∈ X に対して
(n)
d1 (x, y)
d(x, y) = d(y, x).
=
n
∑
|xi − yi |,
i=1
(n)
d∞ (x, y) = max |xi − yi |.
(D3) (三角不等式) ∀ x, y, z ∈ X に対して
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
(n)
1≤i≤n
n 次元ユークリッド空間 = 距離空間 (Rn , d(n) )
a ∈ X の ε-近傍 U (a; ε) は開集合.
(X, d) を距離空間とする。a ∈ X と ε > 0 に対して
U (a; ε) := { x ∈ X | d(a, x) < ε }.
これを a を中心とする X における ε-近傍という。
(X, d) を距離空間とする。
U ⊂ X ：(X, d) における開集合
⇐⇒ ∀ a ∈ U, ∃ ε > 0 s.t. U (a; ε) ⊂ U .
(2)
(2)
(R2 , d(2) ), (R2 , d1 ), (R2 , d∞ ) における原点 0 の ε-近傍
ε
ε
ε
-ε
ε
ε
-ε
ε
-ε
-ε
-ε
-ε
d(2)
(2)
d∞
d1(2)
(X, d) を距離空間とする。
(X, d) を距離空間とする。
X 内の点列 {xn }∞
n=1 が点 a ∈ X に収束する
C ⊂ X が (X, d) における閉集合 (closed in (X, d))
def
⇐⇒ 実数列
{d(xn , a)}∞
n=1
が 0 に収束する
このとき、 lim xn = a と書く。
n→∞
⇐⇒ 収束する任意の点列 {xn }∞
n=1 ⊂ C に対し
def
て、 lim xn ∈ C.
n→∞
距離空間 (X, d) の開集合は以下の性質を満たす。
距離空間 (X, d) の閉集合は以下の性質を満たす。
(O1) ∅, X ：(X, d) の開集合
(C1) ∅, X ：(X, d) の閉集合
(O2) U, V ：(X, d) の開集合
(C2) C, D：(X, d) の閉集合
=⇒ U ∩ V ：(X, d) の開集合
=⇒ C ∪ D：(X, d) の閉集合
(O3) {Uλ }λ∈Λ ：(X, d) の開集合族
∪
=⇒
Uλ ：(X, d) の開集合
(C3) {Cλ }λ∈Λ ：(X, d) の閉集合族
∩
=⇒
Cλ ：(X, d) の閉集合
λ∈Λ
距離空間 (X, d) の部分集合 U に対して
U が (X, d) の開集合
⇐⇒ X − U が (X, d) の閉集合
λ∈Λ
集合と位相３・小テスト [第１回]
2014 年 9 月 22 日
学籍番号
氏名
以下の論理式 (1), (2), (3), (4), (5), (6) で書かれた命題を、それぞれ ∀, ∃, ⇒ などを使わずに、
文章で書きなさい。
{an }∞
n=1 を実数列とする。
(1) ∀ ε > 0, ∃ N ∈ N s.t. m, n > N
⇒ |am − an | < ε.
(2) ∃ K > 0 s.t. ∀ n ∈ N, |an | < K.
(X, d) を距離空間、f : X −→ X を写像、a ∈ X とする。
(3) ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 s.t. d(x, a) < δ ⇒ d(f (x), f (a)) < ε.
(4) ∃ λ ∈ (0, 1) s.t. ∀ x, y ∈ X, d(f (x), f (y)) ≤ λd(x, y).
(X, d) を距離空間、A を X の部分集合とする。a ∈ X と実数 ε > 0 に対して U (a; ε) =
{ x ∈ X | d(x, a) < ε } とする。
(5) ∀ a ∈ A, ∃ ε > 0 s.t. U (a; ε) ⊂ A.
(6) {an }∞
n=1 ⊂ A, ∃ lim an =⇒
n→∞
[解答欄]
lim an ∈ A.
n→∞

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