問題22 ２重管内の温度分布 内管，外管は同心軸に一致しており，内側の高温流体と外側の冷却雰囲気の温度はそれぞれTH，TLで 一定とする。解くべき対象領域は，２重管の内部であり，固体内の伝導による熱移動の問題となってい る。現象としては，中心軸から半径方向に（放射状に）熱は移動しており，温度分布は軸対象となるは ずである（そうでなければ，周方向(θ方向)に温度勾配が存在する，すなわち軸対象でなくなってしま う）。内管，外管ともに円筒座標の熱移動の式を基礎方程式として，簡単化の過程も同じである。 基礎方程式 簡単化 € 1 ∂ ∂T 1 ∂ 2T ∂ 2T ∂T ∂T vθ ∂T ∂T Q + vr + + vz = α r + 2 2 + 2 + ∂t ∂r r ∂θ ∂z r ∂r ∂r r ∂θ ∂z ρCP 定常状態→ ∂ =0 ∂t 静止固体内で流速なし→ 積分して解く 境界条件で積分 定数を決定する 内管に対する解 無限長の円管ということ → でz方向には変化がない ∂ =0 ∂z 問題に何の記載もないので発熱もない→ Q=0 T = TH at r = ri 最終的にはTH，TLのみで T = TM at r = rm 表現するが，この段階で 内管と外管で は，とりあえず，中間の 異なっている (外管) T = TM at r = rm 温度をTMとしておく T = TL at r = ro もう一度 d ! dT $ 積分する dT dT A 積分する r =A = T = A ln r + B #r & = 0 dr " dr % dr dr r T −T T ln r − T ln r TH = A ln ri + B (内管) A= M H B= H m M i TM = A ln rm + B ln (rm / ri ) ln (rm / ri ) 1 d ! dT $ #r & = 0 r dr " dr % 解くべき式 ∂ =0 ∂θ vr = vθ = vz = 0 軸対象→ T= (内管) 境界条件 !r $ !r$ !r $ T ln # m & = TM ln # & + TH ln # m & "r% " ri % " ri % TM − TH T ln r − T ln r ln r + H m M i ln (rm / ri ) ln (rm / ri ) (外管) !r $ !r$ !r $ T ln # o & = TL ln # & + TM ln # o & "r% " rm % " rm % T −T T ln r − T ln r TM = A ln rm + B A= L M B= M o L m TL = A ln ro + B ln (ro / rm ) ln (ro / rm ) TMを用いたままではだめなので，何らかの条件でTMを決定する必要がある。 内管と外管の境界面における熱フラックスの条件 λi (TM − TH ) λo (TL − TM ) = rm ln (rm / ri ) rm ln (ro / rm ) ∂T ( 内) ∂T ( 外) λi = λo ∂r r=rm ∂r r=rm T € λi > λo の場合 T € € r=0 λi << λo の場合 λi < λo TL T λi >> λo 内管熱伝導律速 の場合 ri TH λi ln (ro / rm ) + TL λo ln (rm / ri ) λi ln (ro / rm ) + λo ln (rm / ri ) 熱伝導度の差が数倍程度であれば，それ以上の考察はなかなか難し いが，両者が極端に異なっている（100倍程度以上）場合は，下の 図にあるように，熱伝導度の小さい部分の熱伝導のみが全体を支配 する。これが律速という概念であり，遅い速度の過程に全体が律速 されているという。 TH € TM = r rm ro € 講義資料にあるように，定常状態(フ ラックスが均一)では rの増加（面積の € € 増加）に伴い勾配は減少する。上図の € € € 破線は熱伝導度が均質の場合で，内管 と外管の熱伝導殿大小関係で，温度分 布は図のように変化する の場合 外管熱伝導律速 TH € € € TH € TL TL r r € r=0 ri rm ro € r=0 ri rm ro
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