No.16 解答［1］ (1) ∂z ∂x = 2x, ∂z ∂y = 2y + 3y2,     ∂2z

No.16 解答
［１］
(1)


∂2z
Ã
!
2
0
∂x∂y 
=
∂2z 
0 2 + 6y
∂y 2
∂2z

∂z
∂z
∂x2
= 2x,
= 2y + 3y 2 , 
 ∂2z
∂x
∂y
∂y∂x
ここで，連立方程式
∂z
∂z
= 2x = 0,
= 2 + 6y = 0
∂x
∂y
¡
2¢
の実数解を求めると，(x, y) = (0, 0), 0, − ．
3
(a) (x, y) = (0, 0) のとき，
Ã
!
2 0
H=
0 2
∆1 > 0, ∆ > 0 なので，z は (x, y) = (0, 0) において極小．
¡
2¢
(b) (x, y) = 0, − のとき，
3
Ã
!
2 0
H=
0 −2
¡
2¢
∆ < 0 なので，z は (x, y) = 0, − で極大でも極小でもない．
3
以上のことから，z は (x, y) = (0, 0) において極小値 0 を取る．
(2)


∂2z
∂2z
Ã
!


2
6x
−9
∂z
∂z
∂x
∂x∂y
=
= 3x2 − 9y,
= −9x + 3y 2 , 
 ∂2z
∂2z 
∂x
∂y
−9 6y
∂y∂x
∂y 2
ここで，連立方程式
∂z
∂z
= 3x2 − 9y = 0,
= −9x + 3y 2 = 0
∂x
∂y
の実数解を求めると，(x, y) = (0, 0), (3, 3)．実際，3y = x2 , 3x = y 2 なので，27x = x4 ．したがって，x = 0
または x3 = 27．これから，x = 0, 3．
(a) (x, y) = (0, 0) のとき，
Ã
H=
0
−9
!
−9
0
∆ < 0 なので，z は (x, y) = (0, 0) で極大でも極小でもない．
(b) (x, y) = (3, 3) のとき，
Ã
!
18 −9
H=
−9 18
∆1 > 0, ∆ > 0 なので，z は (x, y) = (3, 3) において極小．
以上のことから，z は (x, y) = (3, 3) において極小値 −27 を取る．
(3)

∂2z

∂z
∂z
∂x2
= 4x3 − 4(x − y),
= 4y 3 + 4(x − y), 

∂2z
∂x
∂y
∂y∂x
1

∂2z
Ã
!
2
12x
−
4
4
∂x∂y 
=
∂2z 
4
12y 2 − 4
∂y 2
ここで，連立方程式
∂z
∂z
= 4x3 − 4(x − y) = 0,
= 4y 3 + 4(x − y) = 0
∂x
∂y
√
√
√ √
の実数解を求めると，(x, y) = (0, 0), ( 2, − 2), (− 2, 2)．実際，x3 − x + y = 0, y 3 + x − y = 0 なの
√
で，x3 = −y 3 ．したがって，x = −y ．したがって，x3 − 2x = 0．これから，x = 0, ± 2．
(a) (x, y) = (0, 0) のとき，
Ã
−4
H=
4
!
4
−4
∆ = 0．ここで，x = 0 または y = 0 なら z = 0 なので，z は (x, y) = (0, 0) で極大でも極小でもない．
√
√ √
√
(b) (x, y) = ( 2, − 2), (− 2, 2) のとき，
Ã
!
20 4
H=
4 20
√
√
√ √
∆1 > 0, ∆ > 0 なので，z は ( 2, − 2), (− 2, 2) において極小．
√
√
√ √
以上のことから，z は ( 2, − 2), (− 2, 2) において極小値 −8 を取る．
(4)

∂2z

∂z
∂z
∂x2
= 3x2 − 3,
= −3y 2 + 12, 
 ∂2z
∂x
∂y
∂y∂x
ここで，連立方程式

∂2z
Ã
!
6x
0
∂x∂y 
=
∂2z 
0 −6y
∂y 2
∂z
∂z
= 3x2 − 3 = 0,
= −3y 2 + 12 = 0
∂x
∂y
の実数解を求めると，(x, y) = (±1, ±2) (複号任意)．
(a) (x, y) = (1, 2) のとき，
Ã
6
H=
0
!
0
−12
∆ < 0 なので，z は (x, y) = (1, 2) で極大でも極小でもない．
(b) (x, y) = (1, −2) のとき，
Ã
!
6 0
H=
0 12
∆1 > 0, ∆ > 0 なので，z は (1, −2) において極小．
(c) (x, y) = (−1, 2) のとき，
Ã
−6
H=
0
!
0
−12
∆1 < 0, ∆ > 0 なので，z は (−1, 2) において極大．
(d) (x, y) = (−1, −2) のとき，
Ã
!
−6 0
H=
0 12
∆ < 0 なので，z は (x, y) = (−1, −2) で極大でも極小でもない．
以上のことから，z は (1, −2) において極小値 −18 を，また，(−1, 2) において極大値 18 を取る．
2
(5)

∂2z

∂z
∂z
∂x2
= 4x(x2 + y 2 − 1),
= 4y(x2 + y 2 + 1), 
 ∂2z
∂x
∂y
∂y∂x
ここで，連立方程式

∂2z
Ã
!
2
2
4(3x
+
y
−
1)
8xy
∂x∂y 
=
∂2z 
8xy
4(x2 + 3y 2 + 1)
2
∂y
∂z
∂z
= 4x(x2 + y 2 − 1) = 0,
= 4y(x2 + y 2 + 1) = 0
∂x
∂y
の実数解を求めると，(x, y) = (0, 0), (±1, 0)．実際，y(x2 + y 2 + 1) = 0, x2 + y 2 + 1 > 0 なので，y = 0．
したがって，x(x2 − 1) = 0．これから，x = ±1．
(a) (x, y) = (0, 0) のとき，
Ã
!
−4 0
H=
0 4
∆ < 0 なので，z は (x, y) = (0, 0) で極大でも極小でもない．
(b) (x, y) = (±1, 0) のとき，
Ã
!
8 0
H=
0 8
∆1 > 0, ∆ > 0 なので，z は (±1, 0) において極小．
以上のことから，z は (±1, 0) において極小値 −1 を取る．
(6)
∂z
1 − 2x − x2 − 2xy + y 2 ∂z
1 − 2y + x2 − 2xy − y 2
=
,
=
,
2
2
2
∂x
(1 + x + y )
∂y
(1 + x2 + y 2 )2
(1 + x + y)(1 + x2 + y 2 ) + 2x(1 − 2x − x2 − 2xy + y 2 )
∂2z
= −2
,
2
∂x
(1 + x2 + y 2 )3
∂2z
(x − y)(1 + x2 + y 2 ) + 2y(1 − 2x − x2 − 2xy + y 2 )
= −2
∂x∂y
(1 + x2 + y 2 )3
∂2z
(−x + y)(1 + x2 + y 2 + 1) + 2x(1 − 2y + x2 − 2xy − y 2 )
= −2
∂y∂x
(1 + x2 + y 2 )3
∂2z
(1 + x + y)(1 + x2 + y 2 ) + 2y(1 − 2y + x2 − 2xy − y 2 )
= −2
2
∂y
(1 + x2 + y 2 )3
ここで，連立方程式
1 − 2x − x2 − 2xy + y 2
∂z
1 − 2y + x2 − 2xy − y 2
∂z
=
= 0,
=
=0
2
2
2
∂x
(1 + x + y )
∂y
(1 + x2 + y 2 )2
√
√
√
√
¡ −1 + 3 −1 + 3 ¢ ¡ −1 − 3 −1 − 3 ¢
の実数解を求めると，(x, y) =
,
,
,
．
2
2
2
2
実際，1 − 2x − x2 − 2xy + y 2 = 0, 1 − 2y + x2 − 2xy − y 2 = 0 なので，
(1 − 2x − x2 − 2xy + y 2 ) − (1 − 2y + x2 − 2xy − y 2 ) = −2x2 + 2y 2 − 2x + 2y = −2(x − y)(x + y + 1) = 0
√
−1 ± 3
2
．x + y + 1 = 0 のとき，
x − y = 0 のとき，−2x − 2x + 1 = 0．これから，x =
2
1 − 2x − x2 − 2xy + y 2 = 1 − 2x − x2 − 2x(−1 − x) + (−1 − x)2 = 2(x2 + x + 1) > 0
3
(a) (x, y) =
¡ −1 +
2
√
3 −1 +
,
2
√
3¢
のとき，1 + x + y =
√

2 3
− (3 − √3)2
H=

0
√
3, 1 + x2 + y 2 = 3 −
√
3 なので，

0


√
2 3 
√
−
(3 − 3)2
√
√
¡ −1 + 3 −1 + 3 ¢
∆1 < 0, ∆ > 0 なので，z は
,
において極大．
2
√ 2
√
√
√
¡ −1 − 3 −1 − 3 ¢
(b) (x, y) =
,
のとき，1 + x + y = − 3, 1 + x2 + y 2 = 3 + 3 なので，
2
2
√


2 3
0
 (3 + √3)2


√
H=

2 3 
√
0
(3 + 3)2
√
√
¡ −1 − 3 −1 − 3 ¢
∆1 > 0, ∆ > 0 なので，z は
,
において極小．
√2
√2
√
√
¡ −1 + 3 −1 + 3 ¢
3
1+ 3
√ =
以上のことから，z は
,
において極大値
を，また，
2
2 √
2
3− 3
√
√
√
¡ −1 − 3 −1 − 3 ¢
3
1− 3
√ =
,
において極小値 −
を取る．
2
2
2
3+ 3
［２］
w = xyz = xy(a − x − y) とおくと，

∂2w
 ∂x2
∂w
∂w
= y(a − 2x − y),
= x(a − x − 2y), 
 ∂2w
∂x
∂y
∂y∂x

∂2w
Ã
−2y
∂x∂y 
=
2

∂ w
a − 2x − 2y
∂y 2
a − 2x − 2y
−2x
!
ここで，連立方程式
∂z
∂z
= y(a − 2x − y) = 0,
= x(a − x − 2y) = 0, x > 0, y > 0
∂x
∂y
¡a a¢
¡a a¢
,
で与えられる．(x, y) =
,
のとき，
3 3
3 3


2a
a
−
−

3
H= 3
2a 
a
−
−
3
3
¡a a¢
∆1 < 0, ∆ > 0 なので，w は ,
において極大．
3 3
©
ª
¡a a¢
,
有界閉領域 D = (x, y) ; x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ a において w は
以外で極大値を取らないので，
3 3
3
a
a
を取る．
w = xyz は x = y = z = のとき最大となり，最大値
3
27
の解は (x, y) =
［３］
z = P A2 + P B 2 + P C 2 = (x − a1 )2 + (y − a2 )2 + (x − b1 )2 + (y − b2 )2 + (x − c1 )2 + (y − c2 )2
4
とおくと，

∂2z
 ∂x2
∂z
∂z
= 2(3x − a1 − b1 − c1 ),
= 2(3y − a2 − b2 − c2 ), 
 ∂2z
∂x
∂y
∂y∂x

∂2z
Ã
∂x∂y 
= 6
∂2z 
0
!
0
6
∂y 2
ここで，連立方程式
∂z
∂z
= 2(3x − a1 − b1 − c1 ) = 0,
= 2(3y − a2 − b2 − c2 ) = 0
∂x
∂y
の解は (x, y) =
¡ a1 + b1 + c1 a2 + b2 + c2 ¢
¡ a1 + b1 + c1 a2 + b2 + c2 ¢
,
で与えられる．(x, y) =
,
のとき，
3
3
3
3
Ã
!
6 0
H=
0 6
∆1 > 0, ∆ > 0 なので，z は
¡ a1 + b1 + c1 a2 + b2 + c2 ¢
,
において極小．
3
3
4ABC に囲まれた有界閉領域において z は他に極小値を取らないので，P =
のとき z は最小値を取る．
［４］
(1) 三辺の長さを a, b, c とすれば，Heron の公式から S =
¡ a1 + b1 + c1 a2 + b2 + c2 ¢
,
3
3
p
s(s − a)(s − b)(s − c)．
(s − a) + (s − b) + (s − c) = s, s − a > 0, s − b > 0, s − c > 0
なので，
［２］から s − a = s − b = s − c のとき (s − a)(s − b)(s − c) は最大となる．したがって，正三角
形のとき面積が最大となる．
(2) 内接三角形を ABC とし，S = 4ABC, θ = ∠AOC, ϕ = ∠BOC とおけば，
S=
1 2
1
r {sin θ + sin ϕ + sin(2π − θ − ϕ)} = r2 {sin θ + sin ϕ − sin(θ + ϕ)}
2
2
z = sin θ + sin ϕ − sin(θ + ϕ) とおくと，
ϕ
2θ + ϕ
∂z
= cos θ − cos(θ + ϕ) = 2 sin sin
,
∂θ
2
2
∂z
θ
θ + 2ϕ
= cos ϕ − cos(θ + ϕ) = 2 sin sin
,
∂ϕ
2
2

 2
∂ z
∂2z
Ã
!
 ∂θ2

−
sin
θ
+
sin(θ
+
ϕ)
sin(θ
+
ϕ)
∂θ∂ϕ
=

 ∂2z
∂2z 
sin(θ + ϕ)
− sin ϕ + sin(θ + ϕ)
∂ϕ∂θ
∂θ2
ここで，連立方程式
∂z
ϕ
2θ + ϕ
∂z
θ
θ + 2ϕ
= 2 sin sin
= 0,
= 2 sin sin
= 0, 0 < θ < π, 0 < ϕ < π
∂θ
2
2
∂ϕ
2
2
の解は (θ, ϕ) =
¡ 2π 2π ¢
¡ 2π 2π ¢
,
,
で与えられる．(θ, ϕ) =
のとき，
3 3
3 3

√ 
√
3
− 3 − 2 

H=
 √3
√ 
−
− 3
2
5
¡ 2π 2π ¢
,
において極大．
3 3
©
ª
¡ 2π 2π ¢
有界閉領域 D = (θ, ϕ) ; θ ≥ 0, ϕ ≥ 0, θ + ϕ ≤ 2π において z は
,
以外で極大値を取らない
3 3
¡ 2π 2π ¢
ので，z は (θ, ϕ) =
,
のとき最大となる．これから，正三角形のとき面積が最大となる．
3 3
1
1
(3) 外接三角形を ABC とし，S = 4ABC, θ = ∠AOC, ϕ = ∠BOC とおけば，
2
2
∆1 < 0, ∆ > 0 なので，z は
S = r2 {tan θ + tan ϕ + tan(π − θ − ϕ)} = r2 {tan θ + tan ϕ − tan(θ + ϕ)}
z = tan θ + tan ϕ − tan(θ + ϕ) とおくと，
∂z
1
1
sin(2θ + ϕ) sin ϕ
=
−
=− 2
,
∂θ
cos2 θ cos2 (θ + ϕ)
cos θ cos2 (θ + ϕ)
∂z
1
1
sin(2ϕ + θ) sin θ
=
−
=− 2
,
∂y
cos2 ϕ cos2 (θ + ϕ)
cos ϕ cos2 (θ + ϕ)
½
¾
 2



sin θ
sin(θ + ϕ)
2 sin(θ + ϕ)
∂ z
∂2z
−
 ∂θ2

2 cos3 θ − cos3 (θ + ϕ)
cos3 (θ + ϕ)
∂θ∂ϕ 

=
¾
½
2
2
 ∂ z
2 sin(θ + ϕ)
sin(θ + ϕ) 
sin ϕ
∂ z  
−
2
−
cos3 (θ + ϕ)
cos3 ϕ cos3 (θ + ϕ)
∂ϕ∂θ
∂θ2
ここで，連立方程式
∂z
sin(2θ + ϕ) sin ϕ
∂z
sin(2ϕ + θ) sin θ
π
π
=− 2
= 0,
=− 2
= 0, 0 < θ < , 0 < ϕ <
∂θ
cos θ cos2 (θ + ϕ)
∂ϕ
cos ϕ cos2 (θ + ϕ)
2
2
の解は (θ, ϕ) =
¡π π¢
¡π π¢
,
で与えられる．(θ, ϕ) =
,
のとき，
3 3
3 3
 √
√ 
16 3 8 3
H= √
√ 
8 3 16 3
¡π π¢
∆1 > 0, ∆ > 0 なので，z は
,
において極小．
3 3
©
ª
¡π π¢
有界閉領域 D = (θ, ϕ) ; θ ≥ 0, ϕ ≥ 0, θ + ϕ ≤ π において z は
,
以外で極小値を取らないので，
3 3
¡π π¢
z は (θ, ϕ) =
,
のとき最小となる．これから，正三角形のとき面積が最小となる．
3 3
［５］
(1) f (x, y) = x2 − 2xy − y 2 − 1 とおけば，
∂f
∂f
= 2x − 2y,
= −2x − 2y
∂x
∂y
したがって，x + y 6= 0 のとき y は x の函数であると考えられ，
∂f
dy
x−y
= − ∂x =
∂f
dx
x+y
∂y
(2) f (x, y) = x3 − 3xy − y 3 とおけば，
∂f
∂f
= 3x2 − 3y,
= −3x − 3y 2
∂x
∂y
6
したがって，x + y 2 6= 0 のとき y は x の函数であると考えられ，
∂f
dy
x2 − y
= − ∂x =
∂f
dx
x + y2
∂y
(3) f (x, y) = sin xy −
1
とおけば，
3
∂f
∂f
= y cos xy,
= x cos xy
∂x
∂y
したがって，x cos xy 6= 0 のとき y は x の函数であると考えられ，
∂f
y
dy
= − ∂x = −
∂f
dx
x
∂y
［６］
(1) f (x, y) = 2x2 − 2xy + y 2 − 4 とおけば，
∂f
∂f
∂2f
= 4x − 2y,
= −2x + 2y,
=4
∂x
∂y
∂x2
したがって，
さらに，
∂f
dy
2x − y
= − ∂x =
∂f
dx
x−y
∂y
dy
= 0 のとき，
dx
∂2f
2
d y
2
= − ∂x =
∂f
dx2
x−y
∂y
2
ここで，連立方程式
∂f
= 4x − 2y = 0
∂x
√
√
√ √
d2 y
の実数解を求めると，(x, y) = (± 2, ±2 2) (複号同順)．(x, y) = ( 2, 2 2) のとき
< 0．(x, y) =
dx2
2
√
√
d y
> 0．
(− 2, −2 2) のとき
dx2
√
√
√
√
以上のことから，y は x = 2 のとき極大値 2 2 を，また，x = − 2 のとき極小値 −2 2 を取る．
f (x, y) = 2x2 − 2xy + y 2 − 4 = 0,
(2) f (x, y) = x2 − y 2 + 1 とおけば，
∂f
∂2f
∂f
= 2x,
= −2y,
=2
∂x
∂y
∂x2
したがって，
∂f
dy
x
= − ∂x =
∂f
dx
y
∂y
7
さらに，
dy
= 0 のとき，
dx
∂2f
2
1
d y
= − ∂x =
∂f
dx2
y
∂y
2
ここで，連立方程式
f (x, y) = x2 − y 2 + 1 = 0,
∂f
= 2x = 0
∂x
d2 y
d2 y
< 0．(x, y) = (0, 1) のとき
> 0．
2
dx
dx2
以上のことから，y は x = 0 のとき極大値 −1，極小値 1 を取る．
の実数解を求めると，(x, y) = (0, ±1)．(x, y) = (0, −1) のとき
(3) f (x, y) = x4 + 2x2 + y 3 − y とおけば，
∂f
∂2f
∂f
= 4x3 + 4x,
= 3y 2 − 1,
= 12x2 + 4
∂x
∂y
∂x2
したがって，
さらに，
dy
= 0 のとき，
dx
∂f
4x3 + 4x
dy
= − ∂x = − 2
∂f
dx
3y − 1
∂y
∂2f
2
d y
∂x2 = − 12x + 4
=
−
∂f
dx2
3y 2 − 1
∂y
2
ここで，連立方程式
f (x, y) = x4 + 2x2 + y 3 − y = 0,
∂f
= 4x3 + 4x = 0
∂x
の実数解を求めると，(x, y) = (0, 0), (0, ±1)．(x, y) = (0, 0) のとき
d2 y
> 0．(x, y) = (0, ±1) のとき
dx2
d2 y
> 0．
dx2
以上のことから，y は x = 0 のとき極大値 −1, 1，極小値 0 を取る．
(4) f (x, y) = x3 − 3xy + y 3 とおけば，
∂f
∂2f
∂f
= 3x2 − 3y,
= −3x + 3y 2 ,
= 6x
∂x
∂y
∂x2
したがって，
さらに，
dy
= 0 のとき，
dx
∂f
dy
x2 − y
= − ∂x =
∂f
dx
x − y2
∂y
∂2f
2
d y
2x
= − ∂x =
∂f
dx2
x − y2
∂y
2
8
ここで，連立方程式
∂f
= 3x2 − 3y = 0
∂x
√ √
√ √
d2 y
の実数解を求めると，(x, y) = ( 3 2, 3 4)．(x, y) = ( 3 2, 3 4) のとき
< 0．
dx2
√
√
以上のことから，y は x = 3 2 のとき極大値は 3 4 を取る．
f (x, y) = x3 − 3xy + y 3 = 0,
(5) f (x, y) = x2 y + x + y とおけば，
∂f
∂2f
∂f
= 2xy + 1,
= x2 + 1,
= 2y
∂x
∂y
∂x2
したがって，
さらに，
dy
= 0 のとき，
dx
∂f
dy
2xy + 1
= − ∂x = − 2
∂f
dx
x +1
∂y
∂2f
2
d2 y
2y
= − ∂x = − 2
2
∂f
dx
x +1
∂y
ここで，連立方程式
∂f
= 2xy + 1 = 0
∂x
¡
¡
¡
1¢ ¡
1¢
1¢
d2 y
1¢
の実数解を求めると，(x, y) = −1, , 1, − ．(x, y) = −1,
のとき
< 0．(x, y) = 1, − の
2
2
2
2
dx
2
d2 y
とき
> 0．
dx2
1
1
以上のことから，y は x = −1 のとき極大値を，x = 1 のとき極小値 − を取る．
2
2
(6) f (x, y) = x3 y 3 + y − x とおけば，
f (x, y) = x2 y + x + y = 0,
∂f
∂f
∂2f
= 3x2 y 3 − 1,
= 3x3 y 2 + 1,
= 6xy 3
∂x
∂y
∂x2
したがって，
さらに，
dy
= 0 のとき，
dx
∂f
dy
3x2 y 3 − 1
= − ∂x = − 3 2
∂f
dx
3x y + 1
∂y
∂2f
2
d y
6xy 3
= − ∂x = − 3 2
2
∂f
dx
3x y + 1
∂y
2
ここで，連立方程式
∂f
= 3x2 y 3 − 1 = 0
∂x
¡ 3
¡ 3
2 ¢
2 ¢
d2 y
√
√
√
の実数解を求めると，(x, y) = √
,
,
< 0．
．
(x,
y)
=
のとき
5
5
dx2
216 5 216
216 5 216
2
3
のとき極大値 √
を取る．
以上のことから，y は x = √
5
5
216
216
f (x, y) = x3 y 3 + y − x = 0,
9
(7) f (x, y) = (x2 + y 2 )2 − 2(x2 − y 2 ) とおけば，
∂f
∂f
∂2f
= 4x(x2 + y 2 − 1),
= 4y(x2 + y 2 + 1),
= 4x(3x2 + y 2 − 1)
∂x
∂y
∂x2
したがって，
さらに，
∂f
dy
x(x2 + y 2 − 1)
= − ∂x = −
∂f
dx
y(x2 + y 2 + 1)
∂y
dy
= 0 のとき，
dx
∂2f
2
2
d2 y
∂x2 = x(3x + y − 1)
=
−
∂f
dx2
y(x2 + y 2 + 1)
∂y
ここで，連立方程式
f (x, y) = (x2 + y 2 )2 − 2(x2 − y 2 ) = 0,
∂f
= 4x(x2 + y 2 − 1) = 0
∂x
√
√
√
¡
¡
¡
3 1¢
3 1¢
d2 y
3 1¢
の実数解を求めると，(x, y) = ±
, ± ．(x, y) = ±
,
のとき
< 0．(x, y) = ±
,
の
2
2
2
2 2
dx
2 2
2
d y
とき
> 0．
dx2
√
3
1
1
以上のことから，y は x = ±
のとき極大値，極小値 − を取る．
2
2
2
［７］
f (x, y) = xy, g(x, y) = x2 + y 2 − 1 とおけば，
∂f
∂g
∂g
∂f
= y,
= x,
= 2x,
= 2y
∂x
∂y
∂x
∂y
ここで，連立方程式
g(x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0,
∂f
∂g
+λ
= y + λ · 2x = 0,
∂x
∂x
∂g
∂f
+λ
= x + λ · 2y = 0
∂y
∂y
¡ 1
1 ¢ ¡ 1
1 ¢
の実数解を求めると，(x, y) = ± √ , ± √ , ± √ , ∓ √ (複号同順)．
2
2
2
2
¡ 1
¡ 1
¡ 1
1 ¢
1 ¢
1 ¢
1 ¢ 1
1 ¡ 1
f √ , −√ = f −√ , −√ = − , f √ , √ = f −√ , −√ =
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
¡ 1
¡ 1
1 ¢
1 ¢
1
なので，f (x, y) は (x, y) = ± √ , ∓ √ のとき最小値を，また，(x, y) = ± √ , ± √ のとき最大値
2
2
2
2
2
1
を取る．
2
［８］
f (x, y) = lx + my, g(x, y) =
y2
x2
+ 2 − 1 とおけば，
2
a
b
∂f
∂f
∂g
2x ∂g
2y
= l,
= m,
= 2,
= 2
∂x
∂y
∂x
a
∂y
b
10
ここで，連立方程式
x2
y2
+
− 1 = 0,
a2
b2
∂g
2
+λ
= l + λ · 2 x = 0,
∂x
a
∂g
2
+λ
= m + λ· 2y = 0
∂y
b
g(x, y) =
∂f
∂x
∂f
∂y
の実数解を求めると，
¡
(x, y) = − √
¢ ¡
¢
la2
mb2
la2
mb2
, −√
, √
,√
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
l a +m b
l a +m b
l a +m b
l a +m b
さらに，
p
¢
la2
mb2
, −√
= − l2 a2 + m2 b2
l2 a2 + m2 b2
l2 a2 + m2 b2
2
¢ p
¡
mb2
la
f √
,√
= l2 a2 + m2 b2
2
2
2
2
2
2
2
2
l a +m b
l a +m b
¡
f −√
√
¢
la2
mb2
, −√
のとき最小値 − l2 a2 + m2 b2 を，また，
l2 a2 + m2 b2
l2 a2 + m2 b2
√
¡
¢
la2
mb2
(x, y) = √
,√
のとき最大値 l2 a2 + m2 b2 を取る．
2
2
2
2
2
2
2
2
l a +m b
l a +m b
¡
なので，f (x, y) は (x, y) = − √
［９］
四角形 ABCD において a = AB, b = BC, c = CD, d = DA, θ = ∠ABC, ϕ = ∠CDA とおく．このと
き，余弦定理から
a2 + b2 − 2ab cos θ = c2 + d2 − 2cd cos ϕ
面積が最大になる条件を考察しているので，ABCD が凸四角形であると仮定してよい．このとき，四角形
ABCD の面積を S で表わせば，
S=
1
(ab sin θ + cd sin ϕ)
2
ここで，
f (θ, ϕ) =
とおけば，
1
(ab sin θ + cd sin ϕ), g(θ, ϕ) = (a2 + b2 − 2ab cos θ) − (c2 + d2 − 2cd cos ϕ)
2
∂f
1
∂f
1
∂g
∂g
= ab cos θ,
= cd cos ϕ,
= 2ab sin θ,
= −2cd sin ϕ
∂θ
2
∂ϕ
2
∂θ
∂ϕ
連立方程式
g(x, y) = (a2 + b2 − 2ab cos θ) − (c2 + d2 − 2cd cos ϕ) = 0,
∂g
1
∂f
+λ
= ab cos θ + λ · 2ab sin θ = 0,
∂θ
∂θ
2
∂f
∂g
1
+λ
= cd cos ϕ + λ(−2cd sin ϕ) = 0,
∂ϕ
∂ϕ
2
0 < θ < π, 0 < ϕ < π
の実数解を求めると，θ = cos−1
a2 + b2 − c2 − d2
, ϕ = π − θ．実際，
2(ab + cd)
λ=−
cos ϕ
cos θ
=
4 sin θ
4 sin ϕ
11
なので，sin(θ + ϕ) = 0．ここで，0 < θ + ϕ < 2π なので，θ + ϕ = π ．したがって，
cos θ =
a2 + b2 − c2 − d2
2(ab + cd)
θ + ϕ = π のとき，
S=
1
1p
(ab + cd) sin θ =
(−a + b + c + d)(a − b + c + d)(a + b − c + d)(a + b + c − d)
2
4
ここで，a + b ≥ c + d と仮定してよい．実際，a + b < c + d なら a と c，b と d を入れ替えればよい．こ
のとき，C, D, A を一直線にすれば，ϕ → π で，Heron の公式から
f (θ, ϕ) → f (θ0 , π) =
1p
(a + b + c + d)(a − b + c + d)(a + b − c + d)(a + b − c − d)
4
また，a + d ≥ b + c と仮定してよい．実際，a + d < b + c なら a と b，c と d を入れ替えればよい．この
とき，B, C, D を一直線にすれば，Heron の公式から
f (θ, ϕ) → f (θ1 , ϕ1 ) =
1p
(a + b + c + d)(−a + b + c + d)(a − b − c + d)(a + b + c − d)
4
ここで，
(a + b − c + d)(a + b + c − d) − (a + b + c + d)(a + b − c − d) = 4cd
(a − b + c + d)(a + b + c − d) − (a + b + c + d)(a − b − c + d) = 4bc
なので，
f (θ, ϕ) > f (θ0 , π), f (θ, ϕ) > f (θ1 , ϕ1 )
以上のことから，円に内接するとき面積は最大となる．
12

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