z ∂x = , ∂z ∂y

No.14 解答
［２］
∂z
∂z
= 3x2 + 4xy,
= 2x2 + 2y
∂x
∂x
∂z
y 3 − 3x2 y ∂z
x3 − 3xy 2
(2)
= 2
,
=
∂x
(x + y 2 )3 ∂y
(x2 + y 2 )3
(1)
(3)
1
∂z
1
∂z
=
,
=
∂x
x + y ∂y
x+y
(4)
2
2
2
2
∂z
∂z
= −2xe−x −y ,
= −2ye−x −y
∂x
∂y
(5)
∂z
∂z
= −e−x sin y,
= e−x cos y
∂x
∂y
(6)
∂z
∂z
= yxy−1 ,
= xy log x
∂x
∂y
(7)
(y
)
(
∂z
∂z
x) y x
= yxy−1 · y x + y x · xy log y =
+ log y xy y x ,
= xy log x · y x + xy · xy x−1 = log x +
x y
∂x
x
∂y
y
［３］
(1)
∂z
∂z
= 2x,
= −2y なので，点 (a, b, c) における接平面の方程式，法線の方程式はそれぞれ
∂x
∂y
z = 2ax − 2by − c
あるいは
x−a
y−b
z−c
=
=
2a
−2b
−1
で与えられる．
(2)
∂z
∂z
= y,
= x なので，点 (a, b, c) における接平面の方程式，法線の方程式はそれぞれ
∂x
∂y
z = bx + ay − c
あるいは
x−a
y−b
z−c
=
=
b
a
−1
で与えられる．
∂z
x
∂z
y
=√
,
=√
なので，点 (a, b, c) における接平面の方程式，法線の方程式はそれ
∂x
x2 + y 2 ∂y
x2 + y 2
ぞれ
a
b
z=√
x+ √
y−c
a2 + b2
a2 + b2
(3)
あるいは
x−a
y−b
z−c
=
=
a
b
−1
√
√
a2 + b2
a2 + b2
で与えられる．
(4)
−y
∂z
x
∂z
= 2
,
= 2
なので，点 (a, b, c) における接平面の方程式，法線の方程式はそれぞれ
∂x
x + y 2 ∂y
x + y2
z=
a2
−b
a
x+ 2
y−c
2
+b
a + b2
1
あるいは
y−b
z−c
x−a
=
=
a
−b
−1
a2 + b2
a2 + b2
で与えられる．
［４］
(1)
∂z
∂z
= 3x2 − 3y,
= −3x + 3y 2 ⇒
∂x
∂y
∂2z
∂2z
∂2z
∂2z
=
6x,
=
6y,
=
= −3
∂x2
∂y 2
∂x∂y
∂y∂x
(2)
∂z
∂z
= 2 cos(2x + 3y),
= 3 cos(2x + 3y) ⇒
∂x
∂y
∂2z
∂2z
∂2z
∂2z
=
−4
sin(2x
+
3y),
=
−9
sin(2x
+
3y),
=
= −6 sin(2x + 3y)
∂x2
∂y 2
∂x∂y
∂y∂x
(3)
∂z
x
∂z
y
=√
,
=√
⇒
∂x
x2 + y 2 ∂y
x2 + y 2
∂2z
y2
∂2z
x2
∂2z
∂2z
xy
√
√
√
=
,
=
,
=
=
2
2
∂x
∂y∂x
(x2 + y 2 ) x2 + y 2 ∂y
(x2 + y 2 ) x2 + y 2 ∂x∂y
(x2 + y 2 ) x2 + y 2
(4)
∂z
∂z
= ex sin y,
= ex cos y ⇒
∂x
∂y
∂2z
∂2z
∂2z
∂2z
x
x
=
e
sin
y,
=
−e
sin
y,
=
= ex cos y
∂x2
∂y 2
∂x∂y
∂y∂x
(5)
∂z
−y
∂z
x
= 2
,
= 2
⇒
2
∂x
x + y ∂y
x + y2
2xy
∂2z
2xy
∂2z
∂2z
−x2 + y 2
∂2z
=
,
=
−
,
=
=
∂x2
(x2 + y 2 )2 ∂y 2
(x2 + y 2 )2 ∂x∂y
∂y∂x
(x2 + y 2 )2
(6)
∂u
x
y
z
∂u
∂u
= −√
= −√
= −√
,
,
3
3
3 ⇒
∂x
x2 + y 2 + z 2 ∂y
x2 + y 2 + z 2 ∂z
x2 + y 2 + z 2
2x2 − y 2 − z 2
∂2u
=
√
5,
∂x2
x2 + y 2 + z 2
−x2 + 2y 2 − z 2
∂2u
=√
5,
2
∂y
x2 + y 2 + z 2
−x2 − y 2 + 2z 2
∂2u
=√
5,
2
∂z
x2 + y 2 + z 2
∂2u
3xy
∂2u
=
=√
5,
∂x∂y
∂y∂x
x2 + y 2 + z 2
∂2u
∂2u
3yz
=
=√
5,
∂y∂z
∂z∂y
2
x + y2 + z2
∂2u
∂2u
3zx
=
=√
5
∂z∂z
∂z∂z
2
x + y2 + z2
(7)
∂u
3x2 − 3yz
∂u
3y 2 − 3zx
∂u
3z 2 − 3xy
= 3
,
=
,
=
⇒
∂x
x + y 3 + z 3 − 3xyz ∂y
x3 + y 3 + z 3 − 3xyz ∂z
x3 + y 3 + z 3 − 3xyz
2
∂2u
−3x4 + 6xy 3 + 6z 3 x − 9y 2 z 2
=
,
2
∂x
(x3 + y 3 + z 3 − 3xyz)2
∂2u
−3y 4 + 6yz 3 + 6x3 y − 9z 2 x2
=
,
∂y 2
(x3 + y 3 + z 3 − 3xyz)2
∂2u
−3z 4 + 6zx3 + 6y 3 z − 9x2 y 2
=
,
∂z 2
(x3 + y 3 + z 3 − 3xyz)2
∂2u
∂2u
−3z 4 + 6zx3 + 6y 3 z − 9x2 y 2
=
=
,
∂x∂y
∂y∂x
(x3 + y 3 + z 3 − 3xyz)2
∂2u
∂2u
−3x4 + 6xy 3 + 6z 3 x − 9y 2 z 2
=
=
,
∂y∂z
∂z∂y
(x3 + y 3 + z 3 − 3xyz)2
∂2u
−3y 4 + 6yz 3 + 6x3 y − 9z 2 x2
∂2u
=
=
∂z∂z
∂z∂z
(x3 + y 3 + z 3 − 3xyz)2
3

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