演習問題1

常微分方程式演習第 1 回
2016 年 10 月 25 日
演習問題
問題 1. 次の線形微分方程式の一般解を求めよ．
(i) y ′ − y = e2x
(ii) y ′ −
2
y =x+2
x
(iii) y ′ + 2xy = x
(iv) xy ′ − y = x
問題 2. 次の変数分離形の微分方程式の一般解を求めよ．
(i) y ′ = x2 y
(ii) xy ′ + y = 2xy
(iii) y ′ =
y
x(x + 1)
(iv) y ′ =
1+y
1−x
問題 3. 未知関数を置き換えて，次の微分方程式の一般解を求めよ．
(i) y ′ = (x + y − 1)2
(ii) y ′ = ex+y − 1
問題 4. 次の同次形の微分方程式の一般解を求めよ．
(i) y ′ = −
x + 2y
y
(ii) y ′ =
2x − y
x
(iii) y ′ =
x−y
x+y
(iv) y ′ =
y 2 − x2
xy
[ヒント: (iii) 以外は陽関数で表示できない．]
問題 5. 次のベルヌーイの微分方程式の一般解を求めよ．
(i) y ′ − y = xy 2
(ii) y ′ − 2y = e2x y 3
(iii) xy ′ + y = xy 2 log x
1
1
(iv) y ′ + y = cos x
2
y
問題 6. 次のリカッティの微分方程式の一般解を求めよ．なお，特解は y(x) = ax + b の形で与えられる．
(i) y ′ + (x − 1)y 2 − (2x − 1)y + x = 0
(ii) y ′ + 2x2 (x + 1) − 1 − 2x(2x + 1)y + 2xy 2 = 0
(iii) (x2 + 1)y ′ − 1 − 3xy + 2y 2 = 0
問題 7. 次の完全微分方程式を解け.
(i) (x − y + 1)y ′ + (−x + y + 2) = 0
(ii) (x2 + 4xy + 3)y ′ + (e2 + 2xy + 2y 2 ) = 0
(iii) (x cos y + 2y 3 )y ′ + (sin y + 3x2 − 1) = 0
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