3 変数対称式

3 変数対称式
P =x+y+z
Q = xy + yz + zx
R = xyz
で表す。
x2 + y 2 + z 2
(x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2
x2 y + xy 2 + y 2 z + yz 2 + z 2 x + zx2
x3 + y 3 + z 3
=
(x + y + z)2 − 2(xy + yz + zx)
=
P 2 − 2Q
= 2(x2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx)
=
2(P 2 − 3Q)
=
(x + y + z)(xy + yz + zx) − 3xyz
=
P Q − 3R
= (x + y + z)(x2 + y 2 + z 2 )
−(x2 y + xy 2 + y 2 z + yz 2 + z 2 x + zx2 )
=
x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2
= (xy + yz + zx)2 − 2(x + y + z)xyz
=
x3 y + xy 3 + y 3 z + yz 3 + z 3 x + zx3
(x − y)4 + (y − z)4 + (z − x)4
Q2 − 2P R
= (x2 + y 2 + z 2 )(xy + yz + zx) − (x + y + z)xyz
=
x4 + y 4 + z 4
P 3 − 3P Q + 3R
P 2 Q − 2Q2 + P R
= (x2 + y 2 + z 2 )2 − 2(x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 )
=
(P 2 − 2Q)2 − 2(Q2 − 2P R)
=
P 4 − 4P 2 Q + 2Q2 + 4P R
=
2(x4 + y 4 + z 4 ) − 4(x3 y + xy 3 + y 3 z + yz 3 + z 3 x + zx3 )
+6(x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 )
= 2P 4 − 12P 2 Q + 18Q2 − 8P R
1

Download Report