2(x + y)z + (x + y)

例題 (因数分解)
次の式を因数分解せよ。
(1) x3 + y 3 + x2 y + xy 2 + 2yz + 2xz (2) a2 (b − c) + b2 (c − a) + c2 (a − b)
因数分解
(i) 次数の一番低い文字に注目
(ii) 1 つの文字に注目
〔解答〕
←− (1) (与式) = 2(x + y)z + x3 + y 3 + x2 y + xy 2
次数の一番低い z に注目。
= 2(x + y)z + (x + y)(x2 − xy + y 2 ) + xy(x + y)
{
}
= (x + y) 2z + (x2 − xy + y 2 ) + xy
= (x + y)(x2 + y 2 + 2z)
次数がすべて等しいので，
(2) (与式) = (b − c)a − (b − c )a + bc(b − c)
2
2
2
= (b − c)a − (b + c)(b − c)a + bc(b − c)
{
}
= (b − c) a2 − (b + c)a + bc
2
←− 1 つの文字に注目します。
a に注目しました。
= (b − c)(a − c)(a − b)
= −(a − b)(b − c)(c − a)
問題
次の式を因数分解せよ。
(1) a2 bc − abc2 − a2 − ab + bc + c2
(3) a2 + 2ab − 4ac − 2bc + 3c2
(2) 2x2 − xy − y 2 + 2x + y
(4) (x + y)(y + z)(z + x) + xyz
〔解答〕
(1) (与式) = (a2 c − ac2 − a + c)b − a2 + c2
←− {
}
= ca2 − (c2 + 1)a + c b−(a+c)(a−c) ←− :::::::::::::::::
次数の一番低い b に注目。
{} の中を因数分解します。
次数が a, c 等しいので 1 つの
文字に注目。
= (ca − 1)(a − c)b − (a + c)(a − c)
←− たすき掛け。
= (a − c) {(ac − 1)b − (a + c)}
= (a − c)(abc − a − b − c)
(2) (与式) = 2x2 − (y − 2)x − y 2 + y
= 2x2 − (y − 2)x − y(y − 1)
= (2x + y) {x − (y − 1)}
←− たすき掛け。
= (2x + y)(x − y + 1)
(3) (与式) = 2(a − c)b + a2 − 4ac + 3c2
←− 次数の一番低い b に注目。
= 2(a − c)b + (a − c)(a − 3c)
= (a − c)(a + 2b − 3c)
(4) (与式) = (x + y)(x + z)(y + z) + xyz
{
}
= x2 + (y + z)x + yz (y + z) + xyz
= (y + z)x2 + (y + z)2 x + yz(y + z) + xyz
= (y + z)x2 + (y 2 + 3yz + z 2 )x + yz(y + z)
= {(y + z)x + yz} {x + (y + z)}
= (xy + yz + zx)(x + y + z)
←− たすき掛け。

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