演習問題13+答え

基礎数学 1,A1 演習問題 13
年学籍番号氏名
1. 次の対数の値を求めよ。
(1) log2 128 =
log2 128 = log2 27 = 7
(2) log10 (10)50 =
log10 (10)50 = 50
(3) log6 8 + log6 27 =
log6 8 + log6 27 = log6 23 33 = 3
(4) log√5 25 =
log√5 25 =
2
log5 25
√ =
=4
1/2
log5 5
(5) log e3 =
log e3 = loge e3 = 3
2. 次の極限値を求めよ。
)x
(
1
(1) lim 1 +
=
x→∞
x
(
)x
1
lim 1 +
=e
x→∞
x
(2) lim (1 + x)1/x =
x→0
lim (1 + x)1/x = e
x→0
log(1 + x)
=
x→0
x
(3) lim
lim
x→0
log(1 + x)
= lim log(1 + x)1/x = log e = 1
x→0
x
ex − 1
=
x→0
x
(4) lim
h = ex − 1 とおくと、ex = 1 + h となり、両辺の対数をとると
x = log(1 + h) また x → 0 のとき h → 0 であるから、x の極限を h
の極限におきかえると、
ex − 1
h
1
lim
= lim
= lim log(1+h) = 1
x→0
h→0 log(1 + h)
h→0
x
h
3. 次の導関数を求めよ。
(1) (ex )′ =
ex+h − ex
eh − 1
= ex lim
= ex
h→0
h→0
h
h
(ex )′ = lim
(2) (log x)′ =
log(1 + h/x)
log(x + h) − log x
= lim
h→0
h→0
h
h
h/x = k とおき、k の極限に変換すると、
(log x)′ = lim
log(1 + k)
1
=
k→0
kx
x
(log x)′ = lim
(3) (e−x )′ =
2
y = eu , u = −x2 とおくと、y = e−x であるから、
dy
dy du
2
2
(e−x )′ =
=
= eu (−2x) = −2xe−x
dx
du dx
2
(4) (log(x2 + 1))′ =
y = log u, u = x2 + 1 とおくと、y = log(x2 + 1) であるから、
dy
dy du
1
2x
(log(x2 + 1))′ =
=
= 2x = 2
dx
du dx
u
x +1

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