20 )0( A Ae v

NO2
速度に比例する抵抗力による減衰現象の復習
なめらかな水平面上を運動している質量ｍ、速度ｖの物体に、
速度に比例する粘性抵抗力
－γｖ
が働いているとき、
運動方程式：
ｖ
γｖ
ｄｖ
ｍ
＝
ｄｔ
－γｖ
>
(1)
これを解くには、微分方程式の形に注目し、変数分離で解く。
変数のｖを左辺、ｔを右辺に集めて、
ｄｖ
＝
ｖ
γ
－
m
ｄｔ
の形にし、右辺をｖで、左辺をｔで別々に積分する。
(例題 1)
dv
dt
dv
dt
10
運動方程式は
2v
20v
を変数分離形にすると、
両辺をそれぞれ積分して、 log v
v(t )
e
2t C
Ae
2t
2t
C
・・①
dv
v
2dt
ただし、C は積分定数。
ただし、
A
eC
初速度が10(m/s)のとき、ｔ＝０のとき、v(0)＝20となる。
よって、一般解にｔ＝０を代入して、
v (0 )
Ae
これを①に代入して、
0
v(t )
A
20e
20
2t
・・②
速度が初めのｅ－１倍＝ 0.37 倍つまり、
20 ｅ－１になるとき、②式より
20e
1
20e
2
2
1
1/ 2
速度は時間と共に指数関数的に減速し、0.5 秒
で初速の 0.37 倍（約 1/3）になり、十分時間が
経つと（ｔ→∞）で０となる。グラフは右図の
ようになる。
- NO2- 1 -
∴
Ａ＝２０
と置いた。
（問題 1）ＲＣ回路におけるコンデンサーの放電
(1)キルヒホッフの法則より、
Q
C
IR
・・①
(2)また、コンデンサの電荷が減少することにより回路を
dQ
dt
I
電流が流れるので、
・・②
②を①に代入して、
R
(3)
dQ
dt
1
Q
C
dQ
dt
1
Q
RC
5
Ｃ＝ 5 μＦ，Ｒ＝ 8 × 10 Ωを代入すると、微分方程式は、
dQ
dt
1
Q
4
変数分離形にし、両辺を別々に積分すると
dQ
Q
1
dt
4
dQ
Q
1
t
4
log Q
Q (t )
Ae
1
dt
4
C
ただし、Ｃは積分定数
t
4
ただし、Ａ＝ｅＣ
と置いた。
初期条件より、はじめ（ｔ＝０）の電荷がＱ０＝ 60 μＣなので、
Q ( 0)
Ae
0
RC
A
60 10
6
これを一般解に代入して、
Q (t )
60 10 6 e
t
4
・・
③
コンデンサーの電荷は指数関数的に減少し、ｔ→∞で０となる。
電荷Ｑがはじめの電荷Ｑ０の 1/e ＝ｅ－１＝ 0.37 倍まで減少する時間を時定数τといい、
e
4
e
1
4( s )
また、時定数は、コンデンサーの電気容量Ｃ，電気抵抗Ｒを用いると、
τ＝ＲＣ
となる。
(3)③式のＱ(t)を①式に代入するか、または、③をｔで微分すると電流Ｉ(t)が得られる。
- NO2- 2 -
①式に代入する場合は、単純に計算すればよい。
微分して求める場合は、次のようになる。
I (t )
dQ
dt
d
60 10 6 e
dt
t
4
60 10
4
6
e
t
4
6
15 10 e
t
4
つまり、電流も時定数τ＝ 4(s)で指数関数的に減少する。
また、電流の初期値は、
I0
I ( 0)
15 10 6 e
0
4
15 10
6
15( A)
となる。
t
Ｑ－ｔグラフ
Q (t )
t
Ｉ－ｔグラフ
Q0 e
I (t )
I0e
電流、電荷とも、時定数τ＝ 4(s)で指数関数的に減少する。
ｔ＝０で電荷の放電が起こり電流が流れるが、コンデンサーに蓄えられていたエネルギー
は、抵抗Ｒび電流が流れるときにジュール熱となって消えていく。
よって、コンデンサーの電荷も、回路を流れる電流も、時間がたつと指数関数的に減少し
ていく。
（問題 2)
コンデンサーの充電
(1) コンデンサーの電荷をＱ、回路に流れる電流を I として、キルヒホッフの法則を立て
ると、
V
Q
C
or V
IR
Q
C
IR
0
・・①
- NO2- 3 -
(2) ①式をｔで微分すると、
d
V
dt
Q
IR
0
C
1 dQ
dI
R
0
C dt
dt
これに I
(3)
起電力Ｖは一定なので、微分すると 0 になり、
dQ
dt
を代入すると、 R
dI
dt
1
I
RC
dI
dt
1
I
C
0
電気容量Ｃ＝ 5 μＦ，Ｒ＝ 8 × 105 Ωを代入すると、微分方程式は、
dI
dt
1
I
4
変数分離形にすると、
dI
I
dI
I
1
dt
4
の両辺を積分して、
1
dt
4
t
4
log I
C1
ただし、Ｃ１は積分定数
∴
I (t )
t
4
Ae
・・②
ただし、
A
e c1
と置いた。
ｔ＝０でコンデンサーは帯電していないので、①式でＱ＝０とすると、
Ｉ０＝ V/R ＝ 12 ／ 8 × 105 ＝ 15 × 10 ー６ (A)＝ 15（μ A)
よって、②にｔ＝０を代入したものがＩ０＝ 15 × 10 ー６に等しいとして、積分定数Ａ
を求めると、
I ( 0)
Ae
0
4
A 1
A 15 10
6
これを②に代入して、
I (t )
6
15 10 e
t
4
・・③
時定数は、τ＝ RC で与えられる。
(4)
電荷Ｑ(t)は、③式の電流 I(t)を①式に代入するか、
I
dQ
dt
を使い、
I(t）を積分することによってＱ(t)が得られる。（後述）
- NO2- 4 -
①式に R、C、V の値を代入し、③を①に代入すると、
12
Q
5 10
6
8 10 5 I
Q
5 10
Q
5 10
12 e
12
Q (t )
6
60 10
6
1
8 10 5 15 10 6 e
6
t
4
t
4
e
t
4
つまり、ｔ＝０でＱ(0)＝０，ｔ→∞でＱ→ 60 × 10
ー６
＝ 60（μ C)
となり、コン
デンサーは充電される。
このとき、コンデンサーに蓄えられる電荷の最大値は、
ＱＭ＝ lim Ｑ(t)
＝ 60 × 10 ー６＝Ｉ０ ×τ
ｔ→∞
ここで、Ｉ０＝Ｖ／Ｒ、
(5)
Ｉ－ｔグラフ
τ＝ＲＣ
I (t )
V
e
R
より、
最大値は
t
RC
ＱＭ
＝ＣＶ
Ｑ－ｔグラフ Q (t )
CV 1 e
t
RC
電流Ｉ(t)の時間依存性について
初期値Ｉ o ＝ V/R から、指数関数的に減衰。時定数τ＝ RC で、はじめの値のｅー１＝
0.37 倍まで減少する。
電荷Ｑ(t)の時間依存性について
電荷は徐々に充電され、時定数τで（１－ｅー１）ＱＭ＝ 0.63 ＱＭまで増大する。
（参考
：(4)において、Q(t）を積分で求める別法）
コンデンサーの電荷Ｑと電流Ｉの関係は
dQ
dt
6
15 10 e
I
dQ
dt
よって、③を代入すると、
t
4
以下、15 × 10 ー６＝Ｉ０
- NO2- 5 -
とおく。
これをｔについて積分すると、
t
4
Q (t )
I 0 e dt
4I 0 e
t
4
・・④
C2
ただし、Ｃ２は積分定数
ｔ＝０でコンデンサーの電荷は０なので、Ｑ(0)＝０
Q(0)
4I 0 e
0
4
60 10 6 e
C2
0
4
C2
一般解④にｔ＝０を代入して、
0
C2
60 10
6
これを④に代入して、
6
Q (t )
60 10 e
t
4
60 10
6
60 10
6
1 e
t
4
(例題 2)パラシュートの問題
a) 下向きに軸を取ると、働く力は
重力
ｍｇ
抵抗力
ｍγｖ
：
下向き
：
上向き
抵抗力ｍγｖ
よって運動方程式は、
m
ｖ
dv
mg m v
dt
dv
g
v
dt
重力ｍｇ
γ＝2.0，重力加速度ｇ＝9.8m/s2
を代入すると（質量ｍにはよらないことに注意）
dv
9.8 2 v
dt
左辺をｖの係数で
ｖの係数でまとめて
dv
dt
まとめることが重要
2 v 4.9
定常解
4.9
変数分離形にして、
dv
v 4.9
（dv/dt=０の解）
がここに出る。
2dt
dv
v 4 .9
両辺を別々に積分して、
( 2)dt
log | v 4.9 |
2t C
ただし、C は積分定数。
また、初速は０なので、速度は徐々に増えて定常解 4.9 に近づくので、
ｖ＜４．９
したがって、絶対値を取ると、｜ｖ－４．９｜＝４．９－ｖとなる。
4.9 v(t ) e
2t C
v ( t ) 4 .9 A e
ここで
2t
：
A eC
一般解
- NO2- 6 -
とおくと、
ｔ＝０でｖ＝０より、
v(0) 4.9 A e
20
v ( t ) 4 .9 1 e
4.9 A 0
これを一般解に代入して、
2t
lim v(t ) lim 4.9 1 e
b) 十分時間がたったとき、
これは dv/dt=0
A 4 .9
t
2t
t
4 .9
で求めた定常解と一致する。
c)
十分時間が経つと、一定速度
（終端速度）になり、等速で
落ちていく。
（問題 3）(1)
働く力が 30(N)なので、速度をｖとすると運動方程式は、
4
dv
30
dt
dv
7.5
dt
それを積分すると一般解は、
v(t )
7.5dt 7.5 t C
ただし、C は積分定数。ｔ＝０で v(0)＝ 0 なので、ｔ＝０を代入して、
v(0)＝ 7.5・0 ＋ C ＝０
∴
C ＝０
よって、初めに止まっているときのｔ秒後の速度は、
v(t)＝ 7.5・ｔ
ｔ秒後の位置 x(t)はこれを積分して、
x(t )
v(t )dt
(7.5t )dt 3.75t 2 C '
ただし、Ｃ’は積分定数。ｔ＝０で原点にいるので、
ｘ(0)＝ 3.75・0 ＋Ｃ’＝０
∴
Ｃ’＝０
よって、初めに原点にあるとき、物体のｔ秒後の位置は
x(t ) 3.75t 2
(2) (a) 物体に 30(N)の力と速度に比例する抵抗力 10 ｖが働いている時、運動方程式は、
4
dv
30 10v
dt
dv
7.5 2.5v
dt
- NO2- 7 -
(b)
変形して変数分離にする。
dv
7.5 2.5v 2.5(v 3)
dt
dv
2.5dt
v 3
両辺を積分して、
dv
2.5 dt
v 3
log v 3
2.5 t C"
但し、Ｃ”は積分定数。
ここで、初速度０(m/s)なので、ｖ－３＜０より、｜ｖ－３｜＝－ｖ＋３
よって、
ただし、
v 3 e
A eC"
2.5 t C "
Ae
2.5 t
v(t ) 3 Ae
2.5 t
とおいた。
初速度 0(m/s)なので、ｔ＝０を代入して、
v(t ) 3(1 e
2.5 t
v(0)＝３－Ａ＝０
∴ A=３
)
また、十分時間が経った時の速度（終端速度）は、
lim v(t ) lim 3(1 Ae
t
2 .5 t
t
) 3
または、定常状態では dv/dt ＝０より、ｖ＝３
(c)
さらにｖを積分すると
x(t )
v(t )dt
3t
3(1 e
3
e
2.5
2.5 t
2.5 t
)dt
C1 3t .1.2e
2.5 t
C1
ただし、C1 は積分定数。x(0)＝０より、x(0)＝ 1.2 ＋ C1 ＝０
x(t ) 3t .1.2(e
2.5 t
1)
（問題 4）ＲＬ回路
(1)回路に流れる電流をＩとして、キルヒホッフの法則を立て
ると、
V
(2)
L
dI
dt
dI
移項して、 L dt
IR
V
IR
・・①
- NO2- 8 -
∴
C1 ＝－ 1.2
これより、Ｉ∞＝一定となる定常状態では、時間変化がないので dI ∞/dt ＝０となり、
Ｖ－Ｉ∞Ｒ＝０
I∞
∴
→
Ｖ／Ｒであることが分かる。
①の両辺をＬでわって変形すると、
dI
dt
R
I
L
V
L
R
I
L
V
R
R
I
L
I
変数分離にすると、
dI
I I
log I
R
dt
L
両辺を積分して、
R
t
L
I
C
ただし、Ｃは積分定数
ｔ＝０でＩ(0)＝０であるので、Ｉ＜Ｉ∞。
∴
I
I
R
t C
L
e
I (t )
I
eC
0
e
R
t
L
eC
・・②
ｔ＝０を代入し、０に等しいとすると、
I (0)
I
R
0 C
L
e
I
eC
I
これを②に代入すると、
I (t )
(3) Ｉ－ｔグラフ
I
1 e
R
t
L
I (t )
V
1 e
R
V
1
R
e
R
t
L
R
t
L
コイルにより、変化を妨げる向きに自己誘導起電力が生じるので、スイッチを入れた瞬間
に電流はＶ／Ｒにならず、徐々に電流値は増大していく。
時定数τ＝Ｌ／Ｒで定常電流Ｉ∞＝Ｖ／Ｒの６３％の大きさに達し、ｔ→∞で定常状態に
なる。
- NO2- 9 -

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