数学解析 II 宿題３ 2014 後、担当：梅原、電シ（水 1-2）、電物（水 3-4）[03]
マルせよ→（電シ・電物）学籍番号
氏名
注意事項
1. この用紙を用いること。講義 web ページ（http://www.cc.miyazaki-u.ac.jp/umehara/lecture2014 2.html）か
らプリントアウトしてもよい。その場合, A4 で両面印刷にすること。紙を付け足す場合も A4 用紙を用いること。
指定を守らない物は原則として受け取らない。
2. 略解（解説）を講義 web ページに掲載します。独力で解いたあと、略解を見て自分で添削を済ませること。添削
の際は、自分なりの学習の跡を残すことが大切です。また、質問を書き込んでもよいです。
3. 今回の宿題の提出期限は
問1
2014 年 10 月 27 日（月）13:00 とします。提出先：A209 のポスト
次のそれぞれの関数に対して, fx と fy を
(7) fx =
計算せよ. (7) の関数については, fxy = (fx )y と
=
fyx = (fy )x も計算せよ.
fy =
(1) f (x, y) = x3 − 2x2 y + y 4
(2) f (x, y) =
√
(3) f (x, y) = x2 − 3y
=
2
(7) f (x, y) =
x(x4 −y 4 −4x2 y 2 )
,
(x2 +y 2 )2
fxy = (fx )y =
(4) f (x, y) = ey−x sin 3y
(6) f (x, y) = tan−1
y(x4 −y 4 +4x2 y 2 )
,
(x2 +y 2 )2
(x3 −3xy 2 )(x2 +y 2 )−(x3 y−xy 3 )·2y
(x2 +y 2 )2
=
1
x−y
(5) f (x, y) = xy
(3x2 y−y 3 )(x2 +y 2 )−(x3 y−xy 3 )·2x
(x2 +y 2 )2
y
=
xy(x2 −y 2 )
x2 +y 2
{
y(x4 −y 4 +4x2 y 2 )
(x2 +y 2 )2
x6 +9x4 y 2 −9x2 y 4 −y 6
,
(x2 +y 2 )3
fyx = (fy )x =
(x)
∂
∂y
∂
∂x
{
x(x4 −y 4 −4x2 y 2 )
(x2 +y 2 )2
}
}
x6 +9x4 y 2 −9x2 y 4 −y 6
(x2 +y 2 )3
(終わり)
問2
[解答例（解説）]
(1) fx = 3x2 − 4xy, fy = −2x2 + 4y 3
(2) fx =
1
− (x−y)
2,
fy =
[解答例（解説）]
1
(x−y)2
(3) fx = 12 (x2 − 3y)− 2 · 2x = √
1
fy = 21 (x2 − 3y)− 2 · (−3) =
1
あ
あ
x
,
x2 −3y
− √ 32
2 x −3y
2
あ
あ
あ
2
(4) fx = ey−x sin 3y · (−2x) = −2xey−x sin 3y,
2
あ
2
fy = ey−x sin 3y + ey−x cos 3y · 3
2
= ey−x (sin 3y + 3 cos 3y)
あ
あ
あ
(5) fx = yxy−1 , fy = xy log x
あ
あ
1
を思い出そう.
(6) 微分公式 (tan−1 x)′ = 1+x
2
(
)
y
1
x
1
fx = 1+( x )2 · y x = 1+( x )2 · y1 = x2 +y
2,
y
y
(
)
−x
fy = 1+(1x )2 · xy y = 1+(1x )2 · −x
y 2 = x2 +y 2
y
あ
あ
あ
y
あ
あ
あ
あ
あ
あ
1
あ
あ
(終わり)
問2
√
f (x, y) = x2 − 3y とする. 偏微分の定義
にしたがって, fx , fy を求めよ.
問3
(1) 関数
{
f (x, y) =
x3
x2 +y 2
· · · (x, y) ̸= (2, 1)
a
· · · (x, y) = (2, 1)
が xy 平面全体で連続であるには, 定数 a の値が何
[解答例（解説）] 偏微分の定義の式から,
であればよいか.
fx (x, y) = lim
(2) 関数
h→0
{
f (x, y) =
x3
x2 +y 2
· · · (x, y) ̸= (0, 0)
0
· · · (x, y) = (0, 0)
f (x+h,y)−f (x,y)
h
√
= lim
(x+h)2 −3y−
h
= lim
(x+h)
√
h→0
2
h→0 h(
は, 原点で連続か.
{
= lim
h→0
h→0
=√
で連続であるには,
lim
f (x, y) = f (2, 1)
が成り立てばよい. 右辺は a であり, 左辺は
なので, a =
8
5
=
·
√
x2 −3y)
1 √
√
(x+h)2 −3y+ x2 −3y
}
2x+h √
(x+h)2 −3y+ x2 −3y
2x√
x2 −3y+ x2 −3y
=√
x
x2 −3y
となる. 同様にして,
(x,y)→(2,1)
23
22 +12
x2 −3y
−3y−(x2 −3y)
(x+h)2 −3y+
2xh+h2
h
= lim √
[解答例（解説）] (1) (x, y) = (2, 1) 以外の点で
f (x, y) が連続であることは明らかである. 点 (2, 1)
√
fy (x, y) = lim
k→0
8
5
f (x,y+k)−f (x,y)
k
となることを確認せよ.
=− √
2
3
x2 −3y
(終わり)
であればよい.
あ
(4) 原点で連続であるかどうかは,
あ
lim
あ
f (x, y) = f (0, 0)
(x,y)→(0,0)
あ
が成り立つかどうかである. 左辺の極限を調べる.
あ
極座標を入れて, x = r cos θ, y = r sin θ とすると,
あ
f (x, y) =
3
x
x2 +y 2
=
3
3
r cos θ
r2
あ
= r cos3 θ
あ
となる. 任意の θ で −1 5 cos3 θ 5 1 なので,
あ
−r 5 r cos3 θ 5 r
あ
がいつでも成り立っているから, はさみうちの定
あ
理により, θ が勝手な動きをしつつ r → 0 のとき,
あ
f (x, y) は 0 に収束する. したがって,
あ
lim
あ
f (x, y) = 0
(x,y)→(0,0)
あ
である. いっぽう, f (x, y) の定義から, f (0, 0) = 0
あ
なので,
あ
lim
f (x, y) = 0 = f (0, 0)
あ
(x,y)→(0,0)
が成り立つ. よって, f (x, y) は原点で連続である.
あ
(終わり)
あ
あ
あ
あ
あ
—– 通信欄（授業や宿題に関して何かあれば） ——
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
2