解析 II 中間テスト（2014 年 7 月 14 日） 1 枚目
学籍番号氏名点数最高点 91 点平均点 41 点次の極限が存在するかどうか調べ，存在する場合は極限値を求めよ.（各 10 点）
x+y
(1) lim
(x,y)→(0,0) 2x + 3y
x 3 + y3
(ヒント： x2 + y2 + x2 y2 ≥ x2 + y2 ≥ 0 であることに注意)
(2) lim
(x,y)→(0,0) x2 + y2 + x2 y2
1
解答例 (1) x 軸 ( 直線 y = 0 ) に沿って (x, y) を原点に近づけるとき,
く. 一方, y 軸 (直線 x = 0 に沿って (x, y) を原点に近づけるとき,
て，(x, y) が原点に近づくときの近づき方によって
x+y
2x+3y
x+y
2x+3y
=
x+y
2x+3y
0+y
2·0+3y
x+0
= 2x+3·0
=
1
= 3 より,
1
2
より,
x+y
2x+3y
の値が近づく値が変わるので,
x+y
は存在
(x,y)→(0,0) 2x + 3y
しない.
(2) x = r cos θ, y = r sin θ とおくと,
3
x + y3 r3 cos3 θ + r3 sin3 θ x 3 + y3
3
3
0≤ 2
≤
=
≤ |r cos θ + r sin θ| ≤ r + r = 2r → 0
x + y2 + x2 y2 x2 + y2 r2
よって, はさみうちの原理から
2
 3 22 3

x +x y +y


 x2 +y2
関数 f (x, y) = 


0
lim
(x,y)→(0,0)
は
x+y
は 12 に近づ
2x+3y
1
に近づく. 従っ
3
lim
(r → 0 のとき).
x 3 + y3
= 0 となる.
x2 + y2 + x2 y2
(x, y) , (0, 0) のとき
(x, y) = (0, 0) のとき
は原点で連続かどうか調べなさい.(10 点)
解答例 x = r cos θ, y = r sin θ とおくと,
3
r cos3 θ + r4 cos2 θ sin2 θ + r3 sin3 θ 2
3
3
2
2
2
0 ≤ | f (x, y)| ≤ = |r cos θ + r cos θ sin θ + r sin θ| ≤ r + r + r → 0
r2
(r → 0 のとき).
はさみうちの原理より,
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = 0 となる. よって,
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = f (0, 0) が成り立つので f (x, y) は原
点で連続である.
babababababababababababababababababababababababab
多くの人に言えることですが，絶対値をないがしろにしすぎです. あるべきところに絶対値を付けな
かったり，あるいはむやみに外してしまったりすると等式や不等式が成立しなくなります.
r3 cos3 θ + r4 cos2 θ sin2 θ + r3 sin3 θ
例 1： 0 ≤
は右辺に絶対値がないのでウソ. （実際, θ = π のとき，
r2
右辺は −r になって 0 以上とはいえません.）
x 3 + y3
例 2: 0 ≤ 2
は右辺に絶対値がないのでウソ. (実際, x = 0, y = −1 のときは右辺は −1 な
x + y2 + x 2 y2
ので成立しません.)
x 2 + y2
は右辺に絶対値はないが正しい.(x2 + y2 ≥ 0，x2 + y2 + x2 y2 ≥ 0 だからです.)
例 3: 0 ≤ 2
x + y2 + x 2 y2
 2 2

xy(x −y )


(x, y) , (0, 0) のとき
 x2 +y2
3 関数 f (x, y) = 
に対して, f x (0, 0), f x (0, h) (但し，h , 0) を偏微分係数の定


0
(x, y) = (0, 0) のとき
義に従って求めよ. また, f xy (0, 0) を偏微分係数の定義に従って求めよ. (15 点)
解答例偏微分係数の定義から, f x (0, 0) = lim
k→0
0−0
f (k, 0) − f (0, 0)
= lim
= 0,
k→0
k
k
f (k, h) − f (0, 0)
f x (0, h) = lim
= lim
k→0
k→0
k
kh(k2 −h2 )
k2 +h2
k
h(k2 − h2 ) −h3
=
= −h
k→0 k2 + h2
h
= lim
がまずわかる. これらを利用して,
f xy (0, 0) = lim
h→0
−h − 0
f x (0, h) − f x (0, 0)
= lim
= −1.
h→0
h
h
41
関数 f (x, y) = e x cos2 y − ey sin2 x に対して, f x (x, y), fy (x, y) を計算せよ. (10 点)
解答例 f x (x, y) = e x cos2 y − 2ey sin x cos x,
fy (x, y) = −2e x cos y sin y − ey sin2 x.
点数を取ってもらおうと思って出したのですが，できた人は 22 名中 6 人でした…。sin2 x などの微分は解析 I で練習しませんで
したか？
1
解析 II 中間テスト（2014 年 7 月 14 日） 2 枚目
学籍番号 5
氏名関数 f (x, y) = x2 + xy + y3 + y2 は原点で全微分可能か調べよ.(15 点)
解答例 (h, k) = f (h, k) − f (0, 0) − h f x (0, 0) − k fy (0, 0) とおく. まず, f (0, 0) = 0 はすぐにわかる. 一方,
f x (x, y) = 2x + y, fy (x, y) = x + 3y2 + 2y であるから, f x (0, 0) = 0, fy (0, 0) = 0 となる. したがって, (h, k) = f (h, k) =
h2 + hk + k3 + k2 である. h = r cos θ, k = r sin θ とおくと,
(h, k) r2 cos2 θ + r2 cos θ sin θ + r3 sin3 θ + r2 sin2 θ =
0 ≤ √
h2 + k2 r
≤ |r cos2 θ + r cos θ sin θ + r2 sin3 θ + r sin2 θ| ≤ r + r + r2 + r → 0 (r → 0 のとき)
はさみうちの原理より,
6
lim
(h,k)→(0,0)
(h, k)
= 0. よって, f (x, y) は原点で全微分可能である.
√
h2 + k 2
C 1 級関数 z = f (x, y) に対し, x = r cosh θ, y = r sinh θ とするとき, 連鎖律を用いて z2x − z2y = z2r −
ることを確かめなさい2 . (15 点)
z2θ
であ
r2
解答例
連鎖律より, zr = z x xr + zy yr = z x cosh θ + zy sinh θ および zθ = z x xθ + zy yθ = z x r sinh θ + zy r cosh θ が成
2
り立つ. cosh θ − sinh2 θ = 1 に注意して,
z2r −
z2θ
= z2x cosh2 θ + 2z x zy cosh θ sinh θ + z2y sinh2 θ − (z2x sinh θ + 2z x zy sinh θ cosh θ + z2y cosh2 θ)
r2
= (cosh2 θ − sinh2 θ)z2x − z2y (cosh2 θ − sinh2 θ)
= z2x − z2y .
2
必要ならば, cosh θ, sinh θ の定義式 cosh θ =
eθ − e−θ
eθ + e−θ
, sinh θ =
を用いよ. ヒント： cosh2 θ − sinh2 θ =???.
2
2
7
f (x, y) = x2 + 2x + y3 + y + 2xy の極値をすべて求めなさい. (15 点)
解答例 (step.1) まずは停留点（極値を取る点の候補) を
f x (x, y) = 2x + 2 + 2y = 0
➀
fy (x, y) = 3y2 + 1 + 2x = 0
➁
を解いて求める. ➀ より y = −x − 1. これを ➁ に代入して (x + 2)(3x + 2) = 0 を得る. これを解いて x = −2, − 23
である. y = −x − 1 より, x = −2 のとき y = 1 であり, x = − 23 のとき y = − 31 . よって，極値を取る点の候補は
(x, y) = (−2, 1), (− 23 , − 13 ) の 2 点である.
(step.2) 次に極値の判定を行う. f xx (x, y) = 2, f xy (x, y) = 2, fyy (x, y) = 6y より, 極値の判別式は D(x, y) = 4 − 12y.
(i) D(− 32 , − 13 ) = 8 > 0 より点 (− 23 , − 13 ) では極値を取らない.
(ii) D(−2, 1) = −8 < 0, f xx (−2, 1) = 2 > 0 より, 点 (−2, 1) では極小値 f (−2, 1) = −2 を取る.
(i),(ii) より, f (x, y) の極値は, 極小値 f (−2, 1) = −2 のみである.