確率統計1の問題 - WordPress.com

確率統計
佐久間紀佳
愛知教育大学教育学部
平成 26 年 12 月 10 日
目次
1 確率空間・確率分布
1.1
1.2
1
重要な確率分布について（1 次元編） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
離散型確率変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2
連続型分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 次元確率分布について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 平均・分散
4
3 独立性
4
確率空間・確率分布
1
1.1
1.1.1
重要な確率分布について（1 次元編）
離散型確率変数
確率変数 X が離散型の確率分布に従っているときの重要な分布を以下に列挙する.
定義 1 (成功確率 p のベルヌーイ分布 Be(p)).



p
P( X = k ) = q = 1 − p



0
定義 2 (n 回試行成功確率 p の二項分布 B(n,p)).

 ( n ) p k (1 − p ) n − k
k
P( X = k ) =
0
1
k=1
k=0
otherwise
k = 0, . . . , n
otherwise
定義 3 (幾何分布 Ge(p)).
P( X = k ) =

 p (1 − p ) k
k ∈ Z≥0 : = N ∪ { 0 }
0
otherwise
定義 4 (負の二項分布 NB(n,p)).




n
+
k
−
1


 p n (1 − p ) k
P( X = k ) =
n−1



0
k ∈ Z≥0
otherwise
定義 5 (ポアソン分布 Po(λ)).
P( X = k ) =
1.1.2

 e −λ λk
k ∈ Z≥0
0
otherwise
k!
連続型分布
確率変数 X を連続型分布に従う確率変数とする。すなわち、ある関数 f X ( x ) が存在して,
P( a ≤ X ≤ b ) =
∫
( a,b)
f X ( x )dx,
と書ける確率変数である. この f X を確率変数 X の確率密度関数 (p.d.f.) と呼ぶ.
定義 6 (平均 m 分散 σ2 の正規分布（ガウス分布）).
f X (x) = √
1
2πσ2
e
− (x−m2 )
2σ
2
,
x ∈ R.
定義 7 (対称標準コーシー分布).
f X (x) =
1 1
,
π 1 + x2
x ∈ R.
定義 8 (区間 ( a, b) 上の一様分布).


f X (x) =
1
b− a
0
x ∈ ( a, b)
otherwise.
定義 9 (パラメーター (t, λ) のガンマ分布). t, λ > 0 とする.

 λt x t−1 e−λx x ≥ 0
f X ( x ) = Γ(t)
0
otherwise.
注意 1 (指数分布, χ2 分布). 指数分布はガンマ分布のパラメーター (1, λ) のとき、自由度 n の χ2
分布はガンマ分布のパラメーター n2 , 1 のときを指す。
2
1.2
2 次元確率分布について
連続確率ベクトル ( X, Y ) の同時確率密度関数 (j.p.d.f.) を f (X,Y ) であらわす. f (X,Y ) は以下をみ
たす関数である:
f (X,Y ) ( x, y) ≧ 0,
∫
∫
dx dy f (X,Y ) ( x, y) = 1.
R
R
2 次元正規分布の同時確率密度関数は
)
(
1
x 2 + y2
f (X,Y ) ( x, y) =
exp −
2πv
2v
問題 1. 次の基本事項を思い出せ
• 確率空間の定義を述べよ.
• 条件付き確率の定義を述べよ.
• 確率変数は離散分布をもつケースと連続分布をもつケースがある. それらの例を述べよ.
• 正規分布の確率密度関数を述べよ.
• ポアソン分布の確率分布を述べよ.
• それぞれの場合の平均分散の定義を述べよ.
• 確率ベクトル ( X, Y ) の共分散の定義を述べよ.
• 独立の定義を述べよ.
• 独立のな事象同士の条件付き確率はどうなるか?
• 期待値に線形性はあるか? 分散に線形性はあるか?
• 確率ベクトル ( X, Y ) の X, Y が独立な連続分布に従う確率変数であるとき, その同時確率密
度関数はどのようになるか?
問題 2. X を以下で与えられる離散分布に従う確率変数とする

C (1/2)k (k = 1, 2, 3, . . . 10)
P( X = k ) =
0
otherwise
(1) 定数 C の値を求めよ.
(2) E[ X ] の値を求めよ.
(3) V[ X ] の値を求めよ.
3
問題 3. X を以下で与えられる確率密度関数をもつ連続分布に従う確率変数とする

Cx ( x ∈ [0, 2])
f X (x) =
0
otherwise
(1) 定数 C の値を求めよ.
(2) E[ X ] の値を求めよ.
(3) V[ X ] の値を求めよ.
2
平均・分散
3
独立性
問題 4. 確率ベクトル ( X, Y ) の分布を次で与えるとする:
P( X = 1, Y = 1) = 1/4
P( X = 1, Y = 0) = 1/4
P( X = 0, Y = 1) = 1/4
P( X = 0, Y = 0) = 1/4
(1) E[ X ], E[Y ] を求めよ.
(2) Cov( X, Y ) を求めよ.
問題 5. 確率ベクトル ( X, Y ) の分布を次で与えるとする:
P( X = 1, Y = 1) = 1/2
P( X = 1, Y = 0) = 0
P( X = 0, Y = 1) = 0
P( X = 0, Y = 0) = 1/2
(1) E[ X ], E[Y ] を求めよ.
(2) Cov( X, Y ) を求めよ.
補遺
この講義での演習や試験では無限級数の和、部分積分、ガンマ分布やベータ分布の計算を用い
る問題をしばしば出す。必ず復習しておくように。以下の公式は確率統計の授業で頻繁に用いる
公式である。忘れてしまっている場合は再証明し、公式に親しんでおくことを勧める。
4
等比級数
r ∈ R とする. このとき, 次が成立する.
1 − r n +1
1−r
n
∑ rk =
k =0
この公式については証明を覚え、初項や項数が変わったりしたときでもそれにあわせて式変形で
きるよう訓練を積んでいなくてはならない。
二項定理
( )
n
( x + y) = ∑
x k yn−k
k
k =0
n
n
等比級数
r ∈ (0, 1) とする. このとき, 次が成立する.
∞
1
∑ rk = 1 − r
k =0
高校で習った等比級数の極限。
5
初等関数の Maclaurin 展開
ex =
∞
∑
k =0
xk
x2
x3
= 1+x+
+
+··· ,
k!
2
6
( x ∈ R),
∞
sin x =
(−1)k−1 2k−1
x3
x
=
x
−
+··· ,
∑ (2k − 1)!
6
k =1
cos x =
(−1)k 2k
x2
x = 1−
+··· ,
(2k)!
2
k =0
∞
∑
( x ∈ R),
( x ∈ R),
∞
log(1 + x ) =
(−1)k−1 k
x2
x3
x4
x
=
x
−
+
−
+··· ,
∑ k
2
3
4
k =1
(| x | < 1).
テイラー展開の一般的な公式も思い出しておこう。
次に積分がらみの公式を思い出す。s > 0, p, q > 0 とする。
ガンマ関数
Γ(s) =
ベータ関数
∫ ∞
0
∫
B( p, q) =
(0,1)
x s−1 e− x dx.
x p−1 (1 − x )q−1 dx.
これらと次の命題を覚えていればガンマ分布やベータ分布は暗記に苦労しない。
命題 1. 次が成立する:
(1) Γ
(1)
2
=
√
π,
(2) Γ(s) = (s − 1)Γ(s − 1),
(3) n ∈ N に対して, Γ(n) = (n − 1)!,
(4)
B( p, q) =
Γ( p)Γ(q)
.
Γ( p + q)
次の公式を試験中に再証明するのは時間がかかるし間違いの元なので覚えておいた方がよい。
ガウス積分
√
∫
R
e
− ax2
dx =
6
π
,
a
a > 0.

Download Report