9-BioS 統計基礎演習

BioS 25 入学試験
番号
2014 年 4 月 17 日版
所属＿＿＿＿＿＿＿＿＿
氏名
2014 年 4 月 23 日
1. 基本統計量（11，各 1 点）
ある 8 人の会社の定期健康診断のコレステロールの検査結果は，310mg/dL が 1 人，
250mg/dL が 1 人，230mg/dL が 4 人，220mg/dL が 2 人であった．次の統計量を求めよ．
それぞれの統計量に単位を付けること．
（1）平均値
（2）偏差平方和
（3）不偏分散
（4）標準偏差
（5）変動係数
（6）平均値の SE
（7）平均値の下側 95%信頼区間
（8）メディアン
（9）モード
（10）四分位数（25%点，75%点）
（11）分布の歪みは正と負のどちらか
t表
2．正規分布（15，各 3）
（1）標準正規分布（平均 0，標準偏差 1）の確率密度関数をできるだけ正確に描きなさ
い． X 軸の目盛り，Y 軸の目盛りを入れること．次の式を参考にしてもよい．
f ( ,  ) 
 (x  )2 
exp 

2 2 
 2

1
（2）（1）で作成した図に，平均値が 2，標準偏差が 3 の正規分布の確率密度関数を重
ね書きしなさい．
（3）ある臨床試験の 1000 例の投与前の収縮期血圧は平均 160mmHg，標準偏差 15mmHg
の正規分布に近似的に従うことが確認された．分布関数をできるだけ正確に描き
なさい．X 軸の目盛り，Y 軸の目盛りを入れること．
正規分布表
（4）
（3）で血圧が 130mmHg 以下になるおおよその人数は何人か．
（5）ある降圧剤の投与後に，拡張期血圧は，平均値が 130mmHg，
標準偏差 10mmHg の正規分布に近似的に従うことが確認され
た．この分布関数を（3）の図に重ね書きせよ．
1
3．回帰分析（15，各 5）
7 人の被験者に対し 3 用量の x に対する反応 y は次のようになった．
(1, 11), (1, 14), (2, 11), (2, 14), (2, 17), (3, 14), (3, 17)
（1）散布図を正確に描き y = b0 + b1 x となる回帰直線を最小 2 乗法の考え方にしたが
って重ね書きして b0 と b1 を推定せよ．
（2）回帰分析の結果について分散分析表を作成せよ．図が正しく描ければ，暗算程度
の計算である．
要因
回帰
誤差
全体
平方和
自由度
平均平方
分散比 F
―
―
（3）相関係数および寄与率の定義式を示した上で計算せよ．
4. 分散の性質（12，各 3）
2 つの確率変数 X 1 , X 2 の期待値がそれぞれ 1 ，  2 であり，分散が  2 と共通で，互
いに独立としたとき，次の設問に答えよ．
（1） Y1  X1  X 2 の期待値と分散を求めよ．
（2） Y2  ( X1  X 2 ) / 2 の期待値と分散を求めよ．
（3）共分散 Cov( X1 , Y1 ) を求めよ．
（4）相関係数  ( X1 , Y1 ) を求めよ．
5．2 項分布の基礎（15，各 3 点）
ある事象 X 1 が起きない場合を x1  0 ，起きる場合を x1  1 とし，出現確率を 1   と
する．
（1）期待値 E ( X1 ) の定義式を示し，期待値を計算せよ．
（2）分散 V ( X1 ) の定義式を示し，分散を計算せよ．
（3）事象が互いに独立とした場合に，観測値の 4 回の合計 T  X1  X 2  X 3  X 4 の
分散を計算せよ．
（4）合計 T が 2 項分布に従うとしたとき，   0.4 の場合について確率関数を描け．
（5）合計 T の分布関数を描け．
2
6．ロジスティック回帰（12，各 3 点）
次の式について以下の設問に答えよ．
p
l o g ( )  b0  b1 x
1 p
（1）反応率 p が 0.1 となる x を推定せよ．
（2） x  5 のときの p を求めよ．
p
（3） log(
)  b0  b1 x を p について解け．
1 p
（4） b0  5 ， b1  1 の場合に付いて X 軸に x を，Y 軸を p とした曲線を図示せよ．
7．回帰分析（20，各 2 点）
（3）で示した 7 個のデータ（x, y）＝(1, 11),
(1, 14), (2, 11), (2, 14), (2, 17), (3, 14),
(3, 17) について最小 2 乗法によって回帰分析を行ないたい．回帰係数の推定値 βˆ は次
式で求められる．
βˆ  ( X T X )1 X T y
デザイン行列 X，および X T X の逆行列は，次のようである．
1
1

1

X  1
1

1
1

1
1 
2

2
2

3
3 
1.1429 0.5
( X T X )1  

 0.5 0.25 
1）転置行列 X T を示せ．
T
2） X X を計算せよ．
3）行列式 | X T X | を求めよ．
4）行列式を用いて ( X T X )1 の計算方法を示せ．
5） ( X T X )1 X T を計算せよ．
6）回帰係数の推定値 βˆ を ( X T X )1 X T y により計算せよ．
7）回帰モデルによる予測値 yˆ  Xβˆ を求めよ．
8）誤差平方和 Se および誤差分散  e2 を求めよ． Se  ( y  yˆ )T ( y  yˆ ) で計算してもよい．
9）回帰直線の傾きの分散は，分散共分散行列 Σ  ( X T X )1ˆ e2 の 2 行 2 列目の対角要素
から求められる．回帰直線の傾きの分散を計算せよ．
10）傾きの 95%信頼区間を計算せよ．問 1 の t 表を参照のこと．
以上
3

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