赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com) 4STEP の考え方 (数学 c) 第 2 章 極限 などなど． 2 無限等比数列 189 .Point/ まずは，初項が 0 でないことを意識し，公 比 r を x で表そう．無限等比数列 frn g が 無限等比数列 frn g の (一般項の) 極限のよう 収束するのは ¡1 < r 5 1 ときですが， すを正確に暗記すること． ¡1 < r < 1 と r = 1 で収束先が異なるこ r > 1 のとき lim rn = 1 n!1 r = 1 のとき lim rn = 1 n!1 j r j< 1 のとき lim rn = 0 n!1 r 5 1 のとき 振動 (極限はない) とに注意しよう． 190 問題集下のヒントを参照のこと． (1) は ¡1 < x 5 1 を解くことになり 1 + 2x ますが，勝手に分母をはらってしまわないよ この結果から，無限等比数列 frn g(の一般項) うに． が収束するのは (2) は無限等比数列 farn g の収束条件なの ¡1 < r 5 1 で，初項 a が 0 かどうかで場合分けせねばな りません． ときであることがわかる． 191 無限等比数列 frn g の極限の様子を r による 場合分けを思い出そう．(1)(2)(3) で r に始 187 めから制限が付いているので，その部分は除 上のポイントに従うだけ． 外して考えます．始めはなるべく r で細かく 188 n 無限等比数列 fr g が収束するのは ¡1 < 場合わけして考えたほうがよいでしょう．細 r 5 1 ときです．したがって，とりあえずは かく場合分けして最後に同じ結論をまとめる 式の中に ¡1 より大きく 1 以下の数の n 乗 のです．(3) に悩むかもしれません．途中で 1 1 n # ; と考えることがポイント． = rn r を作ることを目標に変形するのですが，その 際に，分母が 0 にならないように十分注意す 定数 ること．なお， = 0 も利用しよう．た 1 とえば， 192 r 5 1 と き で す ．こ の 問 題 の 場 合 ，公 比 x x r= 2 なので，¡1 < 2 51 x + 2p x + 2p が全て実数 x で成立するような p の範囲を (1) は分母分子を 2n で割ります． 5 3¡0 2n ¡! 3 1+0 1+ n 2 3¡ 3 ¢ 2n ¡ 5 = 2n + 3 求めよということ．この問題の場合は p > 0 なのでそのまま分母をはらっても問題ないで す．したがって，不等式 (2) は分母分子を 3n で割っても 2n で割って も構いません．例えば 3n で割ってみると， ¡x2 ¡ 2p < x 5 x2 + 2p 2 n ; 2 0 3 = ¡! 4 3n ¡ 4 1¡0 1¡ n 3 n 無限等比数列 frn g が収束するのは ¡1 < # が全ての実数 x で成立するような p の範囲 を求めることが目標．本質的に数学 a の範 囲ですね． n (3) は分母分子を 3 で割ろう．この場合は， 2n や 4n で割るとダメです (なぜダメなのか は実際に割ってみて各自考えよう)． 2n n 4 ¡1 2 ¡1 = n = 3n + 5 3 +5 # 4 n 1 ; ¡ n 3 3 5 1+ n 3 193 まずはそれぞれの漸化式を解こう．基本中の 基本．これが解けないと理系の資格なし！ an を n で 表 す こ と が で き れ ば ， n ! 1 と す れ ば 数 列 fan g の 極 限 が 分 か り ま す ． な お ，極 限 を 求 め た 後 ，も と の 漸 化 式 で 赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com) an = an+1 = ® とおいて ® を求めてみよ 4STEP の考え方 (数学 c) 197 3n を作りだすために，とりあえず，問題文の う．そして何かを感じ取ろう． 194 式に h = 2 を代入してみよう．すると， 分数タイプ (分子が an の項のみ) の漸化式 3n = 1 + 3n + も基本中の基本．an を n で表すことができ れば，n ! 1 とすれば数列 fan g の極限が分 この式を変形して， かります．なお，極限を求めた後，もとの漸 n をうまく何かでハサ 3n メないでしょうか． 化式で an = an+1 = ® とおいて ® を求めて な お ，こ の 問 題 は 証 明 も さ る こ と な が ら みよう．そして何かを感じ取ろう． 195 9n(n ¡ 1) 2 結 果 を し っ か り と 理 解 し ，で き れ ば 暗 記 し て お き た い と こ ろ ．こ の 問 題 の 結 論 は 一般の分数タイプの漸化式．このタイプは n = 0．このことは n よりも 3n の方 3n がはるかに大きいということ，つまり n も lim ノーヒントで出ることはなく必ず誘導がつき n!1 1 とおくよう an ¡ 2 指示されているので，これをうまく用いて bn 3n も同じ 1 に発散するが，1 にも大小があ ます．今回の場合，bn = ることを意味しています．一般に，指数関数 に関する漸化式を作ることを目標にします． しかし，なぜ bn = うか． 1 とおくのでしょ an ¡ 2 ax のほうが一般の n 次関数 (いわゆる整関 数) よりも圧倒的に大きいのです. つまり 一般の分数タイプの漸化式を本質を理解して lim 1 とおくのか， an ¡ 2 どのような変形をすれば bn の漸化式が得ら いる人は，なぜ bn = n!1 整関数 =0 指数関数 が成立します．このことは覚えておいたほう れるのかわかるのですが，本質を知らない人 がよいです． は，やや計算が面倒ですが確実な方法で臨む しかありません．つまり，bn = 1 を an ¡ 2 1 an = + 2 と変形して，もとの漸化式に bn 代入するのです．まずは bn を求めてから an を求めよう．n ! 1 とすれば数列 fan g の 極限が分かります． なお，一般の分数タイプの漸化式については 犬プリで詳しく解説しましたね． 196 3 項間の漸化式は以前に犬プリで説明済 み．そちらを参照にしてください．まずは an+2 = t2 , an+1 = t, an = 1 とおいて t の 2 次方程式を立てるのでした． 198 このタイプの漸化式は初登場ですが犬プリで 解説済み．指数型 an+1 = an p タイプは，両 辺の対数をとることで通常の等比数列に変形 できるのでした．例えば，10 を底とする対 数をとると， p log10 an+1 = log10 an = p log10 an ここで log10 an = bn とおけば， bn+1 = pbn となり，fbn g が等比数列になります．
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