物理学補足資料平面内の曲線 y = y(x) の曲率半径 ■微分量の変数変換なさい．曲線上の微小区間 (x, y), (x + dx, y + [解] y ′ = 2x, y ′′ = 2 を 4 に代入して， dy) を半径 ρ, 中心角 dθ の微小円弧とみなすと， ds = √ √ dx2 + dy 2 = ρdθ ∴ ρ= dx2 + dy 2 dθ [ ]3 1 + (2x)2 2 ρ(x) = 2 (1) また，点 (ξ, ξ 2 ) での曲率中心の位置は (−4ξ 3 , 3ξ 3 + 1/2) で平面曲線においては接線が x 軸となす角度を θ とすると， dy dx tan θ = ∴ ( 曲線 y = x2 の各点における曲率半径 ρ(x) を求め例題 1 あることは簡単に計算できる．図に，曲線 y = x2 (x > 0) 上におけるいくつかの点での曲率半径，また曲率半径の中心の (2) ) 曲線 y = d tan θ 1 dx d dy = = 2 dθ cos θ dθ dx dx ( )2 dy dx d2 y 2 ⇔ 1 + tan θ = 1 + = dx dθ dx2 1 ( x ) 23 ± を示す． 2 4 4 (3) 3.5 式 (3) を (1) に代入すると， dx2 + dy 2 ■近接法線の交点 ( 1+ = 2 d y dx dx 2 dy dx )2 ] 32 d2 y dx2 3 2.5 (4) y ρ= √ [ [ ( )2 ] dy 1 + dx 1.5 2 点 (x, y), (x + dx, y + dy) における法 1 線の交点を (xo , yo ) とすると， { 2 −y ′ (x)(y − yo ) = x − xo −y ′ (x + dx)(y + dy − yo ) = (x + dx − xo ) 0.5 (5) 0 -2 -1.5 -1 -0.5 0 を満たし，交点との距離を ρ とすると， ρ2 = (x − xo )2 + (y − yo )2 { ( )2 } x − xo = 1+ (y − yo )2 y − yo ( ) = 1 + y ′2 (y − yo )2 ′ ′ 問題 1 (6) y ′′ (x)(y − yo + dy) + y ′2 = −1 (7) ただし，最終段階で dy は微小量として無視した．式 (6) に代入して， ( ρ = (1 + y ) 1 + y ′2 y ′′ )2 = (1 + y ′2 )3 y ′′2 (8) よって，以下の式を得る． (1 + y ′2 ) 2 |y ′′ | 3 ρ= 曲線 y = cos(x) の各点における曲率半径を求めなただし，x 軸を水平方向に定め，重力加速度を g とする． y ′′ (x)dx(y − yo + dy) + y ′ (x)dy = −dx ′2 2 さい．また，この曲線上の質点の運動方程式を求めなさい．差を計算すると， 2 1.5 2 y (x + dx) = y (x) + y (x)dx に注意しながら (5) の 2 式の 1 + y ′2 y ′′ 1 図 1 放物線 y = x 上の点の曲率半径 ′′ ∴ y − yo = − 0.5 x (9) 1